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16. Analysis


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16.1 Funktionen und Variablen für Grenzwerte

Optionsvariable: lhospitallim

Standardwert: 4

Die Optionsvariable lhospitallim enthält die maximale Zahl an Iterationen, für die die L'Hospitalsche Regel von der Funktion limit angewendet wird. Damit wird verhindert, dass die Funktion limit in eine unendliche Schleife gerät.

Funktion: limit (expr, x, val, dir)
Funktion: limit (expr, x, val)
Funktion: limit (expr)

Berechnet den Grenzwert des Ausdrucks expr, wenn die reelle Variable x gegen den Wert val in Richtung dir geht. Die Richtung dir kann die Werte plus für einen Grenzwert von oben und minus für einen Grenzwert von unten haben. Für einen zweiseitigen Grenzwert wird die Richtung dir nicht angegeben.

Maxima verwendet die folgenden Symbole für unendliche und infinitesimale Größen sowie undefinierte und unbestimmte Größen, die als Ergebnis eines Grenzwertes oder als Wert für die Bestimmung eines Grenzwertes auftreten können:

inf

positiv unendlich

minf

negativ unendlich

infinity

komplex unendlich

zeroa

positiv unendlich klein

zerob

negativ unendlich klein

und

ein nicht definiertes Ergebnis

ind

ein unbestimmtes Ergebnis

Die Optionsvariable lhospitallim enthält die maximale Zahl an Iterationen, für die die L'Hospitalsche Regel von der Funktion limit angewendet wird.

Hat tlimswitch den Wert true, nutzt die Funktion limit eine Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden bestimmt werden kann.

Hat die Optionsvariable limsubst den Wert false, wird die Ersetzung von limit(f(g(x)),x,x0) durch f(limit(g(x),x,x0)) für eine unbekannte Funktion f verhindert. Siehe auch limsubst.

limit kann mit einem Argument aufgerufen werden, um Ausdrücke zu vereinfachen, die unendliche oder infinitesimale Größen enthalten. Zum Beispiel wird limit(inf-1) zu inf vereinfacht.

Der Algorithmus ist in der folgenden Arbeit beschrieben: Wang, P., "Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation", Ph.D. thesis, MAC TR-92, October 1971.

Beispiele:

(%i1) limit(x*log(x),x,0,plus)
(%o1)                           0
(%i2) limit((x+1)^(1/x),x,0)
(%o2)                          %e
(%i3) limit(%e^x/x,x,inf)
(%o3)                          inf
(%i4) limit(sin(1/x),x,0)
(%o4)                          ind

Optionsvariable: limsubst

Standardwert: false

Ist eine Funktion f teil eines Ausdrucks für den Maxima den Grenzwert sucht, dann wird folgende Ersetzung ausgeführt:

   limit   f(g(x)) = f(limit   g(x))
   x -> x0             x -> x0

Hat die Optionsvariable limsubst den Wert false, führt limit die oben gezeigte Ersetzung nicht für unbekannte Funktionen f aus. Dies vermeidet Fehler wie zum Beispiel ein Ergebnis von 1 für den Grenzwert limit (f(n)/f(n+1), n, inf). Hat limsubst den Wert true, führt Maxima die oben gezeigte Ersetzung auch für unbekannte Funktionen f aus.

Beispiele:

Die Funktion f ist nicht definiert. Maxima gibt im ersten Fall eine Substantivform zurück. Im zweiten Fall nimmt Maxima den Grenzwert für die unbekannte Funktion als f(10) an.

(%i1) limit(f(x),x,10),limsubst:false;
(%o1)                     limit   f(x)
                          x -> 10
(%i2) limit(f(x),x,10),limsubst:true;
(%o2)                         f(10)

Funktion: tlimit (expr, x, val, dir)
Funktion: tlimit (expr, x, val)
Funktion: tlimit (expr)

Bestimmt den Grenzwert mit Hilfe der Taylor-Reihenwicklung des Ausdrucks expr, wenn die Variable x gegen den Wert val aus der Richtung dir geht. Diese Methode wird von limit angewendet, wenn die Optionsvariable tlimswitch den Wert true ist. Das ist der Standardwert.

Optionsvariable: tlimswitch

Standardwert: true

Hat tlimswitch den Wert true, nutzt die Funktion limit eine Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden bestimmt werden kann.


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16.2 Funktionen und Variablen der Differentiation

Funktion: at (expr, [eqn_1, …, eqn_n])
Funktion: at (expr, eqn)

Wertet den Ausdruck expr aus, wobei dessen Variablen die Werte annehmen, die in der Liste der Gleichungen [eqn_1, ..., eqn_n] oder in der einzelnen Gleichung eqn angegeben sind.

Wenn ein Teilausdruck von einer Variablen abhängt, für die ein Wert angegeben ist, aber kein atvalue, und er auch sonst nicht ausgewertet werden kann, dann wird von at eine Substantivform zurückgegeben.

at führt mehrfache Ersetzungen parallel aus.

Siehe auch atvalue. Für andere Funktionen, die Ersetzungen ausführen, siehe weiterhin subst und ev.

Beispiele:

(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
                                2
(%o1)                          a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2)                        @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
                                !
                  d             !
                 --- (f(@1, @2))!       = @2 + 1
                 d@1            !
                                !@1 = 0

                                     2
                          f(0, 1) = a

(%o3)                         done
(%i4) diff (4*f(x, y)^2 - u(x, y)^2, x);
                  d                          d
(%o4)  8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
                  dx                         dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
                                         !
              2              d           !
(%o5)     16 a  - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))!            )
                             dx          !
                                         !x = 0, y = 1

Funktion: antid (expr, x, u(x))

Gibt eine Liste mit zwei Elementen zurück aus denen die Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x konstruiert werden kann. Der Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen enthalten. Ist L das Ergebnis der Funktion antid, dann ist der Ausdruck L[1]+ 'integrate(L[2], x) die gesuchte Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x.

Kann antid die Stammfunktion vollständig bestimmen, ist das zweite Element der Liste Null. Hat antid keinerlei Erfolg, ist das erste Element der Liste Null. In anderen Fällen enthält das erste Elemente den integrierbaren Anteil des Ausdrucks expr und das zweite Element den nicht integrierbaren Anteil des Ausdrucks.

Mit dem Kommando load(antid) wird die Funktion geladen.

antid steht in folgender Beziehung zur Funktion antidiff. Ist L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2], x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.

Beispiele:

(%i1) load ("antid")$
(%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
                            z(x)  d
(%o2)                y(x) %e     (-- (z(x)))
                                  dx
(%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
                       z(x)      z(x)  d
(%o3)          [y(x) %e    , - %e     (-- (y(x)))]
                                       dx
(%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
                            /
                     z(x)   [   z(x)  d
(%o4)         y(x) %e     - I %e     (-- (y(x))) dx
                            ]         dx
                            /
(%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
(%o5)                           0
(%i6) antid (expr, x, y(x));
                             z(x)  d
(%o6)             [0, y(x) %e     (-- (z(x)))]
                                   dx
(%i7) antidiff (expr, x, y(x));
                  /
                  [        z(x)  d
(%o7)             I y(x) %e     (-- (z(x))) dx
                  ]              dx
                  /

Funktion: antidiff (expr, x, u(x))

Gibt die Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x zurück. Der Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen enthalten.

