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23. Fourier-Transformationen


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23.1 Einführung in die schnelle Fourier-Transformation

Das Paket fft enthält Funktionen für die numerische Berechnung der schnellen Fourier Transformation (FFT - "Fast Fourier Transform").


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23.2 Funktionen und Variablen für die schnelle Fourier-Transformation

Funktion: polartorect (r, t)

Transformiert komplexe Zahlen der Form r %e^(%i t) in die Standardform a + b %i. r ist der Betrag der komplexen Zahl und t die Phase. Die Argumente r und t sind eindimensionale Arrays derselben Größe. Die Größe der Arrays muss eine Potenz von 2 sein.

Die Werte der originalen Arrays werden durch den Realteil a = r cos(t) und den Imaginärteil b = r sin(t) ersetzt.

polartorect ist die inverse Funktion zu recttopolar.

Das Kommando load(fft) lädt die Funktion.

Funktion: recttopolar (a, b)

Transformiert komplexe Zahlen der Form a + b %i in die Polarform r %e^(%i t). a ist der Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahl. Die Argumente a und b sind eindimensionale Arrays derselben Größe. Die Größe der Arrays muss eine Potenz von 2 sein.

Die Werte der originalen Arrays werden durch den Betrag r = sqrt(a^2 + b^2 und die Phase t = atan2(b, a) ersetzt. Die Phase ist ein Winkel in dem Bereich -%pi bis %pi.

recttoploar ist die inverse Funktion zu polartorect.

Das Kommando load(fft) lädt die Funktion.

Funktion: inverse_fft (y)

Berechnet die inverse schnelle Fourier-Transformation. Das Argument y ist eine Liste oder ein Array mit den Daten, die zu transformieren sind. Die Anzahl der Daten muss eine Potenz von 2 sein. Die Elemente müssen Zahlen (ganze, rationale, Gleitkommazahlen oder große Gleitkommazahlen) oder numerische Konstanten sein. Weiterhin können die Elemente komplexe Zahlen a + b*%i sein, wobei der Realteil und der Imaginärteil wiederum Zahlen oder numerische Konstanten sein müssen.

inverse_fft gibt ein neues Objekt vom selben Typ wie y zurück. Die Ergebnisse sind immer Gleitkommazahlen oder komplexe Zahlen a + %i*b, wobei a und b Gleitkommazahlen sind.

Die inverse diskrete Fourier-Transformation ist wie folgt definiert. Wenn x das Ergebnis der inversen Fourier-Transformation ist, dann gilt für j von 0 bis n-1

x[j] = sum(y[k] exp(2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)

Mit dem Kommando load(fft) wird die Funktion geladen. Siehe auch fft für die schnelle Fourier-Transformation.

Beispiele:

Reelle Daten.

(%i1) load (fft) $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
(%i4) L1 : inverse_fft (L);
(%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0, 
                       4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284]
(%i5) L2 : fft (L1);
(%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i, 
4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0, 
7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6)                       3.545L-16

Komplexe Daten.

(%i1) load (fft) $
(%i2) fpprintprec : 4 $                 
(%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
(%i4) L1 : inverse_fft (L);
(%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0, 
- 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0, 
2.828 %i + 2.828]
(%i5) L2 : fft (L1);
(%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 
1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 
1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));                    
(%o6)                       6.841L-17

Funktion: fft (x)

Berechnet die schnelle Fourier-Transformation. Das Argument x ist eine Liste oder ein Array mit den Daten, die zu transformieren sind. Die Anzahl der Elemente muss eine Potenz von 2 sein. Die Elemente müssen Zahlen (ganze, rationale, Gleitkommazahlen oder große Gleitkommazahlen) oder numerische Konstanten sein. Weiterhin können die Elemente komplexe Zahlen a + b*%i sein, wobei der Realteil und der Imaginärteil wiederum Zahlen oder numerische Konstanten sein müssen.

inverse_fft gibt ein neues Objekt vom selben Typ wie x zurück. Die Ergebnisse sind immer Gleitkommazahlen oder komplexe Zahlen a + %i*b, wobei a und b Gleitkommazahlen sind.

