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71. romberg


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71.1 Funciones y variables para romberg

Función: romberg (expr, x, a, b)
Función: romberg (F, a, b)

Integra numéricamente por el método de Romberg.

La llamada romberg(expr, x, a, b) devuelve una estimación de la integral integrate(expr, x, a, b). El argumento expr debe ser una expresión reducible a un valor decimal en coma flotante cuando x es a su vez un número decimal.

La llamada romberg(F, a, b) devuelve una estimación de la integral integrate(F(x), x, a, b), siendo x el único argumento de F. El argumento F debe ser una función en Lisp o en Maxima que devuelva un valor decimal en coma flotante cuando x es a su vez un número decimal; F puede ser el nombre de una función de Maxima traducida o compilada.

La exactitud de romberg se controla con las variables globales rombergabs y rombergtol. La función romberg termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs, o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado en romberg.

La función romberg reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de rombergit veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a 2^rombergit. De no satisfacerse el criterio de error establecido por rombergabs y rombergtol, romberg devuelve un mensaje de error. La función romberg hace siempre al menos rombergmin iteraciones; se trata de una heurística para evitar la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.

La función romberg evalúa el integrando repetidamente tras asignarle a la variable de integración un valor específico. Este criterio permite anidar llamadas a romberg para calcular integrales múltiples. Sin embargo, los errores de cálculo no tienen en cuenta los errores de las integraciones anidadas, por lo que tales errores pueden subestimarse. Por otro lado, métodos especialmente desarrollados para integraciones múltiples pueden dar la misma exactitud con menos evaluaciones del integrando.

Para hacer uso de esta función ejecútese primero load(romberg).

Véase también QUADPACK, un conjunto de funciones para integración numérica.

Ejemplos:

Una integración unidimensional.

(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
                + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
                    1                 1                1
(%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
                     2    1           2    1            2    1
              (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
                         100              1000              200
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) rombergit : 15;
(%o4)                          15
(%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
(%o5)                   173.6730736617464
(%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
(%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
 + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
 + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
(%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o7)                7.5527060865060088E-11

Una integración bidimensional, implementada mediante llamadas anidadas a romberg.

(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
                                    x y
(%o2)                   g(x, y) := -----
                                   x + y
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
(%o4)                   0.81930239628356
(%i5) assume (x > 0);
(%o5)                        [x > 0]
(%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
                                          3
                                    2 log(-) - 1
                    9                     2        9
(%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
                    2                    6         2
(%i7) exact : radcan (%);
                    26 log(3) - 26 log(2) - 13
(%o7)             - --------------------------
                                3
(%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o8)                1.3711979871851024E-10
Variable opcional: rombergabs

Valor por defecto: 0.0

La exactitud de romberg se controla con las variables globales rombergabs y rombergtol. La función romberg termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs, o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado en romberg.

Véanse también rombergit y rombergmin.

Variable opcional: rombergit

Valor por defecto: 11

La función romberg reduce a mitades sucesivas la amplitud del paso un máximo de rombergit veces antes de abandonar el cómputo; el número máximo de evaluaciones del integrando es, por consiguiente, igual a 2^rombergit. La función romberg hace siempre al menos rombergmin iteraciones; se trata de una heurística para evitar la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.

Véanse también rombergabs y rombergtol.

Variable opcional: rombergmin

Valor por defecto: 0

La función romberg hace siempre al menos rombergmin iteraciones; se trata de una heurística para evitar la finalización prematura cuando el integrando oscila mucho.

Véanse también rombergit, rombergabs y rombergtol.

Variable opcional: rombergtol

Valor por defecto: 1e-4

La exactitud de romberg se controla con las variables globales rombergabs y rombergtol. La función romberg termina con éxito su cálculo cuando la diferencia absoluta entre sucesivas aproximaciones es menor que rombergabs, o cuando la diferencia relativa de sucesivas aproximaciones es menor que rombergtol. Así, cuando rombergabs vale 0.0 (su valor por defecto) sólo tiene efecto el test del error relativo basado en romberg.

Véanse también rombergit y rombergmin.


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