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12. Polinómios


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12.1 Introdução a Polinómios

Polinómios são armazenados no Maxima ou na forma geral ou na forma de Expressões Racionais Canónicas (CRE). Essa última é uma forma padrão, e é usada internamente por operações tais como factor, ratsimp, e assim por diante.

Expressões Racionais Canónicas constituem um tipo de representação que é especialmente adequado para polinómios expandidos e funções racionais (também para polinómios parcialmente factorizados e funções racionais quando RATFAC for escolhida para true). Nessa forma CRE uma ordenação de variáveis (da mais para a menos importante) é assumida para cada expressão. Polinómios são representados recursivamente por uma lista consistindo da variável principal seguida por uma série de pares de expressões, uma para cada termo do polinómio. O primeiro membro de cada par é o expoente da variável principal naquele termo e o segundo membro é o coeficiente daquele termo que pode ser um número ou um polinómio em outra variável novamente respresentado nessa forma. Sendo assim a parte principal da forma CRE de 3*X^2-1 é (X 2 3 0 -1) e que a parte principal da forma CRE de 2*X*Y+X-3 é (Y 1 (X 1 2) 0 (X 1 1 0 -3)) assumindo Y como sendo a variável principal, e é (X 1 (Y 1 2 0 1) 0 -3) assumindo X como sendo a variável principal. A variável principal é usualmente determineda pela ordem alfabética reversa. As "variáveis" de uma expressão CRE não necessariamente devem ser atômicas. De facto qualquer subexpressão cujo principal operador não for + - * / or ^ com expoente inteiro será considerado uma "variável" da expressão (na forma CRE) na qual essa ocorrer. Por exemplo as variáveis CRE da expressão X+SIN(X+1)+2*SQRT(X)+1 são X, SQRT(X), e SIN(X+1). Se o utilizador não especifica uma ordem de variáveis pelo uso da função RATVARS Maxima escolherá a alfabética por conta própria. Em geral, CREs representam expressões racionais, isto é, razões de polinómios, onde o numerador e o denominador não possuem factores comuns, e o denominador for positivo. A forma interna é essencialmente um par de polinómios (o numerador e o denominador) precedidos pela lista de ordenação de variável. Se uma expressão a ser mostrada estiver na forma CRE ou se contiver quaisquer subexpressões na forma CRE, o símbolo /R/ seguirá o rótulo da linha. Veja a função RAT para saber como converter uma expressão para a forma CRE. Uma forma CRE extendida é usada para a representação de séries de Taylor. A noção de uma expressão racional é extendida de modo que os expoentes das variáveis podem ser números racionais positivos ou negativos em lugar de apenas inteiros positivos e os coeficientes podem eles mesmos serem expressões racionais como descrito acima em lugar de apenas polinómios. Estes são representados internamente por uma forma polinomial recursiva que é similar à forma CRE e é a generalização dessa mesma forma CRE, mas carrega informação adicional tal com o grau de truncação. Do mesmo modo que na forma CRE, o símbolo /T/ segue o rótulo de linha que contém as tais expressões.


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12.2 Definições para Polinómios

Variável de opção: algebraic

Valor Padrão: false

algebraic deve ser escolhida para true com o objectivo de que a simplificação de inteiros algébricos tenha efeito.

Variável de opção: berlefact

Valor Padrão: true

Quando berlefact for false então o algoritmo de factorização de Kronecker será usado. De outra forma o algoritmo de Berlekamp, que é o padrão, será usado.

Função: bezout (p1, p2, x)

uma alternativa para o comando resultant. Isso retorna uma matriz. determinant dessa matriz é o resultante desejado.

Função: bothcoef (expr, x)

Retorna uma lista da qual o primeiro membro é o coeficiente de x em expr (como achado por ratcoef se expr está na forma CRE de outro modo por coeff) e cujo segundo membro é a parte restante de expr. Isto é, [A, B] onde expr = A*x + B.

Exemplo:

(%i1) islinear (expr, x) := block ([c],
        c: bothcoef (rat (expr, x), x),
        é (freeof (x, c) and c[1] # 0))$
(%i2) islinear ((r^2 - (x - r)^2)/x, x);
(%o2)                         true
Função: coeff (expr, x, n)

Retorna o coeficiente de x^n em expr. n pode ser omitido se for 1. x pode ser um átomo, ou subexpressão completa de expr e.g., sin(x), a[i+1], x + y, etc. (No último caso a expressão (x + y) pode ocorrer em expr). Algumas vezes isso pode ser necessário para expandir ou factorizar expr com o objectivo de fazer x^n explicito. Isso não é realizado por coeff.

