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15. Summen, Produkte und Reihen


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15.1 Summen und Produkte

Funktion: bashindices (expr)

Transformiert einen Ausdruck expr, der mehrere Summen oder Produkte enthält so, dass alle Summen und Produkte einen unterschiedlichen Index haben. Dies erleichtert zum Beispiel Substitutionen mit der Funktion changevar. Die neuen Indizes werden mit jnummer bezeichnet, wobei die Zahl nummer der Wert der Optionsvariablen gensumnum ist.

Beispiel:

(%i1) sum(1/k^2,k,0,inf)+sum(1/k,k,0,inf);
                       inf       inf
                       ====      ====
                       \     1   \     1
(%o1)                   >    - +  >    --
                       /     k   /      2
                       ====      ====  k
                       k = 0     k = 0
(%i2) bashindices(%);
                     inf         inf
                     ====        ====
                     \      1    \       1
(%o2)                 >     -- +  >     ---
                     /      j2   /        2
                     ====        ====   j1
                     j2 = 0      j1 = 0

Optionsvariable: cauchysum

Standardwert: false

Werden zwei Reihen miteinander multipliziert und die Optionsvariablen sumexpand sowie cauchysum haben beide den Wert true, dann wird die Cauchy-Produktformel angewendet.

Beispiele:

(%i1) sumexpand: false$
(%i2) cauchysum: false$
(%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
                      inf         inf
                      ====        ====
                      \           \
(%o3)                ( >    f(i))  >    g(j)
                      /           /
                      ====        ====
                      i = 0       j = 0
(%i4) sumexpand: true$
(%i5) cauchysum: true$
(%i6) ''s;
                 inf     i1
                 ====   ====
                 \      \
(%o6)             >      >     g(i1 - i2) f(i2)
                 /      /
                 ====   ====
                 i1 = 0 i2 = 0

Optionsvariable: genindex

Standardwert: i

genindex enthält das Zeichen für den Präfix, der verwendet wird, um einen neuen Index für eine Summe oder ein Produkt zu generieren. Siehe auch gensumnum.

Optionsvariable: gensumnum

Standardwert: 0

gensumnum enthält die Nummer, die an den Präfix genindex angehängt wird, um den nächsten Index für eine Summe oder ein Produkt zu generieren. Hat gensumnum den Wert false, wird der Index nur aus dem Zeichen genindex gebildet. Siehe auch genindex.

Funktion: intosum (expr)

Multipliziert Faktoren in eine Summe herein. Tritt der Index der Summe als ein Faktor außerhalb der Summe auf, wird von der Funktion intosum ein neuer Index gebildet. Summen haben die Eigenschaft outative, so dass Faktoren bei der Vereinfachung aus der Summe herausgezogen werden. Mit der Funktion intosum wird diese Vereinfachung rückgängig gemacht.

Beispiel:

(%i1) sum(2*x^2*n^k, k , 0, inf);
                               inf
                               ====
                             2 \      k
(%o1)                     2 x   >    n
                               /
                               ====
                               k = 0
(%i2) intosum(%);
                          inf
                          ====
                          \        k  2
(%o2)                      >    2 n  x
                          /
                          ====
                          k = 0

Funktion: lsum (expr, i, L)

Bildet die Summe für den Ausdruck expr zum Index i für alle Elemente der Liste L. Kann das Argument L nicht zu einer Liste ausgewertet werden, wird eine Substantivform zurückgegeben. Siehe auch sum.

Beispiele:

(%i1) lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
                            7    2
(%o1)                      x  + x  + x
(%i2) lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1));
                     ====
                     \      2
(%o2)                 >    i
                     /
                     ====
                                   3
                     i in rootsof(x  - 1)

Funktion: niceindices (expr)

Gibt den Indizes von Summen und Produkten im Ausdruck expr einen neuen Namen. niceindices benennt die Indizes nacheinander mit den Namen, die in der Liste der Optionsvariablen niceindicespref enthalten sind. Die Standardnamen sind [i, j, k, l, m, n]. Sind nicht genügend Namen in der Liste vorhanden, werden weitere Indizes durch das Anhängen einer Nummer gebildet.

niceindices wertet das Argument aus.

Beispiele:

(%i1) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
                 inf    inf
                /===\   ====
                 ! !    \
(%o1)            ! !     >      f(bar i j + foo)
                 ! !    /
                bar = 1 ====
                        foo = 1
(%i2) niceindices (%);
                     inf  inf
                    /===\ ====
                     ! !  \
(%o2)                ! !   >    f(i j l + k)
                     ! !  /
                    l = 1 ====
                          k = 1

Optionsvariable: niceindicespref

Standardwert: [i, j, k, l, m, n]

niceindicespref ist die Liste mit den Namen, die die Funktion niceindices nutzt, um die Indizes von Summen und Produkte umzubenennen.

