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Berechnet den Betrag eines komplexen Ausdrucks expr. Im Unterschied
zu der Funktion abs, zerlegt die Funktion cabs einen komplexen
Ausdruck immer in einen Realteil und Imaginärteil, um den komplexen Betrag zu
berechnen. Sind x und y zwei reelle Variablen oder Ausdrücke,
berechnet die Funktion cabs den Betrag des komplexen Ausdrucks
x + %i*y als:
2 2
sqrt(y + x )
Die Funktion cabs nutzt Symmetrieeigenschaften und implementierte
Eigenschaften komplexer Funktionen, um den Betrag eines Ausdrucks zu berechnen.
Sind solche Eigenschaften für eine Funktion vorhanden, können diese mit der
Funktion properties angezeigt werden. Eigenschaften, die das Ergebnis
der Funktion cabs bestimmen, sind: mirror symmetry,
conjugate function und complex characteristic.
cabs ist eine Verbfunktion, die nicht für das symbolische Rechnen
geeignet ist. Für das symbolische Rechnen wie der Integration oder der
Ableitung von Ausdrücken mit der Betragsfunktion muss die Funktion abs
verwendet werden.
Das Ergebnis der Funktion cabs kann die Betragsfunktion abs und
den Arkustangens atan2 enthalten.
cabs wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie auf
die beiden Seiten von Gleichungen angewendet.
Siehe auch die Funktionen rectform, realpart,
imagpart, carg, conjugate, und
polarform für das Rechnen mit komplexen Zahlen.
Beispiele:
Zwei Beispiele mit der Wurzelfunktion sqrt und der Sinusfunktion
sin.
(%i1) cabs(sqrt(1+%i*x));
2 1/4
(%o1) (x + 1)
(%i2) cabs(sin(x+%i*y));
2 2 2 2
(%o2) sqrt(cos (x) sinh (y) + sin (x) cosh (y))
Die Funktion erf hat Spiegelsymmetrie, die hier für die Berechnung des
komplexen Betrages angewendet wird.
(%i3) cabs(erf(x+%i*y));
2
(erf(%i y + x) - erf(%i y - x))
(%o3) sqrt(--------------------------------
4
2
(erf(%i y + x) + erf(%i y - x))
- --------------------------------)
4
Maxima kennt komplexe Eigenschaften der Besselfunktionen, um den komplexen
Betrag zu vereinfachen. Dies ist ein Beispiel für die Besselfunktion
bessel_j.
(%i4) cabs(bessel_j(1,%i)); (%o4) abs(bessel_j(1, %i))
Gibt das komplexe Argument des Ausdrucks expr zurück. Das komplexe
Argument ist ein Winkel theta im Intervall (-%pi, %pi) derart,
dass expr = r exp (theta %i) gilt, wobei r den Betrag des
komplexen Ausdrucks expr bezeichnet. Das ist die Polarform des Ausdrucks,
wie sie auch von der Funktion polarform zurückgegeben wird. Der Betrag
des komplexen Ausdrucks kann mit der Funktion cabs berechnet werden.
Das Ergebnis der Funktion carg kann die Funktion atan2 enthalten.
carg wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie auf
die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe distribute_over.
Die Funktion carg ist eine Verbfunktion, mit der nicht symbolisch
gerechnet werden kann.
Siehe auch die Funktionen rectform, realpart und
imagpart sowie die Funktionen cabs und conjugate.
Beispiele:
(%i1) carg (1); (%o1) 0 (%i2) carg (1 + %i);
%pi
(%o2) ---
4
(%i3) carg (exp (%i));
(%o3) 1
(%i4) carg (exp (3/2 * %pi * %i));
%pi
(%o4) - ---
2
(%i5) carg(exp(x+%i*y));
(%o5) atan2(sin(y), cos(y))
(%i6) carg(sqrt(x+%i*y));
atan2(y, x)
(%o6) -----------
2
(%i7) carg(sqrt(1+%i*y));
atan(y)
(%o7) -------
2
Gibt den konjugiert komplexen Wert des Ausdrucks expr zurück. Sind
x und y reelle Variablen oder Ausdrücke, dann hat der Ausdruck
x + %i*y das Ergebnis x - %i*y. Die Funktion conjugate ist
für numerische und symbolische Rechnungen geeignet.
