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44. descriptive


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44.1 Introducción a descriptive

El paquete descriptive contiene funciones para realizar cl'culos y gráficos estadísticos descriptivos. Junto con el código fuente se distribuyen tres conjuntos de datos: pidigits.data, wind.data y biomed.data.

Cualquier manual de estadística se puede utilizar como referencia al paquete descriptive.

Para comentarios, fallos y sugerencias, por favor contactar con 'mario AT edu DOT xunta DOT es'.

Aquí un sencillo ejemplo sobre cómo operan las funciones de descriptive, dependiendo de la naturaleza de sus argumentos, listas o matrices,

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) /* muestra univariate */   mean ([a, b, c]);
                            c + b + a
(%o2)                       ---------
                                3
(%i3) matrix ([a, b], [c, d], [e, f]);
                            [ a  b ]
                            [      ]
(%o3)                       [ c  d ]
                            [      ]
                            [ e  f ]
(%i4) /* muestra multivariante */ mean (%);
                      e + c + a  f + d + b
(%o4)                [---------, ---------]
                          3          3

Nótese que en las muestras multivariantes la media se calcula para cada columna.

En caso de varias muestras de diferente tamaño, la función map de Maxima puede utilizarse para obtener los resultados deseados para cada muestra,

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) map (mean, [[a, b, c], [d, e]]);
                        c + b + a  e + d
(%o2)                  [---------, -----]
                            3        2

En este caso, dos muestras de tamaños 3 y 2 han sido almacenadas en una lista.

Muestras univariantes deben guardarse en listas como en

(%i1) s1 : [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5];
(%o1)           [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]

y muestras multivariantes en matrices como las del siguiente ejemplo

(%i1) s2 : matrix ([13.17, 9.29], [14.71, 16.88], [18.50, 16.88],
             [10.58, 6.63], [13.33, 13.25], [13.21,  8.12]);
                        [ 13.17  9.29  ]
                        [              ]
                        [ 14.71  16.88 ]
                        [              ]
                        [ 18.5   16.88 ]
(%o1)                   [              ]
                        [ 10.58  6.63  ]
                        [              ]
                        [ 13.33  13.25 ]
                        [              ]
                        [ 13.21  8.12  ]

En este caso, el número de columnas es igual al de la dimensión de la variable aleatoria y el número de filas coincide con el tamaño muestral.

Los datos pueden suministrarse manualmente, pero las muestras grandes se suelen almacenar en ficheros de texto. Por ejemplo, el fichero pidigits.data contiene los 100 primeros dígitos del número %pi:

      3
      1
      4
      1
      5
      9
      2
      6
      5
      3 ...

A fin de leer estos dígitos desde Maxima,

(%i1) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i2) length (s1);
(%o2)                          100

Por otro lado, el archivo wind.data contiene los promedios diarios de la velocidad del viento en cinco estaciones meteorológicas en Irlanda (esta muestra es parte de un conjunto de datos correspondientes a 12 estaciones meteorológicas. El fichero original se puede descargar libremente del 'StatLib Data Repository' y se analiza en Haslett, J., Raftery, A. E. (1989) Space-time Modelling with Long-memory Dependence: Assessing Ireland's Wind Power Resource, with Discussion. Applied Statistics 38, 1-50). Así se leen los datos:

(%i1) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i2) length (s2);
(%o2)                          100
(%i3) s2 [%]; /* last record */
(%o3)            [3.58, 6.0, 4.58, 7.62, 11.25]

Algunas muestras contienen datos no numéricos. Como ejemplo, el archivo biomed.data (el cual es parte de otro mayor descargado también del 'StatLib Data Repository') contiene cuatro mediciones sanguíneas tomadas a dos grupos de pacientes, A y B, de diferentes edades,

(%i1) s3 : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i2) length (s3);
(%o2)                          100
(%i3) s3 [1]; /* first record */
(%o3)            [A, 30, 167.0, 89.0, 25.6, 364]

El primer individuo pertenece al grupo A, tiene 30 años de edad y sus medidas sanguíneas fueron 167.0, 89.0, 25.6 y 364.

Debe tenerse cuidado cuando se trabaje con datos categóricos. En el siguiente ejemplo, se asigna al símbolo a cierto valor en algún momento previo y luego se toma una muestra con el valor categórico a,

(%i1) a : 1$
(%i2) matrix ([a, 3], [b, 5]);
                            [ 1  3 ]
(%o2)                       [      ]
                            [ b  5 ]

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44.2 Funciones y variables para el tratamiento de datos

Función: build_sample (list)
Función: build_sample (matrix)

Construye una muestra a partir de una tabla de frecuencias absolutas. La tabla de entrada puede ser una una matriz o una lista de listas, todas ellas de igual tamaño. El número de columnas o la longitud de las listas debe ser mayor que la unidad. El último elemento de cada fila o lista se interpreta como la frecuencia absoluta. El resultado se devuelve siempre en formato de matriz.