Beispiele:

(%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
                 inf    inf
                /===\   ====
                 ! !    \
(%o2)            ! !     >      f(bar i j + foo)
                 ! !    /
                bar = 1 ====
                        foo = 1
(%i3) niceindices (%);
                     inf  inf
                    /===\ ====
                     ! !  \
(%o3)                ! !   >    f(i j q + p)
                     ! !  /
                    q = 1 ====
                          p = 1

Funktion: nusum (expr, i, i_0, i_1)

Wendet den Gosper-Algorithmus der unbestimmten Summation für den Ausdruck expr und dem Index i an. Der Index i läuft von i_0 bis i_1. Der Ausdruck expr und das Ergebnis der Summation müssen als Produkte von ganzzahligen Exponentiationen, Fakultäten, Binomialen und rationalen Funktionen darstellbar sein.

Die Funktionen nusum und unsum wenden einige Regeln für die Vereinfachung von Summen und Differenzen von endlichen Produkten an. Siehe auch unsum.

Beispiele:

(%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);

Dependent equations eliminated:  (1)
(%o1)                     (n + 1)! - 1
(%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
                     4        3       2              n
      2 (n + 1) (63 n  + 112 n  + 18 n  - 22 n + 3) 4      2
(%o2) ------------------------------------------------ - ------
                    693 binomial(2 n, n)                 3 11 7
(%i3) unsum (%, n);
                              4  n
                             n  4
(%o3)                   ----------------
                        binomial(2 n, n)
(%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
                    n - 1
                    /===\
                     ! !   2
(%o4)              ( ! !  i ) (n - 1) (n + 1)
                     ! !
                    i = 1
(%i5) nusum (%, n, 1, n);

Dependent equations eliminated:  (2 3)
                            n
                          /===\
                           ! !   2
(%o5)                      ! !  i  - 1
                           ! !
                          i = 1

Funktion: product (expr, i, i_0, i_1)

Bildet das Produkt des Ausdrucks expr zum Index i in den Grenzen i_0 bis i_1. product wertet expr sowie die untere Grenze i_0 und obere Grenze i_1 aus. Der Index i wird nicht ausgewertet.

Ist die Differenz der oberen und unteren Grenze eine ganze Zahl, wird expr für jeden Wert des Index i ausgewertet. Das Ergebnis ist ein explizites Produkt. Andernfalls ist der Bereich des Index unbestimmt. Maxima wendet einige einfache Regeln an, um das Produkt zu vereinfachen. Hat die Optionsvariable simpproduct den Wert true, wendet Maxima weitere Regeln an, um Produkte zu vereinfachen.

Siehe auch nouns und evflag für die Auswertung von Ausdrücken, die die Substantivform eines Produktes enthalten.

Beispiele:

(%i1) product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
(%o1)           (x + 1) (x + 3) (x + 6) (x + 10)
(%i2) product (i^2, i, 1, 7);
(%o2)                       25401600
(%i3) product (a[i], i, 1, 7);
(%o3)                 a  a  a  a  a  a  a
                       1  2  3  4  5  6  7
(%i4) product (a(i), i, 1, 7);
(%o4)          a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7)
(%i5) product (a(i), i, 1, n);
                             n
                           /===\
                            ! !
(%o5)                       ! !  a(i)
                            ! !
                           i = 1
(%i6) product (k, k, 1, n);
                               n
                             /===\
                              ! !
(%o6)                         ! !  k
                              ! !
                             k = 1
(%i7) product (k, k, 1, n), simpproduct;
(%o7)                          n!
(%i8) product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
                             n
                           /===\
                            ! !    1
(%o8)                       ! !  -----
                            ! !  k + 1
                           k = 1
(%i9) product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
                              15  40
(%o9)                        a   b

Optionsvariable: simpproduct

Standardwert: false

Hat simpproduct den Wert true, versucht Maxima ein Produkt weiter zu vereinfachen. Die Vereinfachung kann eine geschlossene Form liefern. Hat simpproduct den Wert false oder wird das Produkt als Substantivform 'product definiert, werden nur einige einfache Regeln von Maxima für die Vereinfachung angewendet. simpproduct ist auch ein Auswertungsschalter. Siehe evflag.

Siehe auch product für ein Beispiel.

Optionsvariable: simpsum

Standardwert: false

Hat simpsum den Wert true, versucht Maxima eine Summe oder Reihe weiter zu vereinfachen. Die Vereinfachung kann eine geschlossene Form liefern. Hat simpsum den Wert false oder die Summe oder Reihe liegt als Substantivform 'sum vor, werden nur einige einfache Regeln von Maxima für die Vereinfachung angewendet. simpsum ist auch ein Auswertungsschalter. Siehe evflag.

Siehe auch sum für ein Beispiel.

