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29. Teoría de Números


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29.1 Funciones y variables para teoría de números

Función: bern (n)

Devuelve el n-ésimo número de Bernoulli del entero n. Los números de Bernoulli iguales a cero son suprimidos si zerobern vale false.

Véase también burn.

(%i1) zerobern: true$
(%i2) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
                  1  1       1      1        1
(%o2)       [1, - -, -, 0, - --, 0, --, 0, - --]
                  2  6       30     42       30
(%i3) zerobern: false$
(%i4) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
            1  1    1   5     691   7    3617  43867
(%o4) [1, - -, -, - --, --, - ----, -, - ----, -----]
            2  6    30  66    2730  6    510    798
Función: bernpoly (x, n)

Devuelve el n-ésimo polinomio de Bernoulli de variable x.

Función: bfzeta (s, n)

Devuelve la función zeta de Riemann para el argumento s. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac").

Función: bfhzeta (s, h, n)

Devuelve la función zeta de Hurwitz para los argumentos s y h. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.

La función zeta de Hurwitz se define como

                        inf
                        ====
                        \        1
         zeta (s,h)  =   >    --------
                        /            s
                        ====  (k + h)
                        k = 0

Ejecútese load (bffac) antes de hacer uso de esta función.

Función: burn (n)

Siendo n entero, Devuelve un número racional que aproxima el n-ésimo número de Bernoulli. La función burn aprovecha el hecho de que los números de Bernoulli racionales se pueden aproximar con notable precisión gracias a

                   n - 1  1 - 2 n
              (- 1)      2        zeta(2 n) (2 n)!
     B(2 n) = ------------------------------------
                                2 n
                             %pi

La función burn puede ser más eficiente que bern cuando n es un número grande, ya que bern calcula todos los números de Bernoulli hasta el n-ésimo. Por el contrario, burn hace uso de la aproximación para enteros pares n > 255. En caso de enteros impares y n <= 255, se hace uso de la función bern.

Para utilizar esta función hay que cargarla antes en memoria escribiendo load ("bffac"). Véase también bern.

Función: chinese ([r_1, …, r_n], [m_1, …, m_n])

Resulve el sistema de congruencias x = r_1 mod m_1, …, x = r_n mod m_n. Los restos r_n pueden ser enteros arbitrarios, mientras que los módulos m_n deben ser positivos y primos dos a dos.

(%i1) mods : [1000, 1001, 1003, 1007];
(%o1)                   [1000, 1001, 1003, 1007]
(%i2) lreduce('gcd, mods);
(%o2)                               1
(%i3) x : random(apply("*", mods));
(%o3)                         685124877004
(%i4) rems : map(lambda([z], mod(x, z)), mods);
(%o4)                       [4, 568, 54, 624]
(%i5) chinese(rems, mods);
(%o5)                         685124877004
(%i6) chinese([1, 2], [3, n]);
(%o6)                    chinese([1, 2], [3, n])
(%i7) %, n = 4;
(%o7)                              10
Función: cf (expr)

Calcula aproximaciones con fracciones continuas. expr es una expresión que contiene fracciones continuas, raíces cuadradas de enteros, y números reales (enteros, racionales, decimales en coma flotante y decimales de precisión arbitraria). cf calcula expansiones exactas de números racionales, pero las expansiones de nĂºmeros decimales de coma flotante se truncan de acuerdo con el valor de ratepsilon, y la de los de decimales de precisión arbitraria (bigfloats) lo hacen respecto de 10^(-fpprec).

En las expresiones se pueden combinar operandos con operadores aritméticos. Maxima no conoce operaciones con fracciones continuas más allá de la función cf.

La función cf evalúa sus argumentos después de asignar a la variable listarith el valor false, retornando una fracción continua en forma de lista.

Una fracción continua a + 1/(b + 1/(c + ...)) se representa como la lista [a, b, c, ...], donde los elementos a, b, c, ... se evalúan como enteros. La expresión expr puede contener también sqrt (n) donde n es un entero; en tal caso, cf devolverá tantos términos de la fracción continua como indique el valor de la variable cflength multiplicado por el período.

Una fracción continua puede reducirse a un número evaluando la representación aritmética que devuelve cfdisrep. Véase también cfexpand, que es otra alternativa para evaluar fracciones continuas.