Maxima kennt Regeln, um den konjugierten Wert für Summen, Produkte und
Quotienten von komplexen Ausdrücken zu vereinfachen. Weiterhin kennt Maxima
Symmetrieeigenschaften und komplexe Eigenschaften von Funktionen, um den
konjugierten Wert mit diesen Funktionen zu vereinfachen. Sind solche
Eigenschaften für eine Funktion vorhanden, können diese mit der
Funktion properties angezeigt werden. Eigenschaften, die das Ergebnis
der Funktion conjugate bestimmen, sind: mirror symmetry,
conjugate function und complex characteristic.
conjugate wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie
auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Für das Rechnen mit komplexen Ausdrücken siehe auch die Funktionen
cabs und carg sowie rectform und polarform.
Beispiele:
Beispiele mit reellen, imaginären und komplexen Variablen.
(%i1) declare ([x, y], real, [z1, z2], complex, j, imaginary);
(%o1) done
(%i2) conjugate(x + %i*y);
(%o2) x - %i y
(%i3) conjugate(z1*z2);
(%o3) conjugate(z1) conjugate(z2)
(%i4) conjugate(j/z2);
j
(%o4) - -------------
conjugate(z2)
Im Folgenden nutzt Maxima Symmetrieeigenschaften, um den konjugiert komplexen
Wert der Funktionen gamma und sin zu berechnen. Die
Logarithmusfunktion log hat Spiegelsymmetrie, wenn das Argument einen
positiven Realteil hat.
(%i5) conjugate(gamma(x+%i*y)); (%o5) gamma(x - %i y) (%i6) conjugate(sin(x+%i*y)); (%o6) - sin(%i y - x) (%i7) conjugate(log(x+%i*y)); (%o7) conjugate(log(%i y + x)) (%i8) conjugate(log(1+%i*y)); (%o8) log(1 - %i y)
Gibt den Imaginärteil des Ausrucks expr zurück. Intern berechnet
Maxima den Imaginärteil mit der Funktion rectform, die einen
Ausdruck in den Realteil und in den Imaginärteil zerlegt. Daher treffen die
Ausführungen zu rectform auch auf die Funktion imagpart zu.
Wie die Funktion rectform ist auch die Funktion imagpart eine
Verbfunktion, mit der nicht symbolisch gerechnet werden kann.
imagpart wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie
auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Mit der Funktion realpart wird der Realteil eines Ausdrucks berechnet.
Siehe auch die Funktionen cabs, carg und
conjugate für das Rechnen mit komplexen Zahlen. Mit der Funktion
polarform kann ein komplexer Ausdruck in die Polarform gebracht werden.
Beispiele:
Für weitere Erläuterungen dieser Beispiele siehe auch die Funktion
rectform.
(%i1) imagpart((2-%i)/(1-%i));
1
(%o1) -
2
(%i2) imagpart(sin(x+%i*y));
(%o2) cos(x) sinh(y)
(%i3) imagpart(gamma(x+%i*y));
%i (gamma(x - %i y) - gamma(%i y + x))
(%o3) --------------------------------------
2
(%i4) imagpart(bessel_j(1,%i));
(%o4) bessel_j(1, %i)
Gibt den Ausdruck expr in der Polarform r %e^(%i theta) zurück.
r ist der Betrag des komplexen Ausdrucks, wie er auch mit der Funktion
cabs berechnet werden kann. theta ist das Argument des komplexen
Ausdrucks, das mit der Funktion carg berechnet werden kann.
Maxima kennt komplexe Eigenschaften von Funktionen, die bei der Berechnung der
Polarform angewendet werden. Siehe die Funktion cabs für weitere
Erläuterungen.
Wenn mit komplexen Ausdrücken in der Polarform gerechnet werden soll, ist es
hilfreich die Optionsvariable %emode auf den Wert false zu setzen.
Damit wird verhindert, dass Maxima komplexe Ausdrücke mit der
Exponentialfunktion exp automatisch in die Standardform vereinfacht.
polarform wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie
auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Die Funktion polarform ist eine Verbfunktion, mit der nicht symbolisch
gerechnet werden kann.
Siehe auch die Funktionen cabs, carg und
conjugate für das Rechnen mit komplexen Zahlen. Mit der Funktion
rectform kann ein komplexer Ausdruck in die Standardform gebracht werden.
Beispiele:
Die allgemeine Polarform eines komplexen Ausdrucks. Die Variablen x und y werden von Maxima als reell angenommen.
(%i1) polarform(x+%i*y);
2 2 %i atan2(y, x) (%o1) sqrt(y + x ) %e
Die Polarform einer komplexen Zahl und eines Ausdrucks mit einer reellen Variablen x.