Ejemplos:

Tabla de frecuencias univariante.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) sam1: build_sample([[6,1], [j,2], [2,1]]);
                       [ 6 ]
                       [   ]
                       [ j ]
(%o2)                  [   ]
                       [ j ]
                       [   ]
                       [ 2 ]
(%i3) mean(sam1);
                      2 j + 8
(%o3)                [-------]
                         4
(%i4) barsplot(sam1) $

Tabla de frecuencias multivariante.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) sam2: build_sample([[6,3,1], [5,6,2], [u,2,1],[6,8,2]]) ;
                           [ 6  3 ]
                           [      ]
                           [ 5  6 ]
                           [      ]
                           [ 5  6 ]
(%o2)                      [      ]
                           [ u  2 ]
                           [      ]
                           [ 6  8 ]
                           [      ]
                           [ 6  8 ]
(%i3) cov(sam2);
       [   2                 2                            ]
       [  u  + 158   (u + 28)     2 u + 174   11 (u + 28) ]
       [  -------- - ---------    --------- - ----------- ]
(%o3)  [     6          36            6           12      ]
       [                                                  ]
       [ 2 u + 174   11 (u + 28)            21            ]
       [ --------- - -----------            --            ]
       [     6           12                 4             ]
(%i4) barsplot(sam2, grouping=stacked) $
Función: continuous_freq (list)
Función: continuous_freq (list, m)

El argumento de continuous_freq debe ser una lista de números. Divide el rango en intervalos y cuenta cuántos valores hay en ellos. El segundo argumento es opcional y puede ser el número de clases deseado, 10 por defecto, o una lista que contenga los límites de las clases y el número de éstas, o una lista que contenga únicamente los límites. Si los valores muestrales son todos iguales, esta función devuelve solamente una clase de amplitud 2.

Ejemplos:

El argumento opcional indica el número de clases deseadas. La primera lista de la respuesta contiene los límites de los intervalos y la segunda los totales correspondientes: hay 16 dígitos en el intervalo [0, 1.8], 24 en (1.8, 3.6] y así sucesivamente.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) continuous_freq (s1, 5);
(%o3) [[0, 1.8, 3.6, 5.4, 7.2, 9.0], [16, 24, 18, 17, 25]]

El argumento opcional indica que queremos 7 clases con límites -2 y 12:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) continuous_freq (s1, [-2,12,7]);
(%o3) [[- 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12], [8, 20, 22, 17, 20, 13, 0]]

El argumento opcional indica que queremos el número por defecto de clases y límites -2 y 12:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) continuous_freq (s1, [-2,12]);
                3  4  11  18     32  39  46  53
(%o3)  [[- 2, - -, -, --, --, 5, --, --, --, --, 12], 
                5  5  5   5      5   5   5   5
               [0, 8, 20, 12, 18, 9, 8, 25, 0, 0]]
Función: discrete_freq (list)

Calcula las frecuencias absolutas en muestras discretas, tanto numéricas como categóricas. Su único argumento debe ser una lista.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) discrete_freq (s1);
(%o3) [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 
                             [8, 8, 12, 12, 10, 8, 9, 8, 12, 13]]

La primera lista son los valores de la muestra y la segunda sus frecuencias absolutas. Las instrucciones ? col y ? transpose pueden ayudar a comprender la última entrada.

Función: standardize (list)
Función: standardize (matrix)

Resta a cada elemento de la lista la media muestral y luego divide el resultado por la desviación típica. Si la entrada es una matriz, standardize resta a cada fila la media multivariante y luego divide cada componente por la desviación típica correspondiente.

Función: subsample (data_matrix, predicate_function)
Función: subsample (data_matrix, predicate_function, col_num, col_num, ...)

Esta es una variante de la función submatrix de Maxima. El primer argumento es una matriz de datos, el segundo es una función de predicado y el resto de argumentos opcionales son los números de las columnas a tomar en consideración.

Estos son los registros multivariantes en los que la velocidad del viento en la primera estación meteorológica fue menor de 18 nudos. Véase cómo en la expresión lambda la i-ésima componente se la referencia como v[i].

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) subsample (s2, lambda([v], v[1] > 18));
              [ 19.38  15.37  15.12  23.09  25.25 ]
              [                                   ]
              [ 18.29  18.66  19.08  26.08  27.63 ]
(%o3)         [                                   ]
              [ 20.25  21.46  19.95  27.71  23.38 ]
              [                                   ]
              [ 18.79  18.96  14.46  26.38  21.84 ]

En el siguiente ejemplo, se solicitan únicamente la primera, segunda y quinta componentes de aquellos registros con velocidades del viento mayores o iguales que 16 nudos en la estación número 1 y menores que 25 nudos en la estación número 4. La muestra sólo contiene los datos referidos a las estaciones 1, 2 y 5. En este caso, la función de predicado se define por medio de una función de Maxima ordinaria.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) g(x):= x[1] >= 16 and x[4] < 25$
(%i4) subsample (s2, g, 1, 2, 5);
                     [ 19.38  15.37  25.25 ]
                     [                     ]
                     [ 17.33  14.67  19.58 ]
(%o4)                [                     ]
                     [ 16.92  13.21  21.21 ]
                     [                     ]
                     [ 17.25  18.46  23.87 ]

He aquí un ejemplo con las variables categóricas de biomed.data. Se piden los registros correspondientes a aquellos pacientes del grupo B mayores de 38 anños,