Die diskrete Fourier-Transformation ist wie folgt definiert. Wenn y das Ergebnis der Fourier-Transformation ist, dann gilt für k von 0 bis n-1

y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(-2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)

Sind die Daten x reelle Zahlen, dann werden die reellen Koeffizienten a und b so berechnet, dass gilt

x[j] = sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) 
          + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2)

wobei

a[0] = realpart (y[0])
b[0] = 0

und für k von 1 bis n/2-1

a[k] = realpart (y[k] + y[n - k])
b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])

sowie

a[n/2] = realpart (y[n/2])
b[n/2] = 0

Das Kommando load(fft) lädt die Funktion. Siehe auch inverse_fft für die inverse schnelle Fourier-Transformation.

Beispiele:

Reelle Daten.

(%i1) load (fft) $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
(%i4) L1 : fft (L);
(%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0, 
                         .3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036]
(%i5) L2 : inverse_fft (L1);
(%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0, 
4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0, 
- 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6)                       3.545L-16

Komplexe Daten.

(%i1) load (fft) $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
(%i4) L1 : fft (L);
(%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25, 
0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25, 
0.5 - 3.388L-20 %i]
(%i5) L2 : inverse_fft (L1);
(%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 
- 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 
1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0]
(%i6) lmax (abs (L2 - L));
(%o6)                       6.83L-17

Berechnung der Sinus- und Kosinus-Koeffizienten.

(%i1) load (fft) $
(%i2) fpprintprec : 4 $
(%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
(%i4) n : length (L) $
(%i5) x : make_array (any, n) $
(%i6) fillarray (x, L) $
(%i7) y : fft (x) $
(%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $
(%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $
(%i10) a[0] : realpart (y[0]) $
(%i11) b[0] : 0 $
(%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do
   (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
    b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
(%o12)                        done
(%i13) a[n/2] : y[n/2] $
(%i14) b[n/2] : 0 $
(%i15) listarray (a);
(%o15)          [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5]
(%i16) listarray (b);
(%o16)           [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0]
(%i17) f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] 
                         * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $
(%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
(%o18)      [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]

Funktion: horner (expr, x)
Funktion: horner (expr)

Formt ein Polynom expr in das Horner-Schema um. Mit x wird die Variable angegeben, für die das Horner-Schema zu bilden ist. Wird das Argument x nicht angegeben, wird die Hauptvariable des kanonischen Ausdrucks expr für die Bildung des Horner-Schemas genutzt.

Das Horner-Schema kann die Stabilität der numerischen Berechnung eines Ausdrucks verbessern.

Beispiel:

(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
                           2
(%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
(%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
(%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
(%i3) ev (expr, x=1e155);
Maxima encountered a Lisp error:

 floating point overflow

Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i4) ev (expr2, x=1e155);
(%o4)                       7.0E+154

Funktion: find_root (expr, x, a, b)
Funktion: find_root (f, a, b)
Optionsvariable: find_root_error
Optionsvariable: find_root_abs
Optionsvariable: find_root_rel

Findet die Nullstellen eines Ausdrucks expr oder einer Funktion f in dem Intervall [a, b]. Der Ausdruck expr kann eine Gleichung sein. In diesem Fall sucht die Funktion find_root die Nullstellen für den Ausdruck lhs(expr) - rhs(expr).

Kann Maxima den Ausdruck expr oder die Funktion f in dem Intervall [a, b] für alle Werte auswerten und ist der Ausdruck expr oder die Funktion f in dem Intervall stetig, dann ist sicher, dass find_root die Nullstelle oder zumindest eine Nullstelle findet, wenn mehrere Nullstellen vorhanden sind.

find_root beginnt mit einer binären Suche der Nullstelle. Erscheint die Funktion als glatt genug, wendet Maxima einen Algorithmus mit einer linearen Interpolation für die Suche der Nullstelle an.

Die Genauigkeit der Nullstellensuche wird von den Optionsvariablen find_root_abs und find_root_rel kontrolliert. find_root endet, wenn die Auswertung der Funktion ein Ergebnis hat, das kleiner als find_root_abs ist oder wenn aufeinander folgende Auswertungen Ergebnisse x_0 und x_1 haben, die sich voneinander weniger als find_root_rel * max(abs(x_0), abs(x_1)) unterscheiden. Der Standardwert der Optionsvariablen find_root_abs und find_root_rel ist Null.

find_root erwartet, dass die Funktion an den Endpunkten des Intervalls für die Nullstellensuche ein unterschiedliches Vorzeichen hat. Hat die Funktion an den Endpunkten des Intervalls dasselbe Vorzeichen, wird das Verhalten der Funktion find_root von der Optionsvariablen find_root_error kontrolliert. Hat find_root_error den Wert true, wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Ansonsten wird von find_root der Wert von find_root_error als Ergebnis zurückgegeben. Der Standardwert von find_root_error ist true.