Kann antidiff die Stammfunktion nicht oder nur teilweise bestimmen, enthält das Ergebnis das Integral des nicht bestimmbaren Anteils.

Mit dem Kommando load(antid) wird die Funktion geladen.

antidiff steht in folgender Beziehung zur Funktion antid. Ist L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2], x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.

Für Beispiele und weitere Ausführungen siehe die Funktion antid.

Eigenschaft: atomgrad

Wird für ein Symbol eine Ableitung mit der Funktion gradef definiert, dann erhält das Symbol die Eigenschaft atomgrad.

Funktion: atvalue (expr, [x_1 = a_1, …, x_m = a_m], c)
Funktion: atvalue (expr, x_1 = a_1, c)

Dem Ausdruck expr wird der Wert c am Punkt x = a zugewiesen. Typischerweise werden Randwerte mit der Funktion atvalue definiert.

Der Ausdruck expr ist entweder eine Funktion f(x_1, ..., x_m) oder die Ableitung einer Funktion diff(f(x_1, ..., x_m), x_1, n_1, ..., x_n, n_m). Die Argumente müssen explizit auftreten. n_i ist die Ordnung der Ableitung bezüglich der Variablen x_i.

Die Randwerte werden durch die Liste [x_1 = a_1, ..., x_m = a_m] definiert. Eine einzelne Gleichung muss nicht als Liste angegeben werden.

printprops([f_1, f_2, ...], atvalue) zeigt die Randwerte der Funktionen f_1, f_2, ... wie sie mit der Funktion atvalue definiert wurden. printprops (f, atvalue) zeigt nur die Randwerte für die Funktion f. printprops (all, atvalue) zeigt die Randwerte aller Funktionen.

Die Symbole @1, @2, … repräsentieren die Variablen x_1, x_2, …, wenn die Randwerte angezeigt werden.

atvalue wertet die Argumente aus. atvalue gibt den Randwert c zurück.

Beispiele:

(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
                                2
(%o1)                          a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2)                        @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
                                !
                  d             !
                 --- (f(@1, @2))!       = @2 + 1
                 d@1            !
                                !@1 = 0

                                     2
                          f(0, 1) = a

(%o3)                         done
(%i4) diff (4*f(x,y)^2 - u(x,y)^2, x);
                  d                          d
(%o4)  8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
                  dx                         dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
                                         !
              2              d           !
(%o5)     16 a  - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))!            )
                             dx          !
                                         !x = 0, y = 1
Paket: cartan

The exterior calculus of differential forms is a basic tool of differential geometry developed by Elie Cartan and has important applications in the theory of partial differential equations. The cartan package implements the functions ext_diff and lie_diff, along with the operators ~ (wedge product) and | (contraction of a form with a vector.) Type demo (tensor) to see a brief description of these commands along with examples.

cartan was implemented by F.B. Estabrook and H.D. Wahlquist.

Funktion: del (x)

del(x) repräsentiert das Differential der Variablen x.

diff gibt Ausdrücke zurück, die Differentiale enthalten, wenn keine Variablen angegeben sind, nach denen abgeleitet werden soll. In diesem Fall gibt diff das totale Differential zurück.

Beispiele:

(%i1) diff (log (x));
                             del(x)
(%o1)                        ------
                               x
(%i2) diff (exp (x*y));
                     x y              x y
(%o2)            x %e    del(y) + y %e    del(x)
(%i3) diff (x*y*z);
(%o3)         x y del(z) + x z del(y) + y z del(x)

Funktion: delta (t)

Die Diracsche Delta-Funktion.

Maxima kennt die Delta-Funktion nur im Zusammenhang mit Laplace-Transformationen. Siehe laplace.

Beispiel:

(%i1) laplace (delta (t - a) * sin(b*t), t, s);
Is  a  positive, negative, or zero?

p;
                                   - a s
(%o1)                   sin(a b) %e

Systemvariable: dependencies

Standardwert: []

dependencies ist eine Liste der Symbole, für die eine Abhängigkeit mit den Funktionen depends oder gradef definiert wurde. Siehe depends und gradef.

Funktion: depends (f_1, x_1, …, f_n, x_n)

Definiert die Abhängigkeit einer Funktion f von einer Variablen x. Ist keine Abhängigkeit definiert, dann hat die Ableitung diff(f, x) das Ergebnis Null. Wird mit dem Kommando depends(f, x) definiert, dass die Funktion f von der Variablen x abhängt, dann ist das Ergebnis der Ableitung die Substantivform 'diff(f,x,1).

Jedes Argument f_1, x_1, … kann der Name einer Variablen, eines Arrays oder eine Liste mit Namen sein. Jedes Symbol f_i hängt ab von den Symbolen der Liste x_i. Ist eines der Symbole f_i der Name eines Arrays, dann hängen alle Elemente des Arrays von x_i ab.

diff erkennt indirekte Abhängigkeiten und wendet für diesen Fall die Kettenregel an.

remove(f, dependency) entfernt alle Abhängigkeiten, die für f definiert wurden.

depends gibt eine Liste der Abhängigkeiten zurück. Die Abhängigkeiten werden in die Informationsliste dependencies eingetragen. depends wertet die Argumente aus.

Die Funktion diff ist die einzige Maxima-Funktion, die Abhängigkeiten erkennt, die mit depends definiert wurden. Andere Funktionen wie integrate oder laplace erkennen keine Abhängigkeiten, die mit der depends definiert wurden. Für diese Funktionen müssen die Abhängigkeiten explizit angegeben werden, zum Beispiel als integrate(f(x), x).

Beispiele:

(%i1) depends ([f, g], x);
(%o1)                     [f(x), g(x)]
(%i2) depends ([r, s], [u, v, w]);
(%o2)               [r(u, v, w), s(u, v, w)]
(%i3) depends (u, t);
(%o3)                        [u(t)]
(%i4) dependencies;
(%o4)      [f(x), g(x), r(u, v, w), s(u, v, w), u(t)]
(%i5) diff (r.s, u);
                         dr           ds
(%o5)                    -- . s + r . --
                         du           du
(%i6) diff (r.s, t);
                      dr du           ds du
(%o6)                 -- -- . s + r . -- --
                      du dt           du dt
(%i7) remove (r, dependency);
(%o7)                         done
(%i8) diff (r.s, t);
                                ds du
(%o8)                       r . -- --
                                du dt

Optionsvariable: derivabbrev

Standardwert: false

Hat derivabbrev den Wert true, werden symbolische Ableitungen mit einem tiefgestellten Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als dy/dx angezeigt.

Beispiel:

(%i1) derivabbrev:false$

(%i2) 'diff(y,x);
                               dy
(%o2)                          --
                               dx
(%i3) derivabbrev:true$

(%i4) 'diff(y,x);
(%o4)                          y
                                x

Funktion: derivdegree (expr, y, x)

Gibt die höchste Ableitung des Arguments y in Bezug auf die Variable x zurück, die in dem Ausdruck expr enthalten ist.