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s3 : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i3) h(u):= u[1] = B and u[2] > 38 $
(%i4) subsample (s3, h);
                [ B  39  28.0  102.3  17.1  146 ]
                [                               ]
                [ B  39  21.0  92.4   10.3  197 ]
                [                               ]
                [ B  39  23.0  111.5  10.0  133 ]
                [                               ]
                [ B  39  26.0  92.6   12.3  196 ]
(%o4)           [                               ]
                [ B  39  25.0  98.7   10.0  174 ]
                [                               ]
                [ B  39  21.0  93.2   5.9   181 ]
                [                               ]
                [ B  39  18.0  95.0   11.3  66  ]
                [                               ]
                [ B  39  39.0  88.5   7.6   168 ]

Es probable que el análisis estadístico requiera únicamente de las medidas sanguíneas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s3 : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i3) subsample (s3, lambda([v], v[1] = B and v[2] > 38),
           3, 4, 5, 6);
                   [ 28.0  102.3  17.1  146 ]
                   [                        ]
                   [ 21.0  92.4   10.3  197 ]
                   [                        ]
                   [ 23.0  111.5  10.0  133 ]
                   [                        ]
                   [ 26.0  92.6   12.3  196 ]
(%o3)              [                        ]
                   [ 25.0  98.7   10.0  174 ]
                   [                        ]
                   [ 21.0  93.2   5.9   181 ]
                   [                        ]
                   [ 18.0  95.0   11.3  66  ]
                   [                        ]
                   [ 39.0  88.5   7.6   168 ]

Esta es la media multivariante de s3.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s3 : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i3) mean (s3);
       65 B + 35 A  317          6 NA + 8145.0
(%o3) [-----------, ---, 87.178, -------------, 18.123, 
           100      10                100
                                                    3 NA + 19587
                                                    ------------]
                                                        100

Aquí la primera componente carece de significado, ya que tanto A como B son categóricas, la segunda componente es la edad media de los individuos en forma racional, al tiempo que los valores cuarto y quinto muestran cierto comportamiento extraño; lo cual se debe a que el símbolo NA se utiliza para indicar datos no disponibles, por lo que ambas medias no tienen sentido. Una posible solución puede ser extraer de la matriz aquellas filas con símbolos NA, lo que acarrearía cierta pérdida de información.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s3 : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i3) g(v):= v[4] # NA and v[6] # NA $
(%i4) mean (subsample (s3, g, 3, 4, 5, 6));
(%o4) [79.4923076923077, 86.2032967032967, 16.93186813186813, 
                                                            2514
                                                            ----]
                                                             13
Función: transform_sample (matriz, varlist, exprlist)

Transforma la matriz de datos, en la que a cada columna se le asigna un nombre de acuerdo con la lista varlist, según las expresiones de exprlist.

Ejemplos:

El segundo argumento asigna nombres a las tres columnas, con ellos la lista de expresiones define la transformación de la muestra.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) data: matrix([3,2,7],[3,7,2],[8,2,4],[5,2,4]) $
(%i3) transform_sample(data, [a,b,c], [c, a*b, log(a)]);
                               [ 7  6   log(3) ]
                               [               ]
                               [ 2  21  log(3) ]
(%o3)                          [               ]
                               [ 4  16  log(8) ]
                               [               ]
                               [ 4  10  log(5) ]

Añade una columna constante y elimina la tercera variable.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) data: matrix([3,2,7],[3,7,2],[8,2,4],[5,2,4]) $
(%i3) transform_sample(data, [a,b,c], [makelist(1,k,length(data)),a,b]);
                                  [ 1  3  2 ]
                                  [         ]
                                  [ 1  3  7 ]
(%o3)                             [         ]
                                  [ 1  8  2 ]
                                  [         ]
                                  [ 1  5  2 ]

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44.3 Funciones y variables de parámetros descriptivos

Función: mean (list)
Función: mean (matrix)

Es la media muestral, definida como

                       n
                     ====
             _   1   \
             x = -    >    x
                 n   /      i
                     ====
                     i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) mean (s1);
                               471
(%o3)                          ---
                               100
(%i4) %, numer;
(%o4)                         4.71
(%i5) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i6) mean (s2);
(%o6)     [9.9485, 10.1607, 10.8685, 15.7166, 14.8441]
Función: var (list)
Función: var (matrix)

Es la varianza muestral, definida como

                     n
                   ====
           2   1   \          _ 2
          s  = -    >    (x - x)
               n   /       i
                   ====
                   i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) var (s1), numer;
(%o3)                   8.425899999999999

Véase también var1.

Función: var1 (list)
Función: var1 (matrix)

Es la cuasivarianza muestral, definida como

                     n
                   ====
               1   \          _ 2
              ---   >    (x - x)
              n-1  /       i
                   ====
                   i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) var1 (s1), numer;
(%o3)                    8.5110101010101
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) var1 (s2);
(%o5) [17.39586540404041, 15.13912778787879, 15.63204924242424, 
                            32.50152569696971, 24.66977392929294]

Véase también var.

Función: std (list)
Función: std (matrix)

Es la desviación típica muestral, raíz cuadrada de var.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) std (s1), numer;
(%o3)                   2.902740084816414
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) std (s2);
(%o5) [4.149928523480858, 3.871399812729241, 3.933920277534866, 
                            5.672434260526957, 4.941970881136392]

Véanse también var y std1.