Véanse asimismo cfdisrep, cfexpand y cflength.

Ejemplos:

Función: cfdisrep (lista)

Construye y devuelve una expresión aritmética ordinaria de la forma a + 1/(b + 1/(c + ...)) a partir de la representación en formato lista de la fracción continua [a, b, c, ...].

(%i1) cf ([1, 2, -3] + [1, -2, 1]);
(%o1)                     [1, 1, 1, 2]
(%i2) cfdisrep (%);
                                  1
(%o2)                     1 + ---------
                                    1
                              1 + -----
                                      1
                                  1 + -
                                      2
Función: cfexpand (x)

Devuelve la matriz con los numeradores y denominadores de la última (columna 1) y penúltima (columna 2) convergentes de la fracción continua x.

(%i1) cf (rat (ev (%pi, numer)));

`rat' replaced 3.141592653589793 by 103993/33102 =3.141592653011902
(%o1)                  [3, 7, 15, 1, 292]
(%i2) cfexpand (%); 
                         [ 103993  355 ]
(%o2)                    [             ]
                         [ 33102   113 ]
(%i3) %[1,1]/%[2,1], numer;
(%o3)                   3.141592653011902
Variable opcional: cflength

Valor por defecto: 1

La variable cflength controla el número de términos de la fracción continua que devuelve la función cf, que será cflength multiplicado por el período. Así, el valor por defecto será el de un período.

(%i1) cflength: 1$
(%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o2)                    [1, 1, 1, 1, 2]
(%i3) cflength: 2$
(%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o4)               [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
(%i5) cflength: 3$
(%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o6)           [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
Función: divsum (n, k)
Función: divsum (n)

La llamada divsum (n, k) devuelve la suma de los divisores de n elevados a la k-ésima potencia.

La llamada divsum (n) devuelve la suma de los divisores de n.

(%i1) divsum (12);
(%o1)                          28
(%i2) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12;
(%o2)                          28
(%i3) divsum (12, 2);
(%o3)                          210
(%i4) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2;
(%o4)                          210
Función: euler (n)

Devuelve el n-ésimo número de Euler del entero no negativo n.

Para la constante de Euler-Mascheroni, véase %gamma.

(%i1) map (euler, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
(%o1)    [1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1385, 0, - 50521]
Variable opcional: factors_only

Valor por defecto: false

Controla el resultado devuelto por ifactors. El valor por defecto false hace que ifactors no dé información sobre las multiplicidades de los factores primos calculados. Cuando factors_only vale true, ifactors solo devuelve la lista de factores primos.

Para ejemplos, véase ifactors.

Función: fib (n)

Devuelve el n-ésimo número de Fibonacci. La llamada fib(0) es igual a 0, fib(1) devuelve 1 y fib (-n) es igual a (-1)^(n + 1) * fib(n).

Después de llamar a fib, la variable prevfib toma el valor fib (x - 1), que es el número de Fibonacci que precede al último calculado.

(%i1) map (fib, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
(%o1)         [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Función: fibtophi (expr)

Expresa los números de Fibonacci en expr en términos de la razón áurea %phi, que es (1 + sqrt(5))/2, aproximadamente 1.61803399.

Ejemplos:

(%i1) fibtophi (fib (n));
                           n             n
                       %phi  - (1 - %phi)
(%o1)                  -------------------
                           2 %phi - 1
(%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
(%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
(%i3) fibtophi (%);
            n + 1             n + 1       n             n
        %phi      - (1 - %phi)        %phi  - (1 - %phi)
(%o3) - --------------------------- + -------------------
                2 %phi - 1                2 %phi - 1
                                          n - 1             n - 1
                                      %phi      - (1 - %phi)
                                    + ---------------------------
                                              2 %phi - 1
(%i4) ratsimp (%);
(%o4)                           0
Función: ifactors (n)

Devuelve la factorización del entero positivo n. Si n=p1^e1..pk^nk es la descomposición de n en números primos, ifactors devuelve [[p1, e1], ... , [pk, ek]].

Los métodos de factorización se basan en divisiones tentativas con números primos hasta 9973, en los métodos rho y p-1 de Pollard y en curvas elípticas.