Funktion: sum (expr, i, i_0, i_1)

Bildet die Summe des Ausdrucks expr zum Index i in den Grenzen i_0 bis i_1. Die Funktion sum wertet expr sowie die untere Grenze i_0 und obere Grenze i_1 aus. Der Index i wird nicht ausgewertet.

Ist die Differenz der oberen und unteren Grenze eine ganze Zahl, wird expr für jeden Wert des Index i ausgewertet. Das Ergebnis ist eine explizite Summe. Andernfalls ist der Bereich des Index unbestimmt. Maxima wendet einige einfache Regeln an, um die Summe zu vereinfachen. Hat die Optionsvariable simpsum den Wert true, wendet Maxima weitere Regeln an, um Summen zu vereinfachen.

Werden zwei unendliche Reihen miteinander multipliziert und die Optionsvariablen sumexpand sowie cauchysum haben beide den Wert true, dann wird die Cauchy-Produktformel angewendet.

Die Optionsvariable genindex enthält das Zeichen, das der Präfix eines automatisch generierten Index ist. gensumnum enthält eine ganze Zahl, die an den Präfix genindex angehängt wird, um einen automatischen Index zu generieren. gensumnum wird von Maxima automatisch erhöht. Hat gensumnum den Wert false, wird keine Zahl an den Präfix angehängt.

Das Paket simplify_sum enthält die Funktion simplify_sum, mit der Summen zu einer geschlossenen Form vereinfacht werden können.

Siehe auch sumcontract, sumexpand, intosum, bashindices, niceindices, cauchysum und zeilberger.

Beispiele:

(%i1) sum (i^2, i, 1, 7);
(%o1)                          140
(%i2) sum (a[i], i, 1, 7);
(%o2)           a  + a  + a  + a  + a  + a  + a
                 7    6    5    4    3    2    1
(%i3) sum (a(i), i, 1, 7);
(%o3)    a(7) + a(6) + a(5) + a(4) + a(3) + a(2) + a(1)
(%i4) sum (a(i), i, 1, n);
                            n
                           ====
                           \
(%o4)                       >    a(i)
                           /
                           ====
                           i = 1
(%i5) sum (2^i + i^2, i, 0, n);
                          n
                         ====
                         \       i    2
(%o5)                     >    (2  + i )
                         /
                         ====
                         i = 0
(%i6) sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
                              3      2
                   n + 1   2 n  + 3 n  + n
(%o6)             2      + --------------- - 1
                                  6
(%i7) sum (1/3^i, i, 1, inf);
                            inf
                            ====
                            \     1
(%o7)                        >    --
                            /      i
                            ====  3
                            i = 1
(%i8) sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
                                1
(%o8)                           -
                                2
(%i9) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
                              inf
                              ====
                              \     1
(%o9)                      30  >    --
                              /      2
                              ====  i
                              i = 1
(%i10) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
                                  2
(%o10)                       5 %pi
(%i11) sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
                            n
                           ====
                           \       1
(%o11)                      >    -----
                           /     k + 1
                           ====
                           k = 1
(%i12) sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
          10    9    8    7    6    5    4    3    2
(%o12)   b   + b  + b  + b  + b  + a  + a  + a  + a  + a

Funktion: sumcontract (expr)

Fasst alle Summen in dem Ausdruck expr zusammen, die sich in ihrem oberen und unterem Index nur um eine Konstante voneinander unterscheiden. Das Ergebnis ist eine Ausdruck mit einer Summe, für die Summen, die zusammengefasst werden können und weiteren Termen, die hinzu addiert werden müssen, um einen äquivalenten Ausdruck zu erhalten.

Es kann notwendig sein zunächst das Kommando intosum(expr) auszuführen. Siehe intosum.

Beispiel:

(%i1) 'sum(1/l,l,1,n)+'sum(k,k,1,n+2);
                         n        n + 2
                        ====      ====
                        \     1   \
(%o1)                    >    - +  >    k
                        /     l   /
                        ====      ====
                        l = 1     k = 1
(%i2) sumcontract(%);
                            n
                           ====
                           \          1
(%o2)                2 n +  >    (l + -) + 3
                           /          l
                           ====
                           l = 1

Optionsvariable: sumexpand

Standardwert: false

Hat die Optionsvariable sumexpand den Wert true, werden Produkte von Summen und Potenzen von Summen zu verschachtelten Summen vereinfacht. Siehe auch cauchysum.

Beispiele:

(%i1) sumexpand: true$
(%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
                     m      n
                    ====   ====
                    \      \
(%o2)                >      >     f(i1) g(i2)
                    /      /
                    ====   ====
                    i1 = 0 i2 = 0
(%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
                     m      m
                    ====   ====
                    \      \
(%o3)                >      >     f(i3) f(i4)
                    /      /
                    ====   ====
                    i3 = 0 i4 = 0

Funktion: unsum (f, n)

Gibt die erste Rückwärtsdifferenz f(n) - f(n-1) zurück. Siehe auch nusum.