Función: std1 (list)
Función: std1 (matrix)

Es la cuasidesviación típica muestral, raíz cuadrada de var1.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) std1 (s1), numer;
(%o3)                   2.917363553109228
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) std1 (s2);
(%o5) [4.17083509672109, 3.89090320978032, 3.953738641137555, 
                            5.701010936401517, 4.966867617451963]

Véanse también var1 y std.

Función: noncentral_moment (list, k)
Función: noncentral_moment (matrix, k)

Es el momento no central de orden k, definido como

                       n
                     ====
                 1   \      k
                 -    >    x
                 n   /      i
                     ====
                     i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) noncentral_moment (s1, 1), numer; /* the mean */
(%o3)                         4.71
(%i5) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%o5) [319793.8724761506, 320532.1923892463, 391249.5621381556, 
                            2502278.205988911, 1691881.797742255]
(%i6) noncentral_moment (s2, 5);

Véase también central_moment.

Función: central_moment (list, k)
Función: central_moment (matrix, k)

Es el momento central de orden k, definido como

                    n
                  ====
              1   \          _ k
              -    >    (x - x)
              n   /       i
                  ====
                  i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) central_moment (s1, 2), numer; /* the variance */
(%o3)                   8.425899999999999
(%i5) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%o5) [11.29584771375004, 16.97988248298583, 5.626661952750102, 
                             37.5986572057918, 25.85981904394192]
(%i6) central_moment (s2, 3);

Véanse también central_moment y mean.

Función: cv (list)
Función: cv (matrix)

Es el coeficiente de variación, o cociente entre la desviación típica muestral (std) y la media (mean),

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) cv (s1), numer;
(%o3)                   .6193977819764815
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) cv (s2);
(%o5) [.4192426091090204, .3829365309260502, 0.363779605385983, 
                            .3627381836021478, .3346021393989506]

Véanse también std y mean.

Función: smin (list)
Función: smin (matrix)

Es el valor mínimo de la muestra list. Cuando el argumento es una matriz, smin devuelve una lista con los valores mínimos de las columnas, las cuales están asociadas a variables estadísticas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) smin (s1);
(%o3)                           0
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) smin (s2);
(%o5)             [0.58, 0.5, 2.67, 5.25, 5.17]

Véase también smax.

Función: smax (list)
Función: smax (matrix)

Es el valor máximo de la muestra list. Cuando el argumento es una matriz, smax devuelve una lista con los valores máximos de las columnas, las cuales están asociadas a variables estadísticas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) smax (s1);
(%o3)                           9
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) smax (s2);
(%o5)          [20.25, 21.46, 20.04, 29.63, 27.63]

Véase también smin.

Función: range (list)
Función: range (matrix)

Es la diferencia entre los valores extremos.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) range (s1);
(%o3)                           9
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) range (s2);
(%o5)          [19.67, 20.96, 17.37, 24.38, 22.46]
Función: quantile (list, p)
Función: quantile (matrix, p)

Es el p-cuantil, siendo p un número del intervalo [0, 1], de la muestra list. Aunque existen varias definiciones para el cuantil muestral (Hyndman, R. J., Fan, Y. (1996) Sample quantiles in statistical packages. American Statistician, 50, 361-365), la programada en el paquete descriptive es la basada en la interpolación lineal.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) /* 1st and 3rd quartiles */
         [quantile (s1, 1/4), quantile (s1, 3/4)], numer;
(%o3)                      [2.0, 7.25]
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) quantile (s2, 1/4);
(%o5)    [7.2575, 7.477500000000001, 7.82, 11.28, 11.48]
Función: median (list)
Función: median (matrix)

Una vez ordenada una muestra, si el tamaño muestral es impar la mediana es el valor central, en caso contrario será la media de los dos valores centrales.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) median (s1);
                                9
(%o3)                           -
                                2
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) median (s2);
(%o5)         [10.06, 9.855, 10.73, 15.48, 14.105]

La mediana es el cuantil 1/2.

Véase también quantile.

Función: qrange (list)
Función: qrange (matrix)

El rango intercuartílico es la diferencia entre el tercer y primer cuartil, quantile(list,3/4) - quantile(list,1/4),

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) qrange (s1);
                               21
(%o3)                          --
                               4
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) qrange (s2);
(%o5) [5.385, 5.572499999999998, 6.0225, 8.729999999999999, 
                                               6.650000000000002]

Véase también quantile.

Función: mean_deviation (list)
Función: mean_deviation (matrix)

Es la desviación media, definida como

                     n
                   ====
               1   \          _
               -    >    |x - x|
               n   /       i
                   ====
                   i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) mean_deviation (s1);
                               51
(%o3)                          --
                               20
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) mean_deviation (s2);
(%o5) [3.287959999999999, 3.075342, 3.23907, 4.715664000000001, 
                                               4.028546000000002]

Véase también mean.

Función: median_deviation (list)
Función: median_deviation (matrix)

Es la desviación mediana, definida como

                 n
               ====
           1   \
           -    >    |x - med|
           n   /       i
               ====
               i = 1

siendo med la mediana de list.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) median_deviation (s1);
                                5
(%o3)                           -
                                2
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) median_deviation (s2);
(%o5)           [2.75, 2.755, 3.08, 4.315, 3.31]

Véase también mean.