Beispiel:

(%i1) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, z, 3) + 'diff (y, x) * x^2;
                         3     2
                        d y   d y    2 dy
(%o1)                   --- + --- + x  --
                          3     2      dx
                        dz    dx
(%i2) derivdegree (%, y, x);
(%o2)                           2
Auswertungsschalter: derivlist (var_1, …, var_k)

derivlist ist ein Auswertungsschalter für die Funktion ev. ev führt nur die Ableitungen in Bezug auf die angegebenen Variablen var_1, …, var_k aus. Siehe auch ev.

Optionsvariable: derivsubst

Standardwert: false

Hat derivsubst den Wert true, werden Substitutionen auch in Ausdrücke mit Ableitungen ausgeführt. Zum Beispiel hat dann subst(x, 'diff(y, t), 'diff(y, t, 2)) das Ergebnis 'diff(x, t).

Funktion: diff (expr, x_1, n_1, …, x_m, n_m)
Funktion: diff (expr, x, n)
Funktion: diff (expr, x)
Funktion: diff (expr)
Auswertungsschalter: diff

Gibt die Ableitungen oder Differentiale des Ausdrucks expr in Bezug auf alle oder einige der Variablen des Ausdrucks zurück.

diff(expr, x, n) gibt die n-te Ableitung des Ausdrucks expr in Bezug auf die Variable x zurück.

diff(expr, x_1, n_1, ..., x_m, n_m) gibt die partielle Ableitung des Ausdrucks expr in Bezug auf die Variablen x_1, ..., x_m zurück. Dies ist äquivalent zu diff(... (diff(expr, x_m, n_m) ...), x_1, n_1).

diff(expr, x) gibt die erste Ableitung des Ausdrucks expr in Bezug auf die Variable x zurück.

diff(expr) gibt das totale Differential des Ausdrucks expr zurück. Siehe auch del.

Wenn die Ableitungen nicht ausgeführt werden sollen, kann der Quote-Operator ' verwendet werden, um eine Substantivform der Ableitung zu erhalten.

Hat derivabbrev den Wert true, werden symbolische Ableitungen mit einem tiefgestelltem Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als dy/dy angezeigt.

diff ist auch ein Auswertungsschalter für die Funktion ev. Das Kommando ev(expr), diff bewirkt, dass alle Ableitungen ausgeführt werden, die im Ausdruck expr enthalten sind. Siehe auch die Funktion ev.

derivative ist ein Alias-Name der Funktion diff.

Beispiele:

(%i1) diff (exp (f(x)), x, 2);
                     2
              f(x)  d               f(x)  d         2
(%o1)       %e     (--- (f(x))) + %e     (-- (f(x)))
                      2                   dx
                    dx
(%i2) derivabbrev: true$
(%i3) 'integrate (f(x, y), y, g(x), h(x));
                         h(x)
                        /
                        [
(%o3)                   I     f(x, y) dy
                        ]
                        /
                         g(x)
(%i4) diff (%, x);
       h(x)
      /
      [
(%o4) I     f(x, y)  dy + f(x, h(x)) h(x)  - f(x, g(x)) g(x)
      ]            x                     x                  x
      /
       g(x)

For the tensor package, the following modifications have been incorporated:

  1. The derivatives of any indexed objects in expr will have the variables x_i appended as additional arguments. Then all the derivative indices will be sorted.
  2. The x_i may be integers from 1 up to the value of the variable dimension [default value: 4]. This will cause the differentiation to be carried out with respect to the x_i'th member of the list coordinates which should be set to a list of the names of the coordinates, e.g., [x, y, z, t]. If coordinates is bound to an atomic variable, then that variable subscripted by x_i will be used for the variable of differentiation. This permits an array of coordinate names or subscripted names like X[1], X[2], … to be used. If coordinates has not been assigned a value, then the variables will be treated as in (1) above.

Funktion: gradef (f(x_1, …, x_n), g_1, …, g_m)
Funktion: gradef (a, x, expr)

Definiert eine partielle Ableitung der Funktion f oder Variablen a.

Das Kommando gradef(f(x_1, ..., x_n), g_1, ..., g_m) definiert die partielle Ableitung df/dx_i als g_i. g_i ist ein Ausdruck. g_i kann ein Funktionsaufruf sein, aber nicht der Name einer Funktion. Die Anzahl der partiellen Ableitungen m kann kleiner als die Anzahl der Argumente n sein.

gradef(a, x, expr) definiert die Ableitung der Variablen a in Bezug auf die Variable x als expr. Wie mit der Funktion depends wird a als abhängig von x deklariert. Die Abhängigkeit wird in die Liste dependencies eingetragen. Siehe auch depends.

Bis auf das erste Argument werden die Argumente der Funktion gradef ausgewertet. gradef gibt die Funktion oder Variable zurück, für die eine partielle Ableitung definiert wurde.

gradef kann die Ableitungen von vorhandenen Maxima-Funktionen neu definieren. Zum Beispiel definiert gradef(sin(x), sqrt (1 - sin(x)^2)) eine neue Ableitung der Sinusfunktion.

gradef kann keine partiellen Ableitungen für indizierte Funktionen definieren.

printprops([f_1, ..., f_n], gradef) zeigt die mit gradef definierten partiellen Ableitungen der Funktionen f_1, …, f_n an und printprops([a_n, ..., a_n], atomgrad) zeigt die mit gradef definierten partiellen Ableitungen der Variablen a_n, …, a_n an. Siehe printprops.

gradefs ist eine Informationsliste, die die Funktionen enthält, für die mit gradef eine Ableitung definierte wurde. Die Liste enthält keine Variablen, für die Ableitungen definiert wurden.

Systemvariable: gradefs

Standardwert: []

gradefs ist eine Liste der Funktionen, für die eine Ableitung mit der Funktion gradef definiert wurde.


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16.3 Integration


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16.3.1 Einführung in die Integration

Maxima hat verschiedene Algorithmen, um Integrale zu behandeln. Die Funktion integrate nutzt diese. Maxima hat ein Paket antid, welches Integrale mit einer unbekannten Funktion, deren Ableitung bekannt ist, integrieren kann. Für die numerische Berechnung von Integralen hat Maxima das Paket QUADPACK mit Funktionen wie quad_qag oder quad_qags. Die Funktionen laplace und specint finden die Laplacetransformation. Wird das Paket abs_integrate geladen, kann Maxima weitere Integrale lösen. Dazu gehören insbesondere Integrale mit der Betragsfunktion abs und der Signum-Funktion signum. Siehe auch abs_integrate.


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16.3.2 Funktionen und Variablen der Integration

Funktion: changevar (expr, f(x,y), y, x)

Führt eine Substitution der Integrationsvariablen, die als f(x,y)=0 angegeben wird, für die Variable x in allen Integralen durch, die in expr enthalten sind. Die neue Variable ist y.

(%i1) assume(a > 0)$
(%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
                      4
                     /
                     [    sqrt(a) sqrt(y)
(%o2)                I  %e                dy
                     ]
                     /
                      0
(%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
                      0
                     /
                     [                abs(z)
                   2 I            z %e       dz
                     ]
                     /
                      - 2 sqrt(a)
(%o3)            - ----------------------------
                                a

Ein Ausdruck mit einem Integral in einer Substantivform 'integrate wie im obigen Beispiel kann mit der Funktion ev und dem Auswertungsschalter nouns ausgewertet werden. Das Beispiel von oben kann zum Beispiel mit ev(%o3, nouns) ausgewertet werden.