Kann die Funktion f bei der Nullstellensuche nicht zu einer Zahl ausgewertet werden, gibt find_root ein teilweise ausgewertetes Ergebnis zurück.

Die Reihenfolge der Grenzen des Intervalls a und b wird ignoriert. find_root sucht die Nullstellen immer in dem Intervall [min(a, b), max(a, b)].

Beispiele:

(%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
                                        x
(%o1)                  f(x) := sin(x) - -
                                        2
(%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
(%o2)                   1.895494267033981
(%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
(%o3)                   1.895494267033981
(%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
(%o4)                   1.895494267033981
(%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
(%o5)                   1.895494267033981
(%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
                            x
(%o6)           find_root(%e  = y, x, 0.0, 100.0)
(%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
(%o7)                   2.302585092994046
(%i8) log (10.0);
(%o8)                   2.302585092994046

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23.3 Einführung in Fourierreihen

Das Paket fourie enthält Funktionen für die symbolische Berechnungen von Fourierreihen. Weiterhin enthält das Paket Funktionen, um Fourierkoeffizienten zu berechnen und einige weitere Funktionen.


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23.4 Funktionen und Variablen für Fourierreihen

Funktion: equalp (x, y)

Gibt true zurück, wenn equal(x, y) das Ergebnis true hat. Ansonsten ist das Ergebnis false.

Funktion: remfun (f, expr)
Funktion: remfun (f, expr, x)

remfun(f, expr ersetzt f(arg) durch arg im Ausdruck expr.

remfun(f, expr, x) ersetzt f (arg) durch arg im Ausdruck expr nur dann, wenn arg die Variable x enthält.

Funktion: funp (f, expr)
Funktion: funp (f, expr, x)

funp(f, expr) hat das Ergebnis true, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthält.

funp(f, expr, x) hat das Ergebnis true, wenn der Ausdruck expr die Funktion f enthält und die Variable x ein Argument der Funktion f ist.

Funktion: absint (f, x, halfplane)
Funktion: absint (f, x)
Funktion: absint (f, x, a, b)

absint(f, x, halfplane) gibt das unbestimmte Integral der Funktion f für die Variable x zurück. Das Integral wird in der angegebenen Halbebene pos, neg oder für beide Halbebenen mit both berechnet. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten: abs(x), abs(sin(x)), abs(a) * exp(-abs(b) * abs(x)).

absint(f, x) ist äquivalent zu absint(f, x, pos).

absint(f, x, a, b) gibt das bestimmte Integral der Funktion f für die Variable x in den Grenzen a und b zurück. Der Integrand kann die Betragsfunktion enthalten.

Funktion: fourier (f, x, l)

Berechnet die Fourier-Koeffizienten a[0], a[n] und b[n] der Funktion f(x) für das Intervall [-l, l]. Die Fourierreihe ist definiert als:

         inf
         ====
         \             %pi n x           %pi n x
  f(x) =  >    (b  sin(-------) + a  cos(-------))
         /       n        l        n        l
         ====
         n = 0

Die Koeffizienten der Fourierreihe werden folgendermaßen berechnet:

                     l
                    /
                - 1 [
      a  = 1/2 l    I    f(x) dx
       0            ]
                    /
                     - l
                 l
                /
            - 1 [                  - 1
      a  = l    I    f(x) cos(%pi l    n x) dx
       n        ]
                /
                 - l
                  l
                 /
            - 1 [                  - 1
      b  = l    I    f(x) sin(%pi l    n x) dx
       n        ]
                /
                 - l

fourier weist die Fourier-Koeffizienten Zwischenmarken zu. Die Zwischenmarken werden als eine Liste zurückgegeben.

Der Index der Summe ist immer das Symbol n. Sinus- und Kosinusfunktionen mit ganzzahligen Vielfachen von %pi werden nicht automatisch vereinfacht. Dies kann mit der Funktion foursimp erreicht werden, der als Argument die Liste der Fourier-Koeffizienten übergeben wird.