Función: harmonic_mean (list)
Función: harmonic_mean (matrix)

Es la media armónica, definida como

                  n
               --------
                n
               ====
               \     1
                >    --
               /     x
               ====   i
               i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) y : [5, 7, 2, 5, 9, 5, 6, 4, 9, 2, 4, 2, 5]$
(%i3) harmonic_mean (y), numer;
(%o3)                   3.901858027632205
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) harmonic_mean (s2);
(%o5) [6.948015590052786, 7.391967752360356, 9.055658197151745, 
                            13.44199028193692, 13.01439145898509]

Véanse también mean y geometric_mean.

Función: geometric_mean (list)
Función: geometric_mean (matrix)

Es la media geométrica, definida como

                 /  n      \ 1/n
                 | /===\   |
                 |  ! !    |
                 |  ! !  x |
                 |  ! !   i|
                 | i = 1   |
                 \         /

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) y : [5, 7, 2, 5, 9, 5, 6, 4, 9, 2, 4, 2, 5]$
(%i3) geometric_mean (y), numer;
(%o3)                   4.454845412337012
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) geometric_mean (s2);
(%o5) [8.82476274347979, 9.22652604739361, 10.0442675714889, 
                            14.61274126349021, 13.96184163444275]

Véanse también mean y harmonic_mean.

Función: kurtosis (list)
Función: kurtosis (matrix)

Es el coeficiente de curtosis, definido como

                    n
                  ====
            1     \          _ 4
           ----    >    (x - x)  - 3
              4   /       i
           n s    ====
                  i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) kurtosis (s1), numer;
(%o3)                  - 1.273247946514421
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) kurtosis (s2);
(%o5) [- .2715445622195385, 0.119998784429451, 
   - .4275233490482866, - .6405361979019522, - .4952382132352935]

Véanse también mean, var y skewness.

Función: skewness (list)
Función: skewness (matrix)

Es el coeficiente de asimetría, definido como

                    n
                  ====
            1     \          _ 3
           ----    >    (x - x)
              3   /       i
           n s    ====
                  i = 1

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) skewness (s1), numer;
(%o3)                  .009196180476450306
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) skewness (s2);
(%o5) [.1580509020000979, .2926379232061854, .09242174416107717, 
                            .2059984348148687, .2142520248890832]

Véanse también mean, var y kurtosis.

Función: pearson_skewness (list)
Función: pearson_skewness (matrix)

Es el coeficiente de asimetría de Pearson, definido como

                _
             3 (x - med)
             -----------
                  s

siendo med la mediana de list.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) pearson_skewness (s1), numer;
(%o3)                   .2159484029093895
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) pearson_skewness (s2);
(%o5) [- .08019976629211892, .2357036272952649, 
         .1050904062491204, .1245042340592368, .4464181795804519]

Véanse también mean, var y median.

Función: quartile_skewness (list)
Función: quartile_skewness (matrix)

Es el coeficiente de asimetría cuartílico, definido como

               c    - 2 c    + c
                3/4      1/2    1/4
               --------------------
                   c    - c
                    3/4    1/4

siendo c_p el p-cuantil de la muestra list.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) quartile_skewness (s1), numer;
(%o3)                  .04761904761904762
(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i5) quartile_skewness (s2);
(%o5) [- 0.0408542246982353, .1467025572005382, 
       0.0336239103362392, .03780068728522298, 0.210526315789474]

Véase también quantile.

Función: cov (matrix)

Es la matriz de covarianzas de una muestra multivariante, definida como

              n
             ====
          1  \           _        _
      S = -   >    (X  - X) (X  - X)'
          n  /       j        j
             ====
             j = 1

siendo X_j la j-ésima fila de la matriz muestral.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) fpprintprec : 7$  /* change precision for pretty output */
      [ 17.22191  13.61811  14.37217  19.39624  15.42162 ]
      [                                                  ]
      [ 13.61811  14.98774  13.30448  15.15834  14.9711  ]
      [                                                  ]
(%o4) [ 14.37217  13.30448  15.47573  17.32544  16.18171 ]
      [                                                  ]
      [ 19.39624  15.15834  17.32544  32.17651  20.44685 ]
      [                                                  ]
      [ 15.42162  14.9711   16.18171  20.44685  24.42308 ]
(%i5) cov (s2);

Véase también cov1.

Función: cov1 (matrix)

Es la matriz de cuasivarianzas de una muestra multivariante, definida como

              n
             ====
         1   \           _        _
   S  = ---   >    (X  - X) (X  - X)'
    1   n-1  /       j        j
             ====
             j = 1

siendo X_j la j-ésima fila de la matriz muestral.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) fpprintprec : 7$ /* change precision for pretty output */
      [ 17.39587  13.75567  14.51734  19.59216  15.5774  ]
      [                                                  ]
      [ 13.75567  15.13913  13.43887  15.31145  15.12232 ]
      [                                                  ]
(%o4) [ 14.51734  13.43887  15.63205  17.50044  16.34516 ]
      [                                                  ]
      [ 19.59216  15.31145  17.50044  32.50153  20.65338 ]
      [                                                  ]
      [ 15.5774   15.12232  16.34516  20.65338  24.66977 ]
(%i5) cov1 (s2);

Véase también cov.

