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5.3 Funktionen und Variablen für Konstante

Konstante: %e

%e ist die Basis des natürlichen Logarithmus, auch Eulersche Zahl genannt. Der numerische Wert der Konstanten als Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit ist 2.718281828459045d0.

Die Funktion bfloat kann %e mit einer beliebigen Genauigkeit berechnen.

Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird %e durch den numerischen Wert ersetzt, aber nicht, wenn %e die Basis der Exponentiation mit einem symbolischen Exponenten ist. Hat zusätzlich die Optionsvariable %enumer den Wert true, dann wird %e in einem Ausdruck immer durch den numerischen Wert ersetzt.

Beispiel:

Berechnung von %e auf 48 Stellen.

(%i1) fpprec: 48$
(%i2) bfloat(%e);
(%o2)  2.7182818284590452353602874713526624977572470937b0

Die Wirkung der Optionsvariablen numer und %enumer auf das Ersetzen von %e durch den numerischen Wert.

(%i1) %e, numer;
(%o1)                   2.718281828459045
(%i2) %e^x, numer;
                                 x
(%o2)                          %e
(%i3) %e^x, numer, %enumer;
                                        x
(%o3)                  2.718281828459045

Im ersten Beispiel vereinfacht die Reihe zu %e. Für die Vereinfachung der Reihe wird die Funktion simplify_sum geladen. Im zweiten Beispiel ist %e der Grenzwert.

(%i1) load("simplify_sum")$

(%i2) sum(1/n!, n, 0, inf);
                            inf
                            ====
                            \     1
(%o2)                        >    --
                            /     n!
                            ====
                            n = 0
(%i3) simplify_sum(%);

(%o3)                          %e

(%i4) limit((1+x)^(1/x), x, 0);
(%o4)                          %e
Konstante: %i

%i ist die imaginäre Einheit.

Maxima kennt keinen eigenen Typ für komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen werden von Maxima intern als die Addition von Realteil und dem mit der imaginären Einheit %i multiplizierten Imaginärteil dargestellt. Zum Beispiel sind die komplexen Zahlen 2 + 3*%i und 2 - 3*%i die Wurzeln der Gleichung x^2 - 4*x + 13 = 0. Siehe auch das Kapitel Zahlen.

Beispiele:

Einige Beispiele für das Rechnen mit der imaginären Einheit.

(%i1) sqrt(-1);
(%o1)                          %i
(%i2) %i^2;
(%o2)                          - 1
(%i3) exp(%i*%pi/2);
(%o3)                          %i
(%i4) sin(%i*x);
(%o4)                      %i sinh(x)
Konstante: false

Repräsentiert den logischen Wert falsch. false wird intern von Maxima durch die Lisp-Konstante NIL dargestellt.

Siehe auch true für den logischen Wert wahr.

Konstante: %gamma

Die Euler-Mascheroni-Konstante mit dem Wert 0.5772156649015329 als Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit.

Die Funktion bfloat kann %gamma mit einer beliebigen Genauigkeit berechnen.

Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird die Konstante %gamma durch ihren numerischen Wert ersetzt.

Beispiele:

Numerische Werte für %gamma.

(%i1) %gamma, numer;
(%o1)                   .5772156649015329
(%i2) bfloat(%gamma), fpprec: 48;
(%o2)  5.7721566490153286060651209008240243104215933594b-1

Bestimmte Integrale, die %gamma als Ergebnis haben.

(%i1) -integrate(exp(-t)*log(t), t, 0, inf);
(%o1)                        %gamma
(%i2) -integrate(log(log(1/t)),t, 0,1);
(%o2)                        %gamma
Konstante: ind

ind repräsentiert ein unbestimmtes Ergebnis. Siehe auch und und die Funktion limit.

Beispiel:

(%i1) limit(sin(1/x), x, 0);
(%o1)                          ind
Konstante: inf

inf repräsentiert einen positiven unendlich großen Wert. Siehe auch minf und infinity.

Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen sum verwendet werden.

Konstante: infinity

infinity repräsentiert einen komplexen unendlichen Wert. Siehe auch inf und minf.

Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen sum verwendet werden.

Konstante: minf

minf repräsentiert einen negativen unendlichen Wert. Siehe auch inf und infinity.

Die unendlichen Größen, aber auch die unbestimmten Größen ind und und, eignen sich nicht für das arithmetische Rechnen. Diese Größen werden von Maxima in Rechnungen wie Symbole behandelt, was zu fehlerhaften Ergebnissen führt. Daher sollten unendliche Größen nur im Zusammenhang mit Grenzwerten limit, bestimmten Integralen integrate oder Reihen sum verwendet werden.

Konstante: %phi

%phi repräsentiert die Goldene Zahl \((1 + sqrt(5))/2\). Der Wert als Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist 1.618033988749895d0.

