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16. Funciones elípticas


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16.1 Introducción a las funciones e integrales elípticas

Maxima da soporte para las funciones elípticas jacobianas y para las integrales elípticas completas e incompletas. Esto incluye la manipulación simbólica de estas funciones y su evaluación numérica. Las definiciones de estas funciones y de muchas de sus propiedades se pueden encontrar en Abramowitz y Stegun, capítulos 16-17, que es la fuente principal utilizada para su programación en Maxima, aunque existen algunas diferencias.

En particular, todas las funciones e integrales elípticas utilizan el parámero m en lugar del módulo k o del ángulo alfa. Esta es una de las diferencias con Abramowitz y Stegun, que utilizan el ángulo para las funciones elípticas. Las siguientes relaciones son válidas:

m = k^2 y k = sin(alfa).

Las funciones e integrales elípticas en Maxima tienen como objetivo primordial dar soporte al cálculo simbólico, de ahí que también estén incluidas la mayoría de las derivadas e integrales asociadas a estas funciones. No obstante lo anterior, si los argumentos dados a las funciones son decimales en coma flotante, los resultados también serán decimales.

Sin embargo, la mayoría de las propiedades no realacionadas con las derivadas de las funciones e integrales elípticas todavía no han sido programadas en Maxima.

Algunos ejemplos de funciones elípticas:

(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1)                    jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2)                        tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3)                        sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

      elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
 (u - ------------------------------------)/(2 m)
                     1 - m

            2
   jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
 + --------------------------------
              2 (1 - m)

Algunos ejemplos de integrales elípticas:

(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1)                  elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2)                          phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
                               phi   %pi
(%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                2     4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4)                       sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5)                          phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
                                     1
(%o6)                    elliptic_kc(-)
                                     2
(%i7) makegamma (%);
                                 2 1
                            gamma (-)
                                   4
(%o7)                      -----------
                           4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                1
(%o8)                 ---------------------
                                    2
                      sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
       elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
                              m

                                 cos(phi) sin(phi)
                             - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                             2
                               sqrt(1 - m sin (phi))

El paquete para funciones e integrales elípticas fue programado por Raymond Toy. Se distribuye, igual que Maxima, bajo la General Public License (GPL).


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16.2 Funciones y variables para funciones elípticas

Función: jacobi_sn (u, m)

Función elíptica jacobiana sn(u,m).

Función: jacobi_cn (u, m)

Función elíptica jacobiana cn(u,m).

Función: jacobi_dn (u, m)

Función elíptica jacobiana dn(u,m).

Función: jacobi_ns (u, m)

Función elíptica jacobiana ns(u,m) = 1/sn(u,m).

Función: jacobi_sc (u, m)

Función elíptica jacobiana sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).

Función: jacobi_sd (u, m)

Función elíptica jacobiana sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).

Función: jacobi_nc (u, m)

Función elíptica jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Función: jacobi_cs (u, m)

Función elíptica jacobiana cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).

Función: jacobi_cd (u, m)

Función elíptica jacobiana cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).

Función: jacobi_nd (u, m)

Función elíptica jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Función: jacobi_ds (u, m)

Función elíptica jacobiana ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).

Función: jacobi_dc (u, m)

Función elíptica jacobiana dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).

Función: inverse_jacobi_sn (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana sn(u,m).

Función: inverse_jacobi_cn (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana cn(u,m).

Función: inverse_jacobi_dn (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana dn(u,m).

Función: inverse_jacobi_ns (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana ns(u,m).

Función: inverse_jacobi_sc (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana sc(u,m).

Función: inverse_jacobi_sd (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana sd(u,m).

Función: inverse_jacobi_nc (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana nc(u,m).

Función: inverse_jacobi_cs (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana cs(u,m).

Función: inverse_jacobi_cd (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana cd(u,m).

Función: inverse_jacobi_nd (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana nc(u,m).

Función: inverse_jacobi_ds (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana ds(u,m).

Función: inverse_jacobi_dc (u, m)

Inversa de la función elíptica jacobiana dc(u,m).


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16.3 Funciones y variables para integrales elípticas

Función: elliptic_f (phi, m)

Integral elíptica incompleta de primera especie, definida como

integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

Véanse también elliptic_e y elliptic_kc.

Función: elliptic_e (phi, m)

Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como

elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

Véanse también elliptic_e y elliptic_ec.

Función: elliptic_eu (u, m)

Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como

integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)

donde tau = sn(u,m).

Esto se relaciona con elliptic_e mediante

elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)

Véase también elliptic_e.

Función: elliptic_pi (n, phi, m)

Integral elíptica incompleta de tercera especie, definida como

integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

Maxima sólo conoce la derivada respecto de phi.

Función: elliptic_kc (m)

Integral elíptica completa de primera especie, definida como

integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

Para algunos valores de m, se conoce el valor de la integral en términos de la función Gamma. Hágase uso de makegamma para realizar su cálculo.

Función: elliptic_ec (m)

Integral elíptica completa de segunda especie, definida como

integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

Para algunos valores de m, se conoce el valor de la integral en términos de la función Gamma. Hágase uso de makegamma para realizar su cálculo.


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