Beispiele:

(%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
                                     n
                                  p 4
(%o1)               g(p) := ----------------
                            binomial(2 n, n)
(%i2) g(n^4);
                              4  n
                             n  4
(%o2)                   ----------------
                        binomial(2 n, n)
(%i3) nusum (%, n, 0, n);
                     4        3       2              n
      2 (n + 1) (63 n  + 112 n  + 18 n  - 22 n + 3) 4      2
(%o3) ------------------------------------------------ - ------
                    693 binomial(2 n, n)                 3 11 7
(%i4) unsum (%, n);
                              4  n
                             n  4
(%o4)                   ----------------
                        binomial(2 n, n)

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15.2 Einführung in Reihen

Maxima kennt die Funktionen taylor und powerseries, um die Reihenentwicklung von differenzierbaren Funktionen zu finden. Maxima hat weiterhin Funktionen wie nusum, um geschlossene Formen von Reihen zu finden. Operationen wie die Addition und Multiplikation arbeiten wie gewohnt für Reihen. Das folgende Kapitel beschreibt die Variablen und Funktionen für eine Reihenentwicklung.


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15.3 Funktionen und Variablen für Reihen

Funktion: deftaylor (f_1(x_1), expr_1, …, f_n(x_n), expr_n)

Für eine Funktion f_i einer Variablen x_i definiert deftaylor den Ausdruck expr_i als die Taylorreihe um den Nullpunkt. expr_i ist typischerweise ein Polynom in der Variablen x_i oder eine Summe. deftaylor akzeptiert aber auch allgemeinere Ausdrücke.

powerseries(f_i(x_i), x_i, 0) gibt die Reihe zurück, die mit deftaylor definiert wurde.

deftaylor gibt eine Liste der Funktionen f_1, …, f_n zurück. deftaylor wertet die Argumente aus.

Siehe auch taylor und powerseries.

Beispiele:

(%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
(%o1)                          [f]
(%i2) powerseries (f(x), x, 0);
                      inf
                      ====      i1
                      \        x         2
(%o2)                  >     -------- + x
                      /       i1    2
                      ====   2   i1!
                      i1 = 4
(%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
                      2         3          4
                     x    3073 x    12817 x
(%o3)/T/     1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
                     2     18432     307200

Optionsvariable: maxtayorder

Standardwert: true

Hat maxtayorder den Wert true, werden bei der algebraischen Manipulation von Taylor-Reihen, von der Funktion taylor so viele Terme wie möglich mitgeführt.

Funktion: pade (taylor_series, numer_deg_bound, denom_deg_bound)

Gibt eine Liste aller rationalen Funktionen zurück, die die angegebene Taylor-Reihenentwicklung haben und deren Summe des Nennergrads und des Zählergrads kleiner oder gleich des Grads der Reihenentwicklung ist.

Das Argument taylor_series ist eine Taylor-Reihe in einer Variablen. Die Argumente numer_deg_bound und denom_deg_bound sind positive ganze Zahlen, die eine Grenze für den Nennergrad und den Zählergrad der rationalen Funktion angeben.

Die Taylor-Reihe kann auch eine Laurent-Reihe sein und die Grenzen für den Grad können inf sein.

Siehe auch taylor.

Beispiele:

(%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
                              2    3
(%o1)/T/             1 + x + x  + x  + . . .
(%i2) pade (%, 1, 1);
                                 1
(%o2)                       [- -----]
                               x - 1
(%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
                   + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
                   + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
                   + 67108864*x - 134217728)
         /134217728, x, 0, 10);
                    2    3       4       5       6        7
             x   3 x    x    15 x    23 x    21 x    189 x
(%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
             2    16    32   1024    2048    32768   65536

                                  8         9          10
                            5853 x    2847 x    83787 x
                          + ------- + ------- - --------- + . . .
                            4194304   8388608   134217728
(%i4) pade (t, 4, 4);
(%o4)                          []

Es gibt keine rationale Funktion des Grads 4 im Zähler und Nenner für die oben angegebene Taylor-Reihenentwicklung. Die Summe des Zählergrads und des Nennergrads müssen mindestens gleich dem Grad der Reihenentwicklung sein. In diesem Fall ist der Grad der Taylor-Reihenentwicklung 10.