La respuesta que se obtiene de ifactors está controlada por la variable opcional factors_only. El valor por defecto false hace que ifactors no dé información sobre las multiplicidades de los factores primos calculados. Cuando factors_only vale true, ifactors solo devuelve la lista de factores primos.

(%i1) ifactors(51575319651600);
(%o1)     [[2, 4], [3, 2], [5, 2], [1583, 1], [9050207, 1]]
(%i2) apply("*", map(lambda([u], u[1]^u[2]), %));
(%o2)                        51575319651600
(%i3) ifactors(51575319651600), factors_only : true;
(%o3)                   [2, 3, 5, 1583, 9050207]
Función: igcdex (n, k)

Devuelve la lista [a, b, u], donde u es el máximo común divisor de n y k, siendo u igual a a n + b k. Los argumentos n y k deben ser enteros.

igcdex implementa el algoritmo de Euclides. Véase también gcdex.

La instrucción load(gcdex) carga esta función.

Ejemplos:

(%i1) load(gcdex)$

(%i2) igcdex(30,18);
(%o2)                      [- 1, 2, 6]
(%i3) igcdex(1526757668, 7835626735736);
(%o3)            [845922341123, - 164826435, 4]
(%i4) igcdex(fib(20), fib(21));
(%o4)                   [4181, - 2584, 1]
Función: inrt (x, n)

Devuelve la raíz entera n-ésima del valor absoluto de x.

(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
(%i2) map (lambda ([a], inrt (10^a, 3)), l);
(%o2) [2, 4, 10, 21, 46, 100, 215, 464, 1000, 2154, 4641, 10000]
Función: inv_mod (n, m)

Calcula el inverso de n módulo m. La llamada inv_mod (n,m) devuelve false si n es un divisor nulo módulo m.

(%i1) inv_mod(3, 41);
(%o1)                           14
(%i2) ratsimp(3^-1), modulus=41;
(%o2)                           14
(%i3) inv_mod(3, 42);
(%o3)                          false
Función: isqrt (x)

Devuelve la "raíz cuadrada entera" del valor absoluto de x, el cual debe ser un entero.

Función: jacobi (p, q)

Devuelve el símbolo de Jacobi para p y q.

(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
(%i2) map (lambda ([a], jacobi (a, 9)), l);
(%o2)         [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
Función: lcm (expr_1, ..., expr_n)

Devuelve el mínimo común múltiplo de sus argumentos. Los argumentos pueden ser tanto expresiones en general como enteros.

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("functs").

Función: mod (x, y)

Si x e y son números reales e y es distinto de cero, devuelve x - y * floor(x / y). Para todos los reales x, se tiene mod (x, 0) = x. Para información sobre la definición de mod (x, 0) = x, véase la sección 3.4 de "Concrete Mathematics", by Graham, Knuth, and Patashnik. La función mod (x, 1) es de diente de sierra con periodo unidad y con mod (1, 1) = 0 y mod (0, 1) = 0.

Para encontrar el argumento principal (un número del intervalo (-%pi, %pi]) de un número complejo, hágase uso de la función x |-> %pi - mod (%pi - x, 2*%pi), donde x es un argumento.

Si x e y son expresiones constantes (por ejemplo, 10 * %pi), mod utiliza el mismo esquema de evaluación basado en números grandes en coma flotante (big floats) que floor y ceiling. También es posible, pero improbable, que mod pueda retornar un valor erróneo en tales casos.

Para argumentos no numéricos x o y, mod aplica algunas reglas de simplificación:

(%i1) mod (x, 0);
(%o1)                           x
(%i2) mod (a*x, a*y);
(%o2)                      a mod(x, y)
(%i3) mod (0, x);
(%o3)                           0
Función: next_prime (n)

Devuelve el menor de los primos mayores que n.

(%i1) next_prime(27);
(%o1)                       29
Función: partfrac (expr, var)

Expande la expresión expr en fracciones parciales respecto de la variable principal var. La función partfrac hace una descomposición completa en fracciones parciales. El algoritmo que se utiliza se basa en el hecho de que los denominadores de la expansión en fracciones parciales (los factores del denominador original) son primos relativos. Los numeradores se pueden escribir como combinaciones lineales de los denominadores.