Función: global_variances (matrix)
Función: global_variances (matrix, options ...)

La función global_variances devuelve una lista de medidas globales de variabilidad:

donde p es la dimensión de la variable aleatoria multivariante y S_1 la matriz de covarianzas devuelta por la función cov1.

Opción:

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) global_variances (s2);
(%o3) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686, 
         113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

Cálculo de global_variances a partir de la matriz de covarianzas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) s : cov1 (s2)$
(%i4) global_variances (s, data=false);
(%o4) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686, 
         113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

Véanse también cov y cov1.

Función: cor (matrix)
Función: cor (matrix, options ...)

Es la matriz de correlaciones de la muestra multivariante.

Opción:

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) fpprintprec:7$
(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i4) cor (s2);
      [   1.0     .8476339  .8803515  .8239624  .7519506 ]
      [                                                  ]
      [ .8476339    1.0     .8735834  .6902622  0.782502 ]
      [                                                  ]
(%o4) [ .8803515  .8735834    1.0     .7764065  .8323358 ]
      [                                                  ]
      [ .8239624  .6902622  .7764065    1.0     .7293848 ]
      [                                                  ]
      [ .7519506  0.782502  .8323358  .7293848    1.0    ]

Cálculo de la matriz de correlaciones a partir de la matriz de covarianzas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) fpprintprec : 7 $
(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i4) s : cov1 (s2)$
(%i5) cor (s, data=false); /* this is faster */
      [   1.0     .8476339  .8803515  .8239624  .7519506 ]
      [                                                  ]
      [ .8476339    1.0     .8735834  .6902622  0.782502 ]
      [                                                  ]
(%o5) [ .8803515  .8735834    1.0     .7764065  .8323358 ]
      [                                                  ]
      [ .8239624  .6902622  .7764065    1.0     .7293848 ]
      [                                                  ]
      [ .7519506  0.782502  .8323358  .7293848    1.0    ]

Véanse también cov y cov1.

Función: list_correlations (matrix)
Función: list_correlations (matrix, options ...)

La función list_correlations devuelve una lista con medidas de correlación:

Opción:

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) z : list_correlations (s2)$
(%i4) fpprintprec : 5$ /* for pretty output */
      [  .38486   - .13856   - .15626   - .10239    .031179  ]
      [                                                      ]
      [ - .13856   .34107    - .15233    .038447   - .052842 ]
      [                                                      ]
(%o5) [ - .15626  - .15233    .47296    - .024816  - .10054  ]
      [                                                      ]
      [ - .10239   .038447   - .024816   .10937    - .034033 ]
      [                                                      ]
      [ .031179   - .052842  - .10054   - .034033   .14834   ]
(%o6)       [.85063, .80634, .86474, .71867, .72675]
       [  - 1.0     .38244   .36627   .49908   - .13049 ]
       [                                                ]
       [  .38244    - 1.0    .37927  - .19907   .23492  ]
       [                                                ]
(%o7)  [  .36627    .37927   - 1.0    .10911    .37956  ]
       [                                                ]
       [  .49908   - .19907  .10911   - 1.0     .26719  ]
       [                                                ]
       [ - .13049   .23492   .37956   .26719    - 1.0   ]

Véanse también cov y cov1.

Función: principal_components (matrix)
Función: principal_components (matrix, options ...)

Calcula las componentes principales de una muestra multivariante. Las componentes principales se utilizan en el análisis estadístico multivariante para reducir la dimensionalidad de la muestra.

Opción:

La salida de la función principal_components es una lista con los siguientes resultados:

Ejemplos:

En este ejemplo, la primera componente explica el 83.13 por ciento de la varianza total.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) fpprintprec:4 $
(%i4) res: principal_components(s2);
0 errors, 0 warnings
(%o4) [[87.57, 8.753, 5.515, 1.889, 1.613], 
[83.13, 8.31, 5.235, 1.793, 1.531], 
[ .4149  .03379   - .4757  - 0.581   - .5126 ]
[                                            ]
[ 0.369  - .3657  - .4298   .7237    - .1469 ]
[                                            ]
[ .3959  - .2178  - .2181  - .2749    .8201  ]]
[                                            ]
[ .5548   .7744    .1857    .2319    .06498  ]
[                                            ]
[ .4765  - .4669   0.712   - .09605  - .1969 ]
(%i5) /* porcentajes acumulados  */
    block([ap: copy(res[2])],
      for k:2 thru length(ap) do ap[k]: ap[k]+ap[k-1],
      ap);
(%o5)                 [83.13, 91.44, 96.68, 98.47, 100.0]
(%i6) /* dimension de la muestra */
      p: length(first(res));
(%o6)                                  5
(%i7) /* dibuja porcentajes para seleccionar el numero de 
         componentes principales para el analisis ulterior */
     draw2d(
        fill_density = 0.2,
        apply(bars, makelist([k, res[2][k], 1/2], k, p)),
        points_joined = true,
        point_type    = filled_circle,
        point_size    = 3,
        points(makelist([k, res[2][k]], k, p)),
        xlabel = "Variances",
        ylabel = "Percentages",
        xtics  = setify(makelist([concat("PC",k),k], k, p))) $