(%i5) pade (t, 5, 5);
                     5                4                 3
(%o5) [- (520256329 x  - 96719020632 x  - 489651410240 x

                  2
 - 1619100813312 x  - 2176885157888 x - 2386516803584)

               5                 4                  3
/(47041365435 x  + 381702613848 x  + 1360678489152 x

                  2
 + 2856700692480 x  + 3370143559680 x + 2386516803584)]

Funktion: powerseries (expr, x, a)

Gibt eine geschlossene Form für die Reihenentwicklung des Ausdrucks expr in der Variablen x um den Punkt a zurück. Das Argument a kann die Werte inf oder infinity haben. Die Reihenentwicklung für eine Funktion f(x) hat die allgemeine Form:

                  inf
                  ====
                  \               n
       f(x) =      >    b  (x - a)
                  /      n
                  ====
                  n = 0

Mit den Koeffzienten:

                     !
            d        !
            -- (f(x))!
            dn       !
                     !x = a
       b  = ---------------
        n         n!

Kann die Funktion powerseries keine Reihenentwicklung für den Ausdruck expr finden, können möglicherweise mit der Funktion taylor die ersten Terme der Reihenentwicklung berechnet werden.

Hat die Optionsvariable verbose den Wert true, werden Meldungen zu den verwendeten Algorithmen von der Funktion powerseries angezeigt.

Beispiel:

(%i1) verbose: true$

(%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
trigreduce: can't expand                            
                 log(sin(x))

trigreduce: try again after applying the rule:
                                 d
                               / -- (sin(x))
                               [ dx
                 log(sin(x)) = I ----------- dx
                               ]   sin(x)
                               /


powerseries: first simplification returned
                                /
                                [
                     - log(x) + I cot(x) dx
                                ]
                                /

           inf
           ====        i1  - 1 + 2 i1             2 i1
           \      (- 1)   2           bern(2 i1) x
(%o2)       >     ------------------------------------
           /                   i1 (2 i1)!
           ====
           i1 = 1

Option variable: psexpand

Default value: false

When psexpand is true, an extended rational function expression is displayed fully expanded. The switch ratexpand has the same effect.

When psexpand is false, a multivariate expression is displayed just as in the rational function package.

When psexpand is multi, then terms with the same total degree in the variables are grouped together.

Funktion: revert (expr, x)
Funktion: revert2 (expr, x, n)

Die Funktion revert berechnet eine Taylorreihe in der Variablen x um den Entwicklungspunkt Null, die der Taylorreihe der inversen Funktion entspricht, die von der Taylorreihe expr repräsentiert wird. Das Ergebnis ist ein Polynom in einer CRE-Darstellung mit dem Grad der höchsten Potenz im Ausdruck expr.

Die Funktion revert2 entspricht der Funktion revert mit dem Unterschied, dass mit dem dritten Argument n der Grad der neuen Taylorreihe explizit angegeben werden kann. Dieser kann kleiner oder größer als der Grad der Taylorreihe expr sein.

Mit dem Kommando load(revert) werden die Funktionen geladen.

Siehe auch die Funktion taylor.

Beispiel:

Die Inverse der Funktion exp(x) - 1 ist die Funktion log(x+1). Mit dem Kommando revert(taylor(exp(x) - 1, x, 0, 6), x) wird die Taylorreihe der Inversen log(x+1) berechnet.

(%i1) load (revert)$
(%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
                   2    3    4    5     6
                  x    x    x    x     x
(%o2)/T/      x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
                  2    6    24   120   720
(%i3) revert (t, x);
               6       5       4       3       2
           10 x  - 12 x  + 15 x  - 20 x  + 30 x  - 60 x
(%o3)/R/ - --------------------------------------------
                                60
(%i4) ratexpand (%);
                     6    5    4    3    2
                    x    x    x    x    x
(%o4)             - -- + -- - -- + -- - -- + x
                    6    5    4    3    2
(%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
                    2    3    4    5    6
                   x    x    x    x    x
(%o5)/T/       x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
                   2    3    4    5    6
(%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
(%o6)                           0
(%i7) revert2 (t, x, 4);
                          4    3    2
                         x    x    x
(%o7)                  - -- + -- - -- + x
                         4    3    2

Funktion: taylor (expr, x, a, n)
Funktion: taylor (expr, [x_1, x_2, …], a, n)
Funktion: taylor (expr, [x, a, n, 'asymp])
Funktion: taylor (expr, [x_1, x_2, …], [a_1, a_2, …], [n_1, n_2, …])
Funktion: taylor (expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], …)

taylor(expr, x, a, n) entwickelt den Ausdruck expr in eine Taylor- oder Laurent-Reihenwicklung in der Variablen x um den Punkt a, die die Terme bis zur Ordnung (x - a)^n enthält.

Hat der Ausdruck expr die Form f(x)/g(x) und hat g(x) keine Terme bis zur Ordnung n, dann versucht taylor den Ausdruck g(x) bis zur Ordnung 2 n zu entwickeln. Treten in der Entwicklung weiterhin keine von Null verschiedenen Terme auf, verdoppelt taylor die Ordnung der Entwicklung für g(x) so lange, wie die Ordnung kleiner oder gleich n 2^taylordepth ist. Siehe auch taylordepth.

taylor(expr, [x_1, x_2, ...], a, n) gibt die Reihenentwicklung der Ordnung n in allen Variablen x_1, x_2, … um den Punkt a zurück.