Die Funktion fibtophi drückt Fibonacci-Zahlen fib(n) durch die Goldene Zahl %phi aus. Standardmäßig kennt Maxima keine algebraischen Eigenschaften der Konstanten %phi. Mit den Eingaben tellrat(%phi^2-%phi-1) und algebraic: true kann die Funktion ratsimp einige Vereinfachungen ausführen.

Die Funktion bfloat kann %phi mit einer beliebigen Genauigkeit berechnen. Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird die Konstante %phi durch ihren numerischen Wert ersetzt.

Beispiele:

Numerische Werte für %phi.

(%i1) %phi, numer;
(%o1)                   1.618033988749895
(%i2) bfloat(%phi), fpprec: 48;
(%o2)  1.61803398874989484820458683436563811772030917981b0

fibtophi drückt Fibonacci-Zahlen fib(n) durch %phi aus.

(%i1) fibtophi (fib (n));
                           n             n
                       %phi  - (1 - %phi)
(%o1)                  -------------------
                           2 %phi - 1
(%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
(%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
(%i3) fibtophi (%);
            n + 1             n + 1       n             n
        %phi      - (1 - %phi)        %phi  - (1 - %phi)
(%o3) - --------------------------- + -------------------
                2 %phi - 1                2 %phi - 1
                                          n - 1             n - 1
                                      %phi      - (1 - %phi)
                                    + ---------------------------
                                              2 %phi - 1
(%i4) ratsimp (%);
(%o4)                           0

Mit den Eingaben tellrat(%phi^2-%phi-1) und algebraic:true kann die Funktion ratsimp einige Vereinfachungen für Ausdrücke ausführen, die %phi enthalten.

(%i1) e : expand ((%phi^2 - %phi - 1) * (A + 1));
                 2                      2
(%o1)        %phi  A - %phi A - A + %phi  - %phi - 1
(%i2) ratsimp (e);
                  2                     2
(%o2)        (%phi  - %phi - 1) A + %phi  - %phi - 1
(%i3) tellrat (%phi^2 - %phi - 1);
                            2
(%o3)                  [%phi  - %phi - 1]
(%i4) algebraic : true;
(%o4)                         true
(%i5) ratsimp (e);
(%o5)                           0
Konstante: %pi

%pi repräsentiert die Kreiszahl. Der numerische Wert als Gleitkommazahl in doppelter Genauigkeit ist 3.141592653589793d0.

Die Funktion bfloat kann %pi mit einer beliebigen Genauigkeit berechnen. Hat die Optionsvariable numer den Wert true, wird die Konstante %pi durch ihren numerischen Wert ersetzt.

Beispiele:

Numerische Werte für %pi.

(%i1) %pi, numer;
(%o1)                   3.141592653589793
(%i2) bfloat(%pi), fpprec:48;
(%o2)  3.14159265358979323846264338327950288419716939938b0

Grenzwert und bestimmte Integrale, die %pi als Ergebnis haben.

(%i1) 'limit(n!^2*(n+1)^(2*n^2+n)/(2*n^(2*n^2+3*n+1)),n,inf);
                        2                     2
                   - 2 n  - 3 n - 1        2 n  + n   2
         limit    n                 (n + 1)         n!
         n -> inf
(%o1)    ----------------------------------------------
                               2
(%i2) %, nouns;
(%o2)                          %pi
(%i3) 'integrate(4*sqrt(1-t^2),t,0,1);
                         1
                        /
                        [            2
(%o3)                 4 I  sqrt(1 - t ) dt
                        ]
                        /
                         0
(%i4) %, nouns;
(%o4)                          %pi
(%i5) 'integrate(2*exp(-t^2),t,0,inf);
                           inf
                          /         2
                          [      - t
(%o5)                   2 I    %e     dt
                          ]
                          /
                           0
(%i6) %, nouns;
(%o6)                       sqrt(%pi)
Konstante: true

true repräsentiert den logischen Wert wahr. Intern ist true als die Lisp-Konstante T implementiert.

Siehe auch false für den logischen Wert falsch.

Konstante: und

und repräsentiert ein nicht definiertes Ergebnis. Siehe auch ind und die Funktion limit.

Beispiel:

(%i1) limit (x*sin(x), x, inf);
(%o1)                          und
Konstante: zeroa

zeroa repräsentiert eine positive unendlich kleine Zahl. zeroa kann in Ausdrücken benutzt werden. Die Funktion limit vereinfacht Ausdrücke, die infinitesimale Größen enthalten.

Siehe auch zerob und limit.

Beispiele:

limit vereinfacht Ausdrücke, die infinitesimale Größen enthalten.

(%i1) limit(zeroa);
(%o1)                           0
(%i2) limit(x+zeroa);
(%o2)                           x
Konstante: zerob

zerob repräsentiert eine negative unendlich kleine Zahl. zerob kann in Ausdrücken benutzt werden. Die Funktion limit vereinfacht Ausdrücke, die infinitesimale Größen enthalten.

Siehe auch zeroa und limit.


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