En caso de que la matriz de covarianzas sea conocida, se le puede pasar a la función, pero debe utilizarse la opción data=false.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) S: matrix([1,-2,0],[-2,5,0],[0,0,2]);
                                [  1   - 2  0 ]
                                [             ]
(%o2)                           [ - 2   5   0 ]
                                [             ]
                                [  0    0   2 ]
(%i3) fpprintprec:4 $
(%i4) /* el argumento es una matriz de covarianzas */
      res: principal_components(S, data=false);
0 errors, 0 warnings
                                                  [ - .3827  0.0  .9239 ]
                                                  [                     ]
(%o4) [[5.828, 2.0, .1716], [72.86, 25.0, 2.145], [  .9239   0.0  .3827 ]]
                                                  [                     ]
                                                  [   0.0    1.0   0.0  ]
(%i5) /* transformacion para obtener las componentes principales a
         partir de los registros originales */
      matrix([a1,b2,c3],[a2,b2,c2]).last(res);
             [ .9239 b2 - .3827 a1  1.0 c3  .3827 b2 + .9239 a1 ]
(%o5)        [                                                  ]
             [ .9239 b2 - .3827 a2  1.0 c2  .3827 b2 + .9239 a2 ]

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44.4 Funciones y variables para gráficos estadísticos

Función: barsplot (data1, data2, …, option_1, option_2, …)
Función: barsplot_description (…)

Dibuja diagramas de barras para variables estadísticas discretas, tanto para una como para más muestras.

data puede ser una lista de resultados provenientes de una muestra o una matriz de m filas y n columnas, representando n muestras de tamaño m cada una.

Las opciones disponibles son:

La función barsplot_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxbarsplot para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplos:

Muestra univariante en formato matricial. Frecuencias absolutas.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) m : read_matrix (file_search ("biomed.data"))$
(%i3) barsplot(
        col(m,2),
        title        = "Ages",
        xlabel       = "years",
        box_width    = 1/2,
        fill_density = 3/4)$

Dos muestras de diferente tamaño, con frecuencias relativas y colores definidos por el usuario.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) l1:makelist(random(10),k,1,50)$
(%i3) l2:makelist(random(10),k,1,100)$
(%i4) barsplot(
        l1,l2,
        box_width    = 1,
        fill_density = 1,
        bars_colors  = [black, grey],
        frequency = relative,
        sample_keys = ["A", "B"])$

Cuatro muestras no numéricas de igual tamaño.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) barsplot(
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        title  = "Asking for something to four groups",
        ylabel = "# of individuals",
        groups_gap   = 3,
        fill_density = 0.5,
        ordering     = ordergreatp)$

Barras apiladas verticalmente.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) barsplot(
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        makelist([Yes, No, Maybe][random(3)+1],k,1,50),
        title  = "Asking for something to four groups",
        ylabel = "# of individuals",
        grouping     = stacked,
        fill_density = 0.5,
        ordering     = ordergreatp)$

barsplot en un contexto multiplot.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) l1:makelist(random(10),k,1,50)$
(%i3) l2:makelist(random(10),k,1,100)$
(%i4) bp1 : 
        barsplot_description(
         l1,
         box_width = 1,
         fill_density = 0.5,
         bars_colors = [blue],
         frequency = relative)$
(%i5) bp2 : 
        barsplot_description(
         l2,
         box_width = 1,
         fill_density = 0.5,
         bars_colors = [red],
         frequency = relative)$
(%i6) draw(gr2d(bp1), gr2d(bp2))$

Para las opciones relacionadas con los diagramas de barras, véase bars del paquete draw.

Véanse también las funciones histogram y piechart.

Función: boxplot (data)
Función: boxplot (data, option_1, option_2, …)
Función: boxplot_description (…)

Dibuja diagramas de cajas (box-and-whishker). El argumento data puede ser una lista, lo cual no es de gran interés, puesto que estos gráficos se utilizan principalmente para comparar distintas muestras, o una matriz, de manera que sea posible comparar dos o más componentes de una muestra multivariante. También se permite que data sea una lista de muestras con posibles tamaños diferentes; de hecho, esta es la única función del paquete descriptive que admite esta estructura de datos.

Opciones disponibles:

La función boxplot_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxboxplot para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplos:

Diagrama de cajas de una muestra multivariante.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix(file_search("wind.data"))$
(%i3) boxplot(s2,
        box_width  = 0.2,
        title      = "Windspeed in knots",
        xlabel     = "Stations",
        color      = red,
        line_width = 2)$

Diagrama de cajas de tres muestras de tamaños diferentes.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) A :
       [[6, 4, 6, 2, 4, 8, 6, 4, 6, 4, 3, 2],
        [8, 10, 7, 9, 12, 8, 10],
        [16, 13, 17, 12, 11, 18, 13, 18, 14, 12]]$
(%i3) boxplot (A, box_orientation = horizontal)$
Función: histogram (list)
Función: histogram (list, option_1, option_2, …)
Función: histogram (one_column_matrix)
Función: histogram (one_column_matrix, option_1, option_2, …)
Función: histogram (one_row_matrix)
Función: histogram (one_row_matrix, option_1, option_2, …)
Función: histogram_description (…)

Dibuja un histograma a partir de una muestra continua. Los datos muestrales deben darse en forma de lista de números o como una matriz unidimensional.