Die beiden folgenden äquivalenten Kommandos taylor(expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], ...) und taylor(expr, [x_1, x_2, ...], [a_1, a_2, ...], [n_1, n_2, ...]) geben eine Reihenentwicklung für die Variablen x_1, x_2, … um den Punkt (a_1, a_2, ...) mit den Ordnungen n_1, n_2, … zurück.

taylor(expr, [x, a, n, 'asymp]) entwickelt den Ausdruck expr in negativen Potenzen von x - a. Der Term mit der größten Ordnung ist (x - a)^-n.

Folgende Optionsvariablen kontrollieren die Berechnung einer Taylorreihe:

maxtayorder

Hat maxtayorder den Wert true, werden bei der algebraischen Manipulation von Taylor-Reihen, von der Funktion taylor so viele Terme wie möglich mitgeführt.

taylordepth

Findet taylor keine von Null verschiedenen Terme in der Reihenentwicklung, wird die Ordnung der Entwicklung solange erhöht wie sie kleiner oder gleich 2^taylordepth ist.

taylor_logexpand

Die Optionsvariable taylor_logexpand kontrolliert die Entwicklung von Logarithmusfunktionen, die bei der Reihenentwicklung auftreten. Der Standardwert ist true und die Logarithmusfunktionen in einer Reihenentwicklung werden vollständig entwickelt.

taylor_order_coefficients

Die Optionsvariable taylor_order_coefficients kontrolliert die Anordung von Termen in einer Reihenentwicklung. Der Standardwert ist true und die Anordung entspricht der kanonischen Darstellung eines Ausdrucks.

taylor_truncate_polynomials

Hat die Optionsvariable taylor_truncate_polynomials den Wert false, wird das Ergebnis der Reihenentwicklung eines Polynoms als exakt angenommen.

taylor_simplifier

Die Funktion zur Vereinfachung der Koeffizienten einer Entwicklung ist in der Optionsvariablen taylor_simplifier enthalten. Der Standardwert ist simplify. Der Variablen kann eine nutzerdefinierte Funktion zugewiesen werden.

Mit der Funktion taylorp kann getestet werden, ob ein Ausdruck eine Taylorreihe repräsentiert. Die Funktion taylorinfo gibt Informationen zu einer Taylorreihe aus. Die spezielle CRE-Form einer Taylorreihe wird mit der Funktion taytorat in eine Standardform gebracht. Mit den Funktionen revert und revert2 kann die Taylorreihe einer inversen Funktion berechnet werden.

Beispiele:

(%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
                           2             2
             (a + 1) x   (a  + 2 a + 1) x
(%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
                 2               8

                                   3      2             3
                               (3 a  + 9 a  + 9 a - 1) x
                             + -------------------------- + . . .
                                           48
(%i2) %^2;
                                    3
                                   x
(%o2)/T/           1 + (a + 1) x - -- + . . .
                                   6
(%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
                       2    3      4      5
                  x   x    x    5 x    7 x
(%o3)/T/      1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
                  2   8    16   128    256
(%i4) %^2;
(%o4)/T/                  1 + x + . . .
(%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
                         inf
                        /===\
                         ! !    i     2.5
                         ! !  (x  + 1)
                         ! !
                        i = 1
(%o5)                   -----------------
                              2
                             x  + 1
(%i6) ev (taylor(%, x,  0, 3), keepfloat);
                               2           3
(%o6)/T/    1 + 2.5 x + 3.375 x  + 6.5625 x  + . . .
(%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
                               2       3
                 1   1   x    x    19 x
(%o7)/T/         - + - - -- + -- - ----- + . . .
                 x   2   12   24    720
(%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
                                4
                           2   x
(%o8)/T/                - x  - -- + . . .
                               6
(%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
(%o9)/T/                    0 + . . .
(%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
                                               2          4
            1     1       11      347    6767 x    15377 x
(%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
             6      4        2   15120   604800    7983360
            x    2 x    120 x

                                                          + . . .
(%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
               2  2       4      2   4
              k  x    (3 k  - 4 k ) x
(%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
                2            24

                                    6       4       2   6
                               (45 k  - 60 k  + 16 k ) x
                             - -------------------------- + . . .
                                          720
(%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
                      2       2     3      2         3
                    (n  - n) x    (n  - 3 n  + 2 n) x
(%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
                         2                 6

                               4      3       2         4
                             (n  - 6 n  + 11 n  - 6 n) x
                           + ---------------------------- + . . .
                                          24
(%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
               3                 2
              y                 y
(%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
              6                 2