Exemplos:

(%i1) coeff (2*a*tan(x) + tan(x) + b = 5*tan(x) + 3, tan(x));
(%o1)                      2 a + 1 = 5
(%i2) coeff (y + x*%e^x + 1, x, 0);
(%o2)                         y + 1
Função: combine (expr)

Simplifica a adição expr por termos combinados com o mesmo denominador dentro de um termo simples.

Função: content (p_1, x_1, ..., x_n)

Retorna uma lista cujo primeiro elemento é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinómio p_1 na variável x_n (isso é o conteúdo) e cujo segundo elemento é o polinómio p_1 dividido pelo conteúdo.

Exemplos:

(%i1) content (2*x*y + 4*x^2*y^2, y);
                                   2
(%o1)                   [2 x, 2 x y  + y]
Função: denom (expr)

Retorna o denominador da expressão racional expr.

Função: divide (p_1, p_2, x_1, ..., x_n)

calcula o quocietne e o resto do polinómio p_1 dividido pelo polinómio p_2, na variável principal do polinómio, x_n. As outras variáveis são como na função ratvars. O resultado é uma lista cujo primeiro elemento é o quociente e cujo segundo elemento é o resto.

Exemplos:

(%i1) divide (x + y, x - y, x);
(%o1)                       [1, 2 y]
(%i2) divide (x + y, x - y);
(%o2)                      [- 1, 2 x]

Note que y é a variável principal no segundo exemplo.

Função: eliminate ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_k])

Elimina variáveis de equações (ou expressões assumidas iguais a zero) obtendo resultantes sucessivos. Isso retorna uma lista de n - k expressões com k variáveis x_1, ..., x_k eliminadas. Primeiro x_1 é eliminado retornando n - 1 expressões, então x_2 é eliminado, etc. Se k = n então uma expressão simples em uma lista é retornada livre das variáveis x_1, ..., x_k. Nesse caso solve é chamado para resolver a última resultante para a última variável.

Exemplo:

(%i1) expr1: 2*x^2 + y*x + z;
                                      2
(%o1)                    z + x y + 2 x
(%i2) expr2: 3*x + 5*y - z - 1;
(%o2)                  - z + 5 y + 3 x - 1
(%i3) expr3: z^2 + x - y^2 + 5;
                          2    2
(%o3)                    z  - y  + x + 5
(%i4) eliminate ([expr3, expr2, expr1], [y, z]);
             8         7         6          5          4
(%o4) [7425 x  - 1170 x  + 1299 x  + 12076 x  + 22887 x

                                    3         2
                            - 5154 x  - 1291 x  + 7688 x + 15376]
Função: ezgcd (p_1, p_2, p_3, ...)

Retorna uma lista cujo primeiro elemento é o m.d.c. dos polinómios p_1, p_2, p_3, ... e cujos restantes elementos são os polinómios divididos pelo mdc. Isso sempre usa o algoritmo ezgcd.

Variável de opção: facexpand

Valor Padrão: true

facexpand controla se os factores irredutíveis retornados por factor estão na forma expandida (o padrão) ou na forma recursiva (CRE normal).

Função: factcomb (expr)

Tenta combinar os coeficientes de factoriais em expr com os próprios factoriais convertendo, por exemplo, (n + 1)*n! em (n + 1)!.

sumsplitfact se escolhida para false fará com que minfactorial seja aplicado após um factcomb.