Mit der Funktion fourexpand kann die Fourierreihe aus den Fourier-Koeffizienten konstruiert werden. Siehe auch die Funktion totalfourier.

Mit den Funktionen fourcos und foursin werden jeweils die Koeffizienten der Kosinus- und Sinus-Entwicklung berechnet.

Beispiel:

(%i1) load(fourie)$

(%i2) fourier(x, x, 1);
(%t2)                        a  = 0
                              0

(%t3)                        a  = 0
                              n

                        sin(%pi n)   cos(%pi n)
(%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                 n          2  2       %pi n
                         %pi  n

(%o4)                    [%t2, %t3, %t4]
(%i5) foursimp(%);
(%t5)                        a  = 0
                              0

(%t6)                        a  = 0
                              n

                                       n
                                2 (- 1)
(%t7)                    b  = - --------
                          n      %pi n

(%o7)                    [%t5, %t6, %t7]
(%i8) fourexpand(%, x, 1, inf);
                      inf
                      ====       n
                      \     (- 1)  sin(%pi n x)
                    2  >    -------------------
                      /              n
                      ====
                      n = 1
(%o8)             - ---------------------------
                                %pi

Funktion: foursimp (l)

foursimp wird auf das Ergebnis der Funktion fourier angewendet, um Sinus- und Kosinus-Funktionen zu vereinfachen, die ganzzahlige Vielfache von %pi enthalten. Das Argument l ist eine Liste mit den Koeffizienten der Fourierreihe, für die die Vereinfachung ausgeführt werden soll.

sin(n %pi) wird zu 0 vereinfacht, wenn die Optionsvariable sinnpiflag den Wert true hat, und cos(n %pi) wird zu (-1)^n, wenn die Optionsvariable cosnpiflag den Wert true hat.

Siehe die Funktion fourier für ein Beispiel.

Optionsvariable: sinnpiflag

Standardwert: true

Kontrolliert die Vereinfachung der Sinus-Funktion durch die Funktion foursimp. Siehe die Funktion foursimp.

Optionsvariable: cosnpiflag

Standardwert: true

Kontrolliert die Vereinfachung der Kosinus-Funktion durch die Funktion foursimp. Siehe die Funktion foursimp.

Funktion: fourexpand (l, x, p, limit)

Konstruiert aus der Liste der Fourier-Koeffizienten l eine Fourierreihe mit limit Termen. Das Argument limit kann inf sein. Die Argumente x und p haben dieselbe Bedeutung wie für die Funktion fourier.

Siehe die Funktion fourier für ein Beispiel.

Funktion: fourcos (f, x, p)

Gibt die Kosinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, p] definiert ist.

Funktion: foursin (f, x, p)

Gibt die Sinus-Koeffizienten einer Fourierreihe für die Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, p] definiert ist.

Funktion: totalfourier (f, x, l)

Gibt die Fourierreihe der Funktion f(x) für das Intervall [-l, l] zurück. Das Ergebnis wird berechnet, indem die nacheinander die Funktionen foursimp und fourexpand auf das Ergebnis der Funktion fourier angewendet werden.

Beispiel:

(%i1) load(fourie)$

(%i2) totalfourier(x, x, 1);
(%t2)                        a  = 0
                              0

(%t3)                        a  = 0
                              n

                        sin(%pi n)   cos(%pi n)
(%t4)           b  = 2 (---------- - ----------)
                 n          2  2       %pi n
                         %pi  n

(%t5)                        a  = 0
                              0

(%t6)                        a  = 0
                              n
                                       n
                                2 (- 1)
(%t7)                    b  = - --------
                          n      %pi n
                      inf
                      ====       n
                      \     (- 1)  sin(%pi n x)
                    2  >    -------------------
                      /              n
                      ====
                      n = 1
(%o7)             - ---------------------------
                                %pi

Funktion: fourint (f, x)

Konstruiert eine Liste der Fourierintegral-Koeffizienten der Funktion f(x), die auf dem Intervall [minf, inf] definiert ist.

Funktion: fourintcos (f, x)

Gibt die Koeffizienten des Kosinus-Fourierintegrals der Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, inf] definiert ist.

Funktion: fourintsin (f, x)

Gibt die Koeffizienten des Sinus-Fourierintegrals der Funktion f(x) zurück, die auf dem Intervall [0, inf] definiert ist.


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