                    3                       2
               y   y            2      1   y            3
          + (- - + -- + . . .) x  + (- - + -- + . . .) x  + . . .
               2   12                  6   12
(%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
                     3        2      2      3
                    x  + 3 y x  + 3 y  x + y
(%o14)/T/   y + x - ------------------------- + . . .
                                6
(%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
          1   y              1    1               1            2
(%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
          y   6               2   6                3
                             y                    y

                                           1            3
                                      + (- -- + . . .) x  + . . .
                                            4
                                           y
(%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
                             3         2       2        3
            1     x + y   7 x  + 21 y x  + 21 y  x + 7 y
(%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
          x + y     6                   360

Optionsvariable: taylordepth

Standardwert: 3

Findet die Funktion taylor keine von Null verschiedenen Terme in der Reihenentwicklung, wird die Ordnung der Entwicklung solange erhöht wie sie kleiner oder gleich 2^taylordepth ist.

Siehe auch taylor.

Funktion: taylorinfo (expr)

Gibt Informationen über die Taylorreihe expr zurück. Die Rückgabe ist eine Liste, die Listen mit den Namen der Variablen, den Entwicklungspunkten und den Ordnungen der Entwicklung enthalten.

Ist expr keine Taylorreihe, ist die Rückgabe false.

Beispiele:

(%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
                  2                       2
(%o1)/T/ - (y - a)  - 2 a (y - a) + (1 - a )

         2                        2
 + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x

         2                        2   2
 + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x

         2                        2   3
 + (1 - a  - 2 a (y - a) - (y - a) ) x  + . . .
(%i2) taylorinfo(%);
(%o2)               [[y, a, inf], [x, 0, 3]]

Funktion: taylorp (expr)

Hat den Rückgabewert true, wenn das Argument expr eine Taylorreihe ist. Ansonsten ist der Rückgabewert false.

Optionsvariable: taylor_logexpand

Standardwert: true

taylor_logexpand kontrolliert die Entwicklung von Logarithmen in einer Taylorreihe. Der Standardwert ist true und die Logarithmusfunktionen in einer Reihenentwicklung werden vollständig entwickelt. Ansonsten werden Logarithmusfunktionen so weit entwickelt, wie es notwendig ist, um eine formale Reihenentwicklung zu erhalten.

Optionsvariable: taylor_order_coefficients

Standardwert: true

Die Optionsvariable taylor_order_coefficients kontrolliert die Ordnung der Koeffizienten einer Taylorreihenentwicklung. Hat taylor_order_coefficients den Wert true, werden die Koeffizienten kanonisch angeordnet.

Optionsvariable: taylor_simplifier

Standardwert: SIMPLIFY

Die Optionsvariable taylor_simplifier enthält den Namen der Funktion, die für die Vereinfachung der Koeffizienten einer Taylorreihenentwicklung von taylor aufgerufen wird. Der Standardwert ist die Lisp-Funktion SIMPLIFY.

Optionsvariable: taylor_truncate_polynomials

Standardwert: true

Hat die Optionsvariable taylor_truncate_polynomials den Wert false, wird das Ergebnis der Reihenentwicklung eines Polynoms als exakt angenommen.

Beispiel:

(%i1) taylor(x^6+x^4+x^2,x,0,4),taylor_truncate_polynomials:true;
                          2    4
(%o1)/T/                 x  + x  + . . .
(%i2) taylor(x^6+x^4+x^2,x,0,4),taylor_truncate_polynomials:false;
                              2    4
(%o2)/T/                     x  + x

Funktion: taytorat (expr)

Konvertiert den Ausdruck expr von der speziellen Darstellung einer Taylorreihenentwicklung in eine CRE-Form.

Beispiel:

(%i1) taylor(atan(x),x,0,5);
                            3    5
                           x    x
(%o1)/T/               x - -- + -- + . . .
                           3    5
(%i2) taytorat(%);
                          5      3
                       3 x  - 5 x  + 15 x
(%o2)/R/               ------------------
                               15

Funktion: trunc (expr)

Die Rückgabe der Funktion trunc ist ein Ausdruck, der das Argument expr in der Ausgabe wie eine Taylorreihenentwicklung anzeigt. Der Ausdruck expr wird ansonsten nicht modifiziert.

Beispiel:

(%i1) expr: x^2 + x + 1;
                            2
(%o1)                      x  + x + 1
(%i2) trunc (expr);
                                2
(%o2)                  1 + x + x  + . . .
(%i3) is (expr = trunc (expr));
(%o3)                         true

Optionsvariable: verbose

Standardwert: false

Hat die Optionsvariable verbose den Wert true, werden von der Funktion powerseries Meldungen über die verwendeten Algorithmen ausgegeben.


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15.4 Poisson Reihen

Function: intopois (a)

Converts a into a Poisson encoding.

Function: outofpois (a)

Converts a from Poisson encoding to general representation. If a is not in Poisson form, outofpois carries out the conversion, i.e., the return value is outofpois (intopois (a)). This function is thus a canonical simplifier for sums of powers of sine and cosine terms of a particular type.