Mit changevar können auch die Indizes einer Summe oder eines Produktes substituiert werden. Dabei muss beachtet werden, dass nur lineare Verschiebungen, wie zum Beispiel i = j + ..., eine korrekte Substitution für Summen und Produkte sind.

(%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
                         inf
                         ====
                         \         i - 2
(%o4)                     >    a  x
                         /      i
                         ====
                         i = 0
(%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
                        inf
                        ====
                        \               n
(%o5)                    >      a      x
                        /        n + 2
                        ====
                        n = - 2

Funktion: dblint (f, r, s, a, b)

Eine Routine, um ein bestimmtes doppeltes Integral mit der Simpsonschen Regel numerisch zu berechnen.

      b  s(x)
     /  /
     [  [
     I  I     f(x, y) dy dx
     ]  ]
     /  /
      a  r(x)

Die Funktion f muss eine Funktion von zwei Variablen sein. r und s müssen Funktionen einer Variablen sein. a und b sind Gleitkommazahlen. Die Optionsvariablen dblint_x und dblint_y kontrollieren die Anzahl der Unterteilungen des Integrationsintervalls für den Simpsonschen Algorithmus. Der Standardwert ist jeweils 10.

Das Kommando demo(dblint) zeigt ein Beispiel.

Die numerischen Funktionen des Pakets QUADPACK sind gegenüber dblint zu bevorzugen.

Funktion: defint (expr, x, a, b)

Sucht das bestimmte Integral eines Ausdrucks expr für die Integrationsvariable x in den Grenzen a und b. Diese Funktion wird ausgeführt, wenn ein bestimmtes Integral mit der Funktion integrate gesucht wird.

defint gibt einen symbolischen Ausdruck als Ergebnis zurück. Ist das Integral divergent, generiert Maxima eine Fehlermeldung. Kann defint keine Lösung finden, wird eine Substantivform zurückgegeben.

Optionsvariable: erfflag

Standardwert: true

Hat erfflag den Wert false, wird von der Funktion risch die Fehlerfunktion erf nicht in die Lösung eingeführt.

Funktion: ilt (expr, s, t)

Berechnet die Inverse Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die Variable s und den Parameter t. expr muss eine rationale Funktion sein, in deren Nenner nur lineare und quadratische Faktoren auftreten. Mit den Funktionen laplace und ilt sowie den Funktionen solve oder linsolve können lineare Differentialgleichungen oder Systeme von linearen Differentialgleichungen gelöst werden.

(%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
              t
             /
             [                                    2
(%o1)        I  f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
             ]
             /
              0
(%i2) laplace (%, t, s);
                               a laplace(f(t), t, s)   2
(%o2)  b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
                                       2    2           3
                                      s  - a           s
(%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
                                        2      2
                                     2 s  - 2 a
(%o3)     [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
                                    5         2     3
                                 b s  + (a - a  b) s
(%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
Is  a b (a b - 1)  positive, negative, or zero?

pos;
               sqrt(a b (a b - 1)) t
        2 cosh(---------------------)       2
                         b               a t
(%o4) - ----------------------------- + -------
              3  2      2               a b - 1
             a  b  - 2 a  b + a

                                                       2
                                             + ------------------
                                                3  2      2
                                               a  b  - 2 a  b + a

Optionsvariable: intanalysis

Standardwert: true

Hat intanalysis den Wert true, sucht Maxima nach Polen in einem Integranden. Existieren solche, wird der Cauchysche Hauptwert des Integrals bestimmt. Hat intanalysis den Wert false, wird die Integration unter der Annahme ausgeführt, dass das Integral keine Pole im Integrationsbereich hat.

Siehe auch ldefint.

Beispiele:

Maxima kann das folgende Integral lösen, wenn intanalysis den Wert false hat.

(%i1) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1);
                                1
                               /
                               [       1
(%o1)                          I  ----------- dx
                               ]  sqrt(x) + 1
                               /
                                0

(%i2) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1),intanalysis:false;
(%o2)                            2 - 2 log(2)

(%i3) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2 +1),a,-%pi/2,%pi/2);
The number 1 isn't in the domain of atanh
 -- an error. To debug this try: debugmode(true);

(%i4) intanalysis:false$
(%i5) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2+1),a,-%pi/2,%pi/2);
                                      %pi
(%o5)                                 ---
                                       2

Funktion: integrate (expr, x)
Funktion: integrate (expr, x, a, b)

Sucht die symbolische Lösung des Integrals für den Ausdruck expr und der Integrationsvariablen x. integrate(expr, x) löst das unbestimmte Integral.

integrate(expr, x, a, b) sucht die Lösung des bestimmten Integrals in den Integrationsgrenzen a und b. Die Integrationsgrenzen dürfen die Integrationsvariable x nicht enthalten. Für die Integrationsgrenzen muss nicht gelten a < b. Sind die Integrationsgrenzen gleich, dann ist das Ergebnis der Integration Null.

Für die numerische Lösung von Integralen siehe die Funktion quad_qag und verwandte Funktionen. Residuen eines Integranden können mit der Funktion residue berechnet werden. Einen alternativen Algorithmus für das Lösen von Integralen, die im Integranden eine unbekannte Funktion und deren Ableitung enthalten, bieten die Funktionen antid und antidiff.

Findet integrate keine Lösung wird eine Substantivform oder ein Ausdruck mit einer oder mehreren Substantivformen zurückgegeben.

Soll das Integral nicht sofort berechnet werden, kann die Substantivform des Integrals angegeben werden, zum Beispiel 'integrate(expr, x). Die Berechnung des Integrals ist dann mit Funktion ev und dem Auswertungsschalter nouns möglich.

Die Abhängigkeit der Funktionen im Integranden von Variablen muss explizit zum Beispiel mit f(x) angegeben werden. integrate beachtet keine Abhängigkeit die mit der Funktion depends definiert werden.

Benötigt integrate Informationen zu einem Parameter, die nicht aus dem aktuellen Kontext abgeleitet werden können, wird der Nutzer nach den fehlenden Informationen gefragt.

integrate ist standardmäßig nicht als linear deklariert. Siehe declare und linear.

Nur in einigen speziellen Fällen wendet integrate die Methode der partiellen Integration an.

Beispiele:

Elementare unbestimmte und bestimme Integrale.

(%i1) integrate (sin(x)^3, x);
                           3
                        cos (x)
(%o1)                   ------- - cos(x)
                           3
(%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
                                 2    2
(%o2)                    - sqrt(b  - x )
(%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
                               %pi
                           3 %e      3
(%o3)                      ------- - -
                              5      5
(%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
                            sqrt(%pi)
(%o4)                       ---------
                                2

Gebrauch von assume und interaktive Fragen.

(%i1) assume (a > 1)$
(%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
    2 a + 2
Is  -------  an integer?
       5

no;
Is  2 a - 3  positive, negative, or zero?

neg;
                                   3
(%o2)                  beta(a + 1, - - a)
                                   2

Substitution der Integrationsvariablen. In diesem Beispiel werden zwei verschiedene Substitutionen vorgenommen. Zuerst wird eine Ableitung der Funktion mit der Funktion gradef definiert. Die andere nutzt die Ableitung diff(r(x)) einer unbekannten Funktion r(x).