(%i1) 1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x);
                      2       2        1
(%o1)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)
(%i2) ratsimp (%);
                                 x
(%o2)                 - -------------------
                         3      2
                        x  + 4 x  + 5 x + 2
(%i3) partfrac (%, x);
                      2       2        1
(%o3)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)
Función: power_mod (a, n, m)

Utiliza un algoritmo modular para calcular a^n mod m, siendo a y n enteros cualesquiera y m un entero positivo. Si n es negativo, se utilizará inv_mod para encontrar el inverso modular.

(%i1) power_mod(3, 15, 5);
(%o1)                          2
(%i2) mod(3^15,5);
(%o2)                          2
(%i3) power_mod(2, -1, 5);
(%o3)                          3
(%i4) inv_mod(2,5);
(%o4)                          3
Función: primep (n)

Comprueba si el número entero n es o no primo, devolviendo true o false según el caso.

Cuando el resultado de primep (n) es false, n es un número compuesto, y si es true, n es primo con alta probabilidad.

Si n es menor que 341550071728321, se utiliza una versión determinística de la prueba de Miller-Rabin. En tal caso, si primep (n) devuelve true, entonces n es un número primo.

Para n mayor que 341550071728321 primep realiza primep_number_of_tests pruebas de seudo-primalidad de Miller-Rabin y una prueba de seudo-primalidad de Lucas. La probabilidad de que un número compuesto n pase una prueba de Miller-Rabin es menor que 1/4. Con el valor por defecto de primep_number_of_tests, que es 25, la probabilidad de que n sea compuesto es menor que 10^-15.

Variable opcional: primep_number_of_tests

Valor por defecto: 25

Número de pruebas de Miller-Rabin a realizar por primep.

Función: prev_prime (n)

Devuelve el mayor de los primos menores que n.

(%i1) prev_prime(27);
(%o1)                       23
Función: qunit (n)

Devuelve la unidad principal de sqrt (n), siendo n un entero; consiste en la resolución de la ecuación de Pell a^2 - n b^2 = 1.

(%i1) qunit (17);
(%o1)                     sqrt(17) + 4
(%i2) expand (% * (sqrt(17) - 4));
(%o2)                           1
Función: totient (n)

Devuelve el número de enteros menores o iguales a n que son primos relativos con n.

Variable opcional: zerobern

Valor por defecto: true

Si zerobern vale false, bern excluye los números de Bernoulli y euler excluye los números de Euler que sean iguales a cero. Véase bern y euler.

Función: zeta (n)

Devuelve la función zeta de Riemann. Si n es entero negativo, 0 o número par positivo, la función zeta de Riemann devuelve un valor exacto; en el caso de número par positivo, la variable opcional zeta%pi, además, tiene que tener el valor true (véase zeta%pi). Cuando el argumento es un número decimal o bigfloat, entonces la función zeta de Riemann se calcula numéricamente. Maxima devuelve una forma nominal zeta (n) para cualesquiera otros argumentos, incluidos los racionales no enteros, los números complejos y los enteros pares si zeta%pi vale false.

zeta(1) no está definida, pero Maxima conce el límite de limit(zeta(x), x, 1) por ambos lados.

La función zeta de Riemann se distribuye sobre las listas, matrices y ecuaciones.

Véanse también bfzeta y zeta%pi.

Ejemplos:

(%i1) zeta([-2,-1,0,0.5,2,3,1+%i]);
                                              2
             1     1                       %pi
(%o1)  [0, - --, - -, - 1.460354508809587, ----, zeta(3), zeta(%i + 1)]
             12    2                        6 

(%i2) limit(zeta(x),x,1,plus);
(%o2)                                 inf
(%i3) limit(zeta(x),x,1,minus);
(%o3)                                minf
Variable opcional: zeta%pi

Valor por defecto: true

Si zeta%pi vale true, zeta devuelve una expresión proporcional a %pi^n si n es un número par positivo. En caso contrario, zeta no se evalúa y devuelve la forma nominal zeta (n).

Ejemplos:

(%i1) zeta%pi: true$
(%i2) zeta (4);
                                 4
                              %pi
(%o2)                         ----
                               90
(%i3) zeta%pi: false$
(%i4) zeta (4);
(%o4)                        zeta(4)

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