Function: poisdiff (a, b)

Differentiates a with respect to b. b must occur only in the trig arguments or only in the coefficients.

Function: poisexpt (a, b)

Functionally identical to intopois (a^b). b must be a positive integer.

Function: poisint (a, b)

Integrates in a similarly restricted sense (to poisdiff). Non-periodic terms in b are dropped if b is in the trig arguments.

Option variable: poislim

Default value: 5

poislim determines the domain of the coefficients in the arguments of the trig functions. The initial value of 5 corresponds to the interval [-2^(5-1)+1,2^(5-1)], or [-15,16], but it can be set to [-2^(n-1)+1, 2^(n-1)].

Function: poismap (series, sinfn, cosfn)

will map the functions sinfn on the sine terms and cosfn on the cosine terms of the Poisson series given. sinfn and cosfn are functions of two arguments which are a coefficient and a trigonometric part of a term in series respectively.

Function: poisplus (a, b)

Is functionally identical to intopois (a + b).

Function: poissimp (a)

Converts a into a Poisson series for a in general representation.

Special symbol: poisson

The symbol /P/ follows the line label of Poisson series expressions.

Function: poissubst (a, b, c)

Substitutes a for b in c. c is a Poisson series.

(1) Where B is a variable u, v, w, x, y, or z, then a must be an expression linear in those variables (e.g., 6*u + 4*v).

(2) Where b is other than those variables, then a must also be free of those variables, and furthermore, free of sines or cosines.

poissubst (a, b, c, d, n) is a special type of substitution which operates on a and b as in type (1) above, but where d is a Poisson series, expands cos(d) and sin(d) to order n so as to provide the result of substituting a + d for b in c. The idea is that d is an expansion in terms of a small parameter. For example, poissubst (u, v, cos(v), %e, 3) yields cos(u)*(1 - %e^2/2) - sin(u)*(%e - %e^3/6).

Function: poistimes (a, b)

Is functionally identical to intopois (a*b).

Function: poistrim ()

is a reserved function name which (if the user has defined it) gets applied during Poisson multiplication. It is a predicate function of 6 arguments which are the coefficients of the u, v, …, z in a term. Terms for which poistrim is true (for the coefficients of that term) are eliminated during multiplication.

Function: printpois (a)

Prints a Poisson series in a readable format. In common with outofpois, it will convert a into a Poisson encoding first, if necessary.


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15.5 Kettenbrüche

Function: cf (expr)

Converts expr into a continued fraction. expr is an expression comprising continued fractions and square roots of integers. Operands in the expression may be combined with arithmetic operators. Aside from continued fractions and square roots, factors in the expression must be integer or rational numbers. Maxima does not know about operations on continued fractions outside of cf.

cf evaluates its arguments after binding listarith to false. cf returns a continued fraction, represented as a list.

A continued fraction a + 1/(b + 1/(c + ...)) is represented by the list [a, b, c, ...]. The list elements a, b, c, … must evaluate to integers. expr may also contain sqrt (n) where n is an integer. In this case cf will give as many terms of the continued fraction as the value of the variable cflength times the period.

A continued fraction can be evaluated to a number by evaluating the arithmetic representation returned by cfdisrep. See also cfexpand for another way to evaluate a continued fraction.

See also cfdisrep, cfexpand, and cflength.

Examples:

Function: cfdisrep (list)

Constructs and returns an ordinary arithmetic expression of the form a + 1/(b + 1/(c + ...)) from the list representation of a continued fraction [a, b, c, ...].

(%i1) cf ([1, 2, -3] + [1, -2, 1]);
(%o1)                     [1, 1, 1, 2]
(%i2) cfdisrep (%);
                                  1
(%o2)                     1 + ---------
                                    1
                              1 + -----
                                      1
                                  1 + -
                                      2
Function: cfexpand (x)

Returns a matrix of the numerators and denominators of the last (column 1) and next-to-last (column 2) convergents of the continued fraction x.

(%i1) cf (rat (ev (%pi, numer)));

`rat' replaced 3.141592653589793 by 103993/33102 =3.141592653011902
(%o1)                  [3, 7, 15, 1, 292]
(%i2) cfexpand (%); 
                         [ 103993  355 ]
(%o2)                    [             ]
                         [ 33102   113 ]
(%i3) %[1,1]/%[2,1], numer;
(%o3)                   3.141592653011902
Option variable: cflength

Default value: 1

cflength controls the number of terms of the continued fraction the function cf will give, as the value cflength times the period. Thus the default is to give one period.

(%i1) cflength: 1$
(%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o2)                    [1, 1, 1, 1, 2]
(%i3) cflength: 2$
(%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o4)               [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
(%i5) cflength: 3$
(%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o6)           [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]

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