(%i3) gradef (q(x), sin(x^2));
(%o3)                         q(x)
(%i4) diff (log (q (r (x))), x);
                      d               2
                     (-- (r(x))) sin(r (x))
                      dx
(%o4)                ----------------------
                            q(r(x))
(%i5) integrate (%, x);
(%o5)                     log(q(r(x)))

Die Lösung enthält eine Substantivform für das Integral einer rationalen Funktion. Siehe auch integrate_use_rootsof für Informationen zu Integralen von rationalen Funktionen.

(%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
                    4      3      2
(%o1)              x  - 4 x  + 2 x  - 7 x - 4
(%i2) integrate (1/%, x);
                              /  2
                              [ x  + 4 x + 18
                              I ------------- dx
                              ]  3
                 log(x - 4)   / x  + 2 x + 1
(%o2)            ---------- - ------------------
                     73               73

Definition einer Funktion als ein Integral. Die rechte Seite einer Funktionsdefinition wird nicht ausgewertet. Daher enthält die Funktionsdefinition das Integral in einer Substantivform. Der Quote-Quote-Operator '' erzwingt die Auswertung der Substantivform.

(%i1) f_1(a) := integrate (x^3, x, 1, a);
                                     3
(%o1)           f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
(%i2) ev(f_1 (7), nouns);
(%o2)                          600
(%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
      f_2(a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
                                   4
                                  a    1
(%o3)                   f_2(a) := -- - -
                                  4    4
(%i4) f_2(7);
(%o4)                          600

Optionsvariable: integration_constant

Standardwert: %c

Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols integration_constant mit einer laufenden Nummer, die der Wert der Optionsvariablen integration_constant_counter ist.

Der Optionsvariablen integration_constant kann ein beliebiges Symbol zugewiesen werden.

Beispiele:

(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
                           3
                          x
(%o1)                     -- = x + %c1
                          3
(%i2) integration_constant : 'k;
(%o2)                           k
(%i3) integrate (x^2 = 1, x);
                            3
                           x
(%o3)                      -- = x + k2
                           3

Systemvariable: integration_constant_counter

Standardwert: 0

Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols integration_constant mit einer laufenden Nummer, die der Wert der Optionsvariablen integration_constant_counter ist.

Der Wert der Systemvariablen integration_constant_counter wird vor der Erzeugung der Integrationskonstanten erhöht.

Beispiele:

(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
                           3
                          x
(%o1)                     -- = x + %c1
                          3
(%i2) integrate (x^2 = 1, x);
                           3
                          x
(%o2)                     -- = x + %c2
                          3
(%i3) reset (integration_constant_counter);
(%o3)            [integration_constant_counter]
(%i4) integrate (x^2 = 1, x);
                           3
                          x
(%o4)                     -- = x + %c1
                          3

Optionsvariable: integrate_use_rootsof

Standardwert: false

Hat integrate_use_rootsof den Wert true und der Nenner einer rationalen Funktion kann nicht faktorisiert werden, dann gibt integrate ein Integral zurück, das eine Summe über die unbekannten Wurzeln des Nenners enthält.

Hat zum Beispiel integrate_use_rootsof den Wert false, gibt integrate im Folgenden ein Lösung zurück, die eine Substantivform enthält.

(%i1) integrate_use_rootsof: false$
(%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
        /  2
        [ x  - 4 x + 5
        I ------------ dx                            2 x + 1
        ]  3    2                2            5 atan(-------)
        / x  - x  + 1       log(x  + x + 1)          sqrt(3)
(%o2)   ----------------- - --------------- + ---------------
                7                 14             7 sqrt(3)

Mit dem Wert true für die Optionsvariable integrate_use_rootsof wird das ungelöste Integral als eine Summe über die Wurzeln des Nenners der rationalen Funktion zurückgegeben.

(%i3) integrate_use_rootsof: true$
(%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
      ====        2
      \       (%r4  - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
       >      -------------------------------
      /                    2
      ====            3 %r4  - 2 %r4
                      3    2
      %r4 in rootsof(x  - x  + 1)
(%o4) ----------------------------------------------------------
               7

                                                      2 x + 1
                                  2            5 atan(-------)
                             log(x  + x + 1)          sqrt(3)
                           - --------------- + ---------------
                                   14             7 sqrt(3)

Alternativ kann der Nutzer die Wurzeln des Nenners separat berechnen und den Integranden mit Hilfe der Wurzeln ausdrücken. Zum Beispiel als 1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) oder 1/((x^2-(a+b)*x + a*b)*(x - c)) für ein kubisches Polynom mit drei Nullstellen im Nenner. Auf diese Weise kann Maxima in einigen Fällen eine Lösung für ein Integral finden.

Funktion: laplace (expr, t, s)

Sucht die Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die Integrationsvariable x und den Parameter s.

laplace findet die Laplace-Transformation für Ausdrücke, die die Funktionen delta, exp, log, sin, cos, sinh, cosh und erf sowie Ausdrücke mit derivative, integrate, sum und ilt enthalten.

Kann laplace die Laplace-Transformation nicht finden, wird die Funktion specint aufgerufen. specint kann die Laplace-Transformation für eine Vielzahl von speziellen Funktionen im Integranden berechnen. Findet auch specint keine Lösung ist das Ergebnis eine Substantivform.

laplace erkennt die Faltung von Funktionen der Form integrate (f(x) * g(t - x), x, 0, t). Andere Faltungen werden nicht erkannt.

Funktionale Abhängigkeiten von Variablen müssen explizit angegeben werden. laplace erkennt keine Abhängigkeiten, die mit der Funktion depends definiert wurden. Eine Funktion die von den Variablen x abhängt, muss als f(x) im Ausdruck expr auftreten.

Siehe auch ilt für die Inverse Laplace-Transformation.

Beispiele:

(%i1) laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s);
                            a
                          %e  (2 s - 4)
(%o1)                    ---------------
                           2           2
                         (s  - 4 s + 5)
(%i2) laplace ('diff (f (x), x), x, s);
(%o2)             s laplace(f(x), x, s) - f(0)
(%i3) diff (diff (delta (t), t), t);
                          2
                         d
(%o3)                    --- (delta(t))
                           2
                         dt
(%i4) laplace (%, t, s);
                            !
               d            !         2
(%o4)        - -- (delta(t))!      + s  - delta(0) s
               dt           !
                            !t = 0
(%i5) assume(a>0)$
(%i6) laplace(gamma_incomplete(a,t),t,s),gamma_expand:true;
                                              - a - 1
                         gamma(a)   gamma(a) s
(%o6)                    -------- - -----------------
                            s            1     a
                                        (- + 1)
                                         s
(%i7) factor(laplace(gamma_incomplete(1/2,t),t,s));
                                              s + 1
                      sqrt(%pi) (sqrt(s) sqrt(-----) - 1)
                                                s
(%o7)                 -----------------------------------
                                3/2      s + 1
                               s    sqrt(-----)
                                           s
(%i8) assume(exp(%pi*s)>1)$
(%i9) laplace(sum((-1)^n*unit_step(t-n*%pi)*sin(t),n,0,inf),t,s)
        ,simpsum;
                         %i                         %i
              ------------------------ - ------------------------
                              - %pi s                    - %pi s
              (s + %i) (1 - %e       )   (s - %i) (1 - %e       )
(%o9)         ---------------------------------------------------
                                       2
(%i9) factor(%);
                                      %pi s
                                    %e
(%o9)                   -------------------------------
                                             %pi s
                        (s - %i) (s + %i) (%e      - 1)

Funktion: ldefint (expr, x, a, b)

Sucht die Lösung des bestimmten Integrals für den Integranden expr. ldefint bestimmt die Stammfunktion und sucht die Grenzwerte mit der Funktion limit an den Integrationsgrenzen a und b. Kann ein Grenzwert nicht ermittelt werden, enthält das Ergebnis die Substantivform des Grenzwertes.

ldefint wird nicht von der Funktion integrate aufgerufen. Daher kann ldefint ein von integrate verschiedenes Ergebnis haben. ldefint verwendet immer denselben Algorithmus, um eine Lösung zu finden. Dagegen wendet integrate verschiedene Algorithmen an, um nach einer Lösung zu suchen.