Função: factor (expr)

Factoriza a expressão expr, contendo qualquer número de variáveis ou funções, em factores irredutíveis sobre os inteiros. factor (expr, p) factoriza expr sobre o campo dos inteiros com um elemento adjunto cujo menor polinómio é p.

factor usa a função ifactors para factorizar inteiros.

factorflag se false suprime a factorização de factores inteiros de expressões racionais.

dontfactor pode ser escolhida para uma lista de variáveis com relação à qual factorização não é para ocorrer. (Essa é inicialmente vazia). Factorização também não acontece com relação a quaisquer variáveis que são menos importantes (usando a ordenação de variável assumida pela forma CRE) como essas na lista dontfactor.

savefactors se true faz com que os factores de uma expressão que é um produto de factores seja guardada por certas funções com o objectivo de aumentar a velocidade de futuras factorizações de expressões contendo alguns dos mesmos factores.

berlefact se false então o algoritmo de factorização de Kronecker será usado de outra forma o algoritmo de Berlekamp, que é o padrão, será usado.

intfaclim se true maxima irá interromper a factorização de inteiros se nenhum factor for encontrado após tentar divisões e o método rho de Pollard. Se escolhida para false (esse é o caso quando o utilizador chama factor explicitamente), a factorização completa do inteiro será tentada. A escolha do utilizador para intfaclim é usada para chamadas internas a factor. Dessa forma, intfaclim pode ser resetada para evitar que o Maxima gaste um tempo muito longo factorizando inteiros grandes.

Exemplos:

(%i1) factor (2^63 - 1);
                    2
(%o1)              7  73 127 337 92737 649657
(%i2) factor (-8*y - 4*x + z^2*(2*y + x));
(%o2)               (2 y + x) (z - 2) (z + 2)
(%i3) -1 - 2*x - x^2 + y^2 + 2*x*y^2 + x^2*y^2;
                2  2        2    2    2
(%o3)          x  y  + 2 x y  + y  - x  - 2 x - 1
(%i4) block ([dontfactor: [x]], factor (%/36/(1 + 2*y + y^2)));
                       2
                     (x  + 2 x + 1) (y - 1)
(%o4)                ----------------------
                           36 (y + 1)
(%i5) factor (1 + %e^(3*x));
                      x         2 x     x
(%o5)              (%e  + 1) (%e    - %e  + 1)
(%i6) factor (1 + x^4, a^2 - 2);
                    2              2
(%o6)             (x  - a x + 1) (x  + a x + 1)
(%i7) factor (-y^2*z^2 - x*z^2 + x^2*y^2 + x^3);
                       2
(%o7)              - (y  + x) (z - x) (z + x)
(%i8) (2 + x)/(3 + x)/(b + x)/(c + x)^2;
                             x + 2
(%o8)               ------------------------
                                           2
                    (x + 3) (x + b) (x + c)
(%i9) ratsimp (%);
                4                  3
(%o9) (x + 2)/(x  + (2 c + b + 3) x

     2                       2             2                   2
 + (c  + (2 b + 6) c + 3 b) x  + ((b + 3) c  + 6 b c) x + 3 b c )
(%i10) partfrac (%, x);
           2                   4                3
(%o10) - (c  - 4 c - b + 6)/((c  + (- 2 b - 6) c

     2              2         2                2
 + (b  + 12 b + 9) c  + (- 6 b  - 18 b) c + 9 b ) (x + c))

                 c - 2
 - ---------------------------------
     2                             2
   (c  + (- b - 3) c + 3 b) (x + c)

                         b - 2
 + -------------------------------------------------
             2             2       3      2
   ((b - 3) c  + (6 b - 2 b ) c + b  - 3 b ) (x + b)

                         1
 - ----------------------------------------------
             2
   ((b - 3) c  + (18 - 6 b) c + 9 b - 27) (x + 3)
(%i11) map ('factor, %);
              2
             c  - 4 c - b + 6                 c - 2
(%o11) - ------------------------- - ------------------------
                2        2                                  2
         (c - 3)  (c - b)  (x + c)   (c - 3) (c - b) (x + c)

                       b - 2                        1
            + ------------------------ - ------------------------
                             2                          2
              (b - 3) (c - b)  (x + b)   (b - 3) (c - 3)  (x + 3)
(%i12) ratsimp ((x^5 - 1)/(x - 1));
                       4    3    2
(%o12)                x  + x  + x  + x + 1
(%i13) subst (a, x, %);
                       4    3    2
(%o13)                a  + a  + a  + a + 1
(%i14) factor (%th(2), %);
                       2        3        3    2
(%o14)   (x - a) (x - a ) (x - a ) (x + a  + a  + a + 1)
(%i15) factor (1 + x^12);
                       4        8    4
(%o15)               (x  + 1) (x  - x  + 1)
(%i16) factor (1 + x^99);
                 2            6    3
(%o16) (x + 1) (x  - x + 1) (x  - x  + 1)