(%i2) polarform(4/5+3*%i/5);
%i atan(3/4)
(%o2) %e
(%i3) polarform(sqrt(1+%i*x));
%i atan(x)
----------
2 1/4 2
(%o3) (x + 1) %e
Wenn in der Polarform gerechnet werden soll, ist es hilfreich die
Optionsvariable %emode auf den Wert false zu setzen. Damit wird
verhindert, dass Maxima komplexe Ausdrücke mit der Exponentialfunktion
exp automatisch in eine Standardform vereinfacht.
(%i4) z:polarform(1+%i);
%i %pi
------
4
(%o4) sqrt(2) %e
(%i5) z^3;
3/2 %i 1
(%o5) 2 (------- - -------)
sqrt(2) sqrt(2)
(%i6) %emode:false;
(%o6) false
(%i7) z^3;
3 %i %pi
--------
3/2 4
(%o7) 2 %e
Gibt den Realteil des Ausdrucks expr zurück. Intern berechnet Maxima
den Realteil mit der Funktion rectform, die einen Ausdruck in den
Realteil und in den Imaginärteil zerlegt. Daher treffen die Ausführungen
zu rectform auch auf die Funktion realpart zu.
Wie die Funktion rectform ist auch die Funktion realpart eine
Verbfunktion, mit der nicht symbolisch gerechnet werden kann.
realpart wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie
auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Mit der Funktion imagpart wird der Imaginärteil eines Ausdrucks
berechnet.
Siehe auch die Funktionen cabs, carg und
conjugate für das Rechnen mit komplexen Zahlen. Mit der Funktion
polarform kann ein komplexer Ausdruck in die Polarform gebracht werden.
Beispiele:
Für weitere Erläuterungen dieser Beispiele siehe auch die Funktion
rectform.
(%i1) realpart((2-%i)/(1-%i));
3
(%o1) -
2
(%i2) realpart(sin(x+%i*y));
(%o2) sin(x) cosh(y)
(%i3) realpart(gamma(x+%i*y));
gamma(%i y + x) + gamma(x - %i y)
(%o3) ---------------------------------
2
(%i4) realpart(bessel_j(1,%i));
(%o4) 0
Zerlegt den Ausdruck expr in den Realteil a und den Imaginärteil
b und gibt den komplexen Ausdruck in der Standardform a + b %i
zurück.
Die Funktion rectform nutzt Symmetrieeigenschaften und implementierte
Eigenschaften komplexer Funktionen, um den Realteil und Imaginärteil eines
komplexen Ausdrucks zu berechnen. Sind solche Eigenschaften für eine Funktion
vorhanden, können diese mit der Funktion properties angezeigt werden.
Eigenschaften, die das Ergebnis der Funktion rectform bestimmen, sind:
mirror symmetry, conjugate function und
complex characteristic.
rectform ist eine Verbfunktion, die nicht für das symbolische Rechnen
geeignet ist.
rectform wird automatisch auf die Elemente von Listen und Matrizen sowie
auf die beiden Seiten von Gleichungen angewendet. Siehe
distribute_over.
Die Funktionen realpart und imagpart geben jeweils allein den
Realteil und den Imaginärteil eines Ausdrucks zurück. Um einen Ausdruck in
die Polarform zu bringen, kann die Funktion polarform verwendet werden.
Siehe auch die Funktionen cabs, carg und
conjugate für das Rechnen mit komplexen Zahlen.
Beispiele:
Zerlegung eines komplexen Ausdrucks und der Sinusfunktion sin in den
Realteil und Imaginärteil. Maxima kennt komplexe Eigenschaften der
trigonometrischen Funktionen, um den Realteil und den Imaginärteil zu
bestimmen.
(%i1) rectform((2-%i)/(1-%i));
%i 3
(%o1) -- + -
2 2
(%i2) rectform(sin(x+%i*y)); (%o2) %i cos(x) sinh(y) + sin(x) cosh(y)
Bei der Zerlegung in einen Realteil und einen Imaginärteil nutzt Maxima die
Spiegelsymmetrie der Gammfunktion gamma. Die Eigenschaft der
Spiegelsymmetrie wird mit der Funktion properties angezeigt, der Eintrag
lautet mirror symmetry.
(%i3) properties(gamma);
(%o3) [mirror symmetry, noun, rule, gradef, transfun]
(%i4) rectform(gamma(x+%i*y));
gamma(%i y + x) + gamma(x - %i y)
(%o4) ---------------------------------
2
gamma(x - %i y) - gamma(%i y + x)
- ---------------------------------
2
Maxima kennt komplexe Eigenschaften der Besselfunktionen. Die Besselfunktion
bessel_j ist für eine ganzzahlige Ordnung und einem imaginären
Argument rein imaginär.
(%i5) rectform(bessel_j(1,%i)); (%o5) %i bessel_j(1, %i)
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