Opciones dispponibles:

La función histogram_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxhistogram para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplos:

Un histograma con seis clases:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) histogram (
           s1,
           nclasses     = 8,
           title        = "pi digits",
           xlabel       = "digits",
           ylabel       = "Absolute frequency",
           fill_color   = grey,
           fill_density = 0.6)$

Ajustando los límites del histograma a -2 y 12, con 3 clases. También se establece un formato predefinido a las marcas del eje de abscisas:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) histogram (
           s1,
           nclasses     = [-2,12,3],
           htics        = ["A", "B", "C"],
           terminal     = png,
           fill_color   = "#23afa0",
           fill_density = 0.6)$

Se hace uso de histogram_description para ajustar la opción xrange y añadir una curva explícita a la escena:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) ( load("distrib"),
        m: 14, s: 2,
        s2: random_normal(m, s, 1000) ) $
(%i3) draw2d(
        grid   = true,
        xrange = [5, 25],
        histogram_description(
          s2,
          nclasses     = 9,
          frequency    = density,
          fill_density = 0.5),
        explicit(pdf_normal(x,m,s), x, m - 3*s, m + 3* s))$
Función: piechart (list)
Función: piechart (list, option_1, option_2, …)
Función: piechart (one_column_matrix)
Función: piechart (one_column_matrix, option_1, option_2, …)
Función: piechart (one_row_matrix)
Función: piechart (one_row_matrix, option_1, option_2, …)
Función: piechart_description (…)

Similar a barsplot, pero dibuja sectores en lugar de rectángulos.

Opciones disponibles:

La función piechart_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxpiechart para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s1 : read_list (file_search ("pidigits.data"))$
(%i3) piechart(
        s1,
        xrange  = [-1.1, 1.3],
        yrange  = [-1.1, 1.1],
        title   = "Digit frequencies in pi")$

Véase también la función barsplot.

Función: scatterplot (list)
Función: scatterplot (list, option_1, option_2, …)
Función: scatterplot (matrix)
Función: scatterplot (matrix, option_1, option_2, …)
Función: scatterplot_description (…)

Dibuja diagramas de dispersión, tanto de muestras univariantes (list) como multivariantes (matrix).

Las opciones disponibles son las mismas que admite histogram.

La función scatterplot_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxscatterplot para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplos:

Diagrama de dispersión univariante a partir de una muestra normal simulada.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) load (distrib)$
(%i3) scatterplot(
        random_normal(0,1,200),
        xaxis      = true,
        point_size = 2,
        dimensions = [600,150])$

Diagrama de dispersión bidimensional.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) scatterplot(
       submatrix(s2, 1,2,3),
       title      = "Data from stations #4 and #5",
       point_type = diamant,
       point_size = 2,
       color      = blue)$

Diagrama de dispersión tridimensional.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) scatterplot(submatrix (s2, 1,2), nclasses=4)$

Diagrama de dispersión de cinco dimensiones, con histogramas de cinco classes.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$
(%i3) scatterplot(
        s2,
        nclasses     = 5,
        frequency    = relative,
        fill_color   = blue,
        fill_density = 0.3,
        xtics        = 5)$

Para dibujar puntos aislados o unidos por segmentos, tanto en dos como en tres dimensiones, véase points. Véase también histogram.

Función: starplot (data1, data2, …, option_1, option_2, …)
Función: starplot_description (…)

Dibuja diagramas de estrellas para variables estadísticas discretas, tanto para una como para más muestras.

data puede ser una lista de resultados provenientes de una muestra o una matriz de m filas y n columnas, representando n muestras de tamaño m cada una.

Las opciones disponibles son:

La función starplot_description crea un objeto gráfico útil para formar escenas complejas, junto con otros objetos gráficos. Se dispone también de la función wxstarplot para crear histogramas incorporados en los interfaces wxMaxima y iMaxima.

Ejemplo:

Gráfico basado en frecuencias absolutas. La localización y el radios lo define el usuario.

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) l1: makelist(random(10),k,1,50)$
(%i3) l2: makelist(random(10),k,1,200)$
(%i4) starplot(
        l1, l2,
        stars_colors = [blue,red],
        sample_keys = ["1st sample", "2nd sample"],
        star_center = [1,2],
        star_radius = 4,
        proportional_axes = xy,
        line_width = 2 ) $ 
Función: stemplot (m)
Función: stemplot (m, option)

Dibuja diagrama de tallos y hojas.

La única opción disponible es:

Ejemplo:

(%i1) load (descriptive)$
(%i2) load(distrib)$
(%i3) stemplot(
        random_normal(15, 6, 100),
        leaf_unit = 0.1);
-5|4
 0|37
 1|7
 3|6
 4|4
 5|4
 6|57
 7|0149
 8|3
 9|1334588
10|07888
11|01144467789
12|12566889
13|24778
14|047
15|223458
16|4
17|11557
18|000247
19|4467799
20|00
21|1
22|2335
23|01457
24|12356
25|455
27|79
key: 6|3 =  6.3
(%o3)                  done

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