Funktion: residue (expr, z, z_0)

Berechnet das Residuum für den Ausdruck expr, wenn die Variable z gegen den Wert z_0 geht.

Beispiele:

(%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
                                1
(%o1)                           -
                                2
(%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
                                 3
                                a
(%o2)                         - --
                                6

Funktion: risch (expr, x)

Nutzt den transzendenten Risch-Algorithmus für die Integration des Ausdruck expr und der Integrationsvariable x. Der algebraische Risch-Algorithmus ist nicht implementiert. Der transzendente Risch-Algorithmus behandelt Integranden mit Exponential- und Logarithmusfunktionen. Der Risch-Algorithmus wird von integrate aufgerufen, wenn integrate keine Stammfunktion finden kann.

Hat erfflag den Wert false, werden von der Funktion risch keine Fehlerfunktionen erf in die Lösung eingeführt.

Beispiele:

(%i1) risch (x^2*erf(x), x);
                                                        2
             3                      2                - x
        %pi x  erf(x) + (sqrt(%pi) x  + sqrt(%pi)) %e
(%o1)   -------------------------------------------------
                              3 %pi
(%i2) diff(%, x), ratsimp;
                             2
(%o2)                       x  erf(x)

Funktion: tldefint (expr, x, a, b)

Entspricht der Funktion ldefint mit dem Wert true für die Optionsvariable tlimswitch.


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16.3.3 Einführung in QUADPACK

QUADPACK ist eine Sammlung von Funktionen für die numerische Berechnung von eindimensionalen bestimmten Integralen. QUADPACK hat den Ursprung in einem Projekt von R. Piessens (1), E. de Doncker (2), C. Ueberhuber (3), und D. Kahaner (4).

Die QUADPACK-Bibliothek, die in Maxima enthalten ist, ist eine automatische Übersetzung des Fortran Quellcodes mit dem Programm f2cl wie er in der SLATEC Common Mathematical Library, Version 4.1 (5) vorliegt. Die SLATEC Bibliothek datiert auf Juli 1993. Die QUADPACK Funktionen wurden bereits einige Jahre früher programmiert. Es gibt eine weitere Version von QUADPACK bei Netlib (6). Es ist jedoch unklar worin sich diese von der SLATEC Version unterscheidet.

Alle QUADPACK-Funktionen versuchen automatisch, ein bestimmtes Integral numerisch innerhalb eine spezifizierten Genauigkeit zu berechnen. Die Übersetzung nach Lisp enthält einige weitere nicht-automatische Funktionen, die jedoch nicht als Maxima Funktionen zur Verfügung stehen.

Weitere Informationen über das QUADPACK-Paket sind in dem QUADPACK-Buch (7) enthalten.

Übersicht über die Integrationsroutinen

quad_qag

Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. quad_qag implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.

quad_qags

Integration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall. Die Funktion quad_qags implementiert die Strategie einer globalen adaptiven Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978). Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt sind, zu einer Effizienzsteigerung.

quad_qagi

Die Funktion quad_qagi führt die Integration einer allgemeinen Funktion über ein unendliches oder halb-unendliches Intervall aus. Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das transformierte Integrationsproblem wird dann mit einer geringfügig modifizierten Algorithmus wie in quad_qags gelöst.

quad_qawo

Berechnung von Integralen mit den trigonometrischen Gewichtsfunktionen cos(omega x) f(x) oder sin(omega x) f(x) über ein endliches Intervall, wobei omega eine Konstante ist. Der Algorithmus der Funktion quad_qawo zur basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik. quad_qawo wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von quad_qags ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen.

quad_qawf

Die Funktion quad_qawf berechnet die Sinus- oder Kosinus-Fouriertransformation über ein halb-unendliches Intervall. Dabei wird die global adaptive Routine quad_qawo sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.

quad_qaws

Integration von w(x) f(x) über ein endliches Intervall [a, b], wobei w eine Funktion der Form (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) ist und v(x) ist 1 oder log(x - a) oder log(b - x) oder log(x - a) log(b - x), und alpha > -1 und beta > -1. quad_qaws ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen Endpunktsingularitäten konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.

quad_qawc

Die Funktion quad_qawc berechnet den Cauchyschen Hauptwert von f(x)(x - c) über ein endliches Intervall (a, b) und dem Wert c. Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn c im Teilbereich enthalten ist. Andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.

quad_qagp

Basically the same as quad_qags but points of singularity or discontinuity of the integrand must be supplied. This makes it easier for the integrator to produce a good solution.


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16.3.4 Funktionen und Variablen für QUADPACK

Funktion: quad_qag (f(x), x, a, b, key, [epsrel, epsabs, limit])
Funktion: quad_qag (f, x, a, b, key, [epsrel, epsabs, limit])

Die Funktion quad_qag berechnet das folgende Integral über ein endliches Intervall.

           b
          /
          [
          I  f(x) dx
          ]
          /
           a

quad_qag implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.

Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert. key wählt den Grad der Gauß-Kronrod-Quadraturformel aus und kann Werte von 1 bis 6 annehmen. Ein größerer Grad ist geeignet für stark oszillierende Integranden.

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die numerische Integration wird adaptiv ausgeführt. Der Integrationsbereich wird solange geteilt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 1.0e-8.

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 0.

limit

Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3, 'epsrel=5d-8);
(%o1)    [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
(%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1);
                                4
(%o2)                           -
                                9

Funktion: quad_qags (f(x), x, a, b, [epsrel, epsabs, limit])
Funktion: quad_qags (f, x, a, b, [epsrel, epsabs, limit])

Die Funktion quad_qags berechnet das folgende Integral über ein endliches Intervall.

           b
          /
          [
          I  f(x) dx
          ]
          /
           a

quad_qags implementiert die Strategie einer globalen adaptiven Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978). Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt sind, zu einer Effizienzsteigerung.

Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert.

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 1.0e-8.

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 0.

limit

Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

quad_qags ist genauer und effizienter als quad_qag für das folgende Beispiel.

(%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 'epsrel=1d-10);
(%o1)   [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]

Funktion: quad_qagi (f(x), x, a, b, [epsrel, epsabs, limit])
Funktion: quad_qagi (f, x, a, b, [epsrel, epsabs, limit])

Die Funktion quad_qagi berechnet die folgenden Integrale über ein unendliches oder halb-unendliches Intervall.

           inf
          /
          [
          I    f(x) dx
          ]
          /
           a
           a
          /
          [
          I     f(x) dx
          ]
          /
           minf
           inf
          /
          [
          I     f(x) dx
          ]
          /
           minf

Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das transformierte Integrationsproblem wird dann mit einem geringfügig modifizierten Algorithmus wie in quad_qags gelöst.

Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird über einen unendlichen Bereich integriert.

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Eine der Grenzen des Integrationsbereiches kann unendlich sein. Ist dies nicht der Fall gibt quad_qagi eine Substantivform zurück.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 1.0e-8.

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 0.

limit

Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf, 'epsrel=1d-8);
(%o1)        [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
(%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
                               1
(%o2)                          --
                               32

Funktion: quad_qawc (f(x), x, c, a, b, [epsrel, epsabs, limit])
Funktion: quad_qawc (f, x, c, a, b, [epsrel, epsabs, limit])

Die Funktion quad_qawc berechnet den Cauchyschen Hauptwert von f(x)(x - c) über ein endliches Intervall (a, b) und dem Wert c.

           b
          /
          [  f(x)
          I  ----- dx
          ]  x - c
          /
           a

Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn c im Teilbereich enthalten ist, andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.

Die Funktion f(x)/(x - c), die von der Variablen x abhängt, wird in den Grenzen a und b integriert.

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 1.0e-8.

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist 0.

limit

Die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5,
                 'epsrel=1d-7);
(%o1)    [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
(%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1),
                 x, 0, 5);
Principal Value
                       alpha
        alpha       9 4                 9
       4      log(------------- + -------------)
                      alpha           alpha
                  64 4      + 4   64 4      + 4
(%o2) (-----------------------------------------
                        alpha
                     2 4      + 2

       3 alpha                       3 alpha
       -------                       -------
          2            alpha/2          2          alpha/2
    2 4        atan(4 4       )   2 4        atan(4       )   alpha
  - --------------------------- - -------------------------)/2
              alpha                        alpha
           2 4      + 2                 2 4      + 2
(%i3) ev (%, alpha=5, numer);
(%o3)                    - 3.130120337415917

Funktion: quad_qawf (f(x), x, a, omega, trig, [epsabs, limit, maxp1, limlst])
Funktion: quad_qawf (f, x, a, omega, trig, [epsabs, limit, maxp1, limlst])

Die Funktion quad_qawf berechnet die Sinus- oder Kosinus-Fouriertransformation mit der Gewichtsfunktion w über ein halb-unendliches Intervall.

           inf
          /
          [
          I    f(x) w(x) dx
          ]
          /
           a

Zur Berechnung des Integrals wird die global adaptive Routine quad_qawo sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.

Die Gewichtsfunktion w wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:

cos

w(x) = cos (omega x)

sin

w(x) = sin (omega x)

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 1.0e-10.

limit

(limit - limlst)/2 ist die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

maxp1

Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0 sein. Der Standardwert ist 100.

limlst

Obere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.

quad_qawf gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos, 'epsabs=1d-9);
(%o1)   [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
(%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf);
                          - 1/4
                        %e      sqrt(%pi)
(%o2)                   -----------------
                                2
(%i3) ev (%, numer);
(%o3)                   .6901942235215714

Funktion: quad_qawo (f(x), x, a, b, omega, trig, [epsrel, epsabs, limit, maxp1, limlst])
Funktion: quad_qawo (f, x, a, b, omega, trig, [epsrel, epsabs, limit, maxp1, limlst])

Die Funktion quad_qawo berechnet das folgende Integral mit den trigonometrischen Gewichtsfunktionen cos(omega x) f(x) oder sin(omega x) f(x) über ein endliches Intervall, wobei omega eine Konstante ist.

           b
          /
          [
          I  f(x) w(x) dx
          ]
          /
           a

Der Algorithmus basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik. quad_qawo wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von quad_qags ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus zu beschleunigen.

Die Gewichtsfunktion w wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:

cos

w(x) = cos (omega x)

sin

w(x) = sin (omega x)

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 1.0e-8

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0.

limit

limit/2 ist die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

maxp1

Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0 sein. Der Standardwert ist 100.

limlst

Obere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.

quad_qawo gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos);
(%o1)     [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
(%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x),
                x, 0, inf));
                   alpha/2 - 1/2            2 alpha
        sqrt(%pi) 2              sqrt(sqrt(2        + 1) + 1)
(%o2)   -----------------------------------------------------
                               2 alpha
                         sqrt(2        + 1)
(%i3) ev (%, alpha=2, numer);
(%o3)                     1.376043390090716

Funktion: quad_qaws (f(x), x, a, b, alpha, beta, wfun, [epsrel, epsabs, limit])
Funktion: quad_qaws (f, x, a, b, alpha, beta, wfun, [epsrel, epsabs, limit])

Die Funktion quad_qaws berechnet das Integral von w(x) f(x) über ein endliches Intervall [a, b], wobei w eine Funktion der Form (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) ist und v(x) ist 1 oder log(x - a) oder log(b - x) oder log(x - a) log(b - x), und alpha > -1 und beta > -1.

           b
          /
          [
          I  f(x) w(x) dx
          ]
          /
           a

quad_qaws ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen Endpunktsingularität konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle, die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.

Die Gewichtsfunktion wird mit dem Schlüsselwort wfun ausgewählt:

1

w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta

2

w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)

3

w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)

4

w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)

Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.

Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die Schlüsselwortargumente sind:

epsrel

Gewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 1.0e-8

epsabs

Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0.

limit

Maximale Anzahl der Teilintervalle des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.

quad_qaws gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:

Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:

Beispiele:

(%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1,
                 'epsabs=1d-9);
(%o1)     [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
(%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1);
       alpha
Is  4 2      - 1  positive, negative, or zero?

pos;
                          alpha         alpha
                   2 %pi 2      sqrt(2 2      + 1)
(%o2)              -------------------------------
                               alpha
                            4 2      + 2
(%i3) ev (%, alpha=4, numer);
(%o3)                     8.750097361672829

Function: quad_qagp (f(x), x, a, b, points, [epsrel, epsabs, limit])
Function: quad_qagp (f, x, a, b, points, [epsrel, epsabs, limit])

Integration of a general function over a finite interval. quad_qagp implements globally adaptive interval subdivision with extrapolation (de Doncker, 1978) by the Epsilon algorithm (Wynn, 1956).

quad_qagp computes the integral

integrate (f(x), x, a, b)

The function to be integrated is f(x), with dependent variable x, and the function is to be integrated between the limits a and b.

The integrand may be specified as the name of a Maxima or Lisp function or operator, a Maxima lambda expression, or a general Maxima expression.

To help the integrator, the user must supply a list of points where the integrand is singular or discontinous.

The keyword arguments are optional and may be specified in any order. They all take the form key=val. The keyword arguments are:

epsrel

Desired relative error of approximation. Default is 1d-8.

epsabs

Desired absolute error of approximation. Default is 0.

limit

Size of internal work array. limit is the maximum number of subintervals to use. Default is 200.

quad_qagp returns a list of four elements:

The error code (fourth element of the return value) can have the values:

0

no problems were encountered;

1

too many sub-intervals were done;

2

excessive roundoff error is detected;

3

extremely bad integrand behavior occurs;

4

failed to converge

5

integral is probably divergent or slowly convergent

6

if the input is invalid.

Examples:

(%i1) quad_qagp(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))),x,0,3,[1,sqrt(2)]);
(%o1)   [52.74074838347143, 2.6247632689546663e-7, 1029, 0]
(%i2) quad_qags(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))), x, 0, 3);
(%o2)   [52.74074847951494, 4.088443219529836e-7, 1869, 0]

The integrand has singularities at 1 and sqrt(2) so we supply these points to quad_qagp. We also note that quad_qagp is more accurate and more efficient that quad_qags.

Function: quad_control (parameter, [value])

Control error handling for quadpack. The parameter should be one of the following symbols:

current_error

The current error number

control

Controls if messages are printed or not. If it is set to zero or less, messages are suppressed.

max_message

The maximum number of times any message is to be printed.

If value is not given, then the current value of the parameter is returned. If value is given, the value of parameter is set to the given value.


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16.4 Differentialgleichungen


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16.4.1 Einführung in Differentialgleichungen

Dieses Kapitel beschreibt die Funktionen, die in Maxima verfügbar sind, um analytische Lösungen für verschiedene Typen von Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung zu erhalten. Eine numerische Lösung kann mit den Funktionen in dynamics berechnet werden. Für die graphische Darstellung von Differentialgleichungen siehe das Paket in plotdf.


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16.4.2 Funktionen und Variablen für Differentialgleichungen

Funktion: bc2 (solution, xval1, yval1, xval2, yval2)

Löst das Randwertproblem einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben wird. xval1 gibt den Wert der unabhängigen Variablen im ersten Randpunkt an. Der Randwert wird als ein Ausdruck x = x1 angegeben. Das Argument yval1 gibt den Wert der abhängigen Variablen in diesem Punkt an. Der Randwert wird als y = y1 angegeben. Mit den Argumenten xval2 und yval2 werden die entsprechenden Werte an einem zweiten Randpunkt angegeben.

Siehe die Funktion ode2 für Beispiele.

Funktion: desolve (eqn, x)
Funktion: desolve ([eqn_1, …, eqn_n], [x_1, …, x_n])

Die Funktion desolve löst lineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe der Methode der Laplacetransformation. Die Argumente eqn_i sind die Differentialgleichungen mit den abhängigen Variablen x_1, …, x_n. Die funktionale Abhängigkeit der Variablen x_1, …, x_n zum Beispiel von einer Variablen x muss explizit für die Variablen und ihrer Ableitungen angegeben werden. Zum Beispiel ist sind die folgenden zwei Gleichungen keine korrekte Definition:

eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);

Eine korrekte Definition der zwei Gleichungen ist

eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);

Die Funktion desolve wird dann folgendermaßen aufgerufen

desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);

Sind Anfangswerte für x=0 bekannt, können diese mit der Funktion atvalue vor dem Aufruf der Funktion desolve angegeben werden.

(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
                 d           d
(%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
                 dx          dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
                  2
                 d            d
(%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
                   2          dx
                 dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3)                           a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4)                           1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
                  x
(%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) = 
                                                x
                                   cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
             x       x      x                x
(%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]

Kann desolve keine Lösung finden, ist die Rückgabe false.

Funktion: ic1 (solution, xval, yval)

Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 1. Ordnung. Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument yval wird der Anfangswert der unabhängigen Variablen in der Form y = y0 angegeben.

Siehe die Funktion ode2 für ein Beispiel.

Funktion: ic2 (solution, xval, yval, dval)

Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument yval wird der Anfangswert der abhängigen Variablen in der Form y = y0 angegeben. Mit dem Argument dval wird der Anfangswert der ersten Ableitung der abhängigen Variablen nach der unabhängigen Variablen in der Form diff(y,x) = dy0 angegeben. Dem Symbol diff muss kein Quote-Operator ' vorangestellt werden.

Siehe auch ode2 für ein Beispiel.

Funktion: ode2 (eqn, dvar, ivar)

Die Funktion ode2 löst eine gewöhnliche Differentialgleichung der ersten oder zweiten Ordnung. Die Funktion hat drei Argumente: die Differentialgleichung eqn, die abhängige Variable dvar und die unabhängige Variable ivar. Ist die Funktion ode2 erfolgreich wird eine explizite oder implizite Lösung für die abhängige Variable zurückgegeben. Im Fall einer Differentialgleichung 1. Ordnung wird die Integrationskonstante mit %c bezeichnet. Für eine Differentialgleichung 2. Ordnung werden die Integrationskonstanten mit %k1 und %k2 bezeichnet. Die Abhängigkeit der abhängigen Variable von der unabhängigen Variablen muss nicht explizit, wie im Fall von desolve angegeben werden.

Kann ode2 keine Lösung finden, ist die Rückgabe false. Gegebenenfalls wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Folgende Methoden werden für das Lösen einer Differentialgleichung 1. Ordnung nacheinander angewendet: linear, separierbar, exakt - wenn notwendig unter Zuhilfenahme eines Integrationsfaktors, homogen, bernoullische Differentialgleichung und eine Methode für verallgemeinerte homogene Gleichungen. Für eine Differentialgleichung 2. Ordnung kommen die folgenden Methoden zur Anwendung: konstante Koeffizienten, exakt, linear homogen mit nicht-konstanten Koeffizienten, die zu konstanten Koeffizienten transformiert werden können, eulersche Differentialgleichung, Variation der Parameter, Reduktion auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung, wenn die Differentialgleichung entweder frei von der unabhängigen oder der abhängigen Variablen ist.

Im Laufe des Lösungsverfahrens werden zur Information des Nutzers globale Variablen gesetzt: method bezeichnet die Methode, die von ode2 zum Auffinden der Lösung verwendet wurde. intfactor bezeichnet einen verwendeten Integrationsfaktor. odeindex bezeichnet den Index der bernoullischen Gleichung oder der verallgemeinerte Methode für eine homogene Differentialgleichung. yp bezeichnet eine partikuläre Lösung, wenn die Variation der Parameter angewendet wird.

Für das Lösen von Anfangswertproblemen einer Differentialgleichung 1. oder 2. Ordnung können die Funktionen ic1 und ic2 verwendet werden. Ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung kann mit der Funktion bc2 gelöst werden.

Beispiele:

(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
                      2 dy           sin(x)
(%o1)                x  -- + 3 x y = ------
                        dx             x
(%i2) ode2(%,y,x);
                             %c - cos(x)
(%o2)                    y = -----------
                                  3
                                 x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
                              cos(x) + 1
(%o3)                   y = - ----------
                                   3
                                  x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
                         2
                        d y      dy 3
(%o4)                   --- + y (--)  = 0
                          2      dx
                        dx
(%i5) ode2(%,y,x);
                      3
                     y  + 6 %k1 y
(%o5)                ------------ = x + %k2
                          6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
                             3
                          2 y  - 3 y
(%o6)                   - ---------- = x
                              6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
                         3
                        y  - 10 y       3
(%o7)                   --------- = x - -
                            6           2

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