   10    9    8    7    6    5    4    3    2
 (x   - x  + x  - x  + x  - x  + x  - x  + x  - x + 1)

   20    19    17    16    14    13    11    10    9    7    6
 (x   + x   - x   - x   + x   + x   - x   - x   - x  + x  + x

    4    3            60    57    51    48    42    39    33
 - x  - x  + x + 1) (x   + x   - x   - x   + x   + x   - x

    30    27    21    18    12    9    3
 - x   - x   + x   + x   - x   - x  + x  + 1)
Variável de opção: factorflag

Valor Padrão: false

Quando factorflag for false, suprime a factorização de factores inteiros em expressões racionais.

Função: factorout (expr, x_1, x_2, ...)

Rearranja a adição expr em uma adição de parcelas da forma f (x_1, x_2, ...)*g onde g é um produto de expressões que não possuem qualquer x_i e f é factorizado.

Função: factorsum (expr)

Tenta agrupar parcelas em factores de expr que são adições em grupos de parcelas tais que sua adição é factorável. factorsum pode recuperar o resultado de expand ((x + y)^2 + (z + w)^2) mas não pode recuperar expand ((x + 1)^2 + (x + y)^2) porque os termos possuem variáveis em comum.

Exemplo:

(%i1) expand ((x + 1)*((u + v)^2 + a*(w + z)^2));
           2      2                            2      2
(%o1) a x z  + a z  + 2 a w x z + 2 a w z + a w  x + v  x

                                     2        2    2            2
                        + 2 u v x + u  x + a w  + v  + 2 u v + u
(%i2) factorsum (%);
                                   2          2
(%o2)            (x + 1) (a (z + w)  + (v + u) )
Função: fasttimes (p_1, p_2)

Retorna o produto dos polinómios p_1 e p_2 usando um algoritmo especial para a multiplicação de polinómios. p_1 e p_2 podem ser de várias variáveis, densos, e aproximadamente do mesmo tamanho. A multiplicação clássica é de ordem n_1 n_2 onde n_1 é o grau de p_1 and n_2 é o grau de p_2. fasttimes é da ordem max (n_1, n_2)^1.585.

Função: fullratsimp (expr)

fullratsimp aplica repetidamente ratsimp seguido por simplificação não racional a uma expressão até que nenhuma mudança adicional ocorra, e retorna o resultado.

Quando expressões não racionais estão envolvidas, uma chamada a ratsimp seguida como é usual por uma simplificação não racional ("geral") pode não ser suficiente para retornar um resultado simplificado. Algumas vezes, mais que uma tal chamada pode ser necessária. fullratsimp faz esse processo convenientemente.

fullratsimp (expr, x_1, ..., x_n) aceita um ou mais argumentos similar a ratsimp e rat.

Exemplo:

(%i1) expr: (x^(a/2) + 1)^2*(x^(a/2) - 1)^2/(x^a - 1);
                       a/2     2   a/2     2
                     (x    - 1)  (x    + 1)
(%o1)                -----------------------
                              a
                             x  - 1
(%i2) ratsimp (expr);
                          2 a      a
                         x    - 2 x  + 1
(%o2)                    ---------------
                              a
                             x  - 1
(%i3) fullratsimp (expr);
                              a
(%o3)                        x  - 1
(%i4) rat (expr);
                       a/2 4       a/2 2
                     (x   )  - 2 (x   )  + 1
(%o4)/R/             -----------------------
                              a
                             x  - 1
Função: fullratsubst (a, b, c)

é o mesmo que ratsubst excepto que essa chama a si mesma recursivamente sobre esse resultado até que o resultado para de mudar. Essa função é útil quando a expressão de substituição e a expressão substituída tenham uma ou mais variáveis em comum.

fullratsubst irá também aceitar seus argumentos no formato de lratsubst. Isto é, o primeiro argumento pode ser uma substituição simples de equação ou uma lista de tais equações, enquanto o segundo argumento é a expressão sendo processada.

load ("lrats") chama fullratsubst e lratsubst.

Exemplos:

(%i1) load ("lrats")$
(%i2) subst ([a = b, c = d], a + c);
(%o2)                         d + b
(%i3) lratsubst ([a^2 = b, c^2 = d], (a + e)*c*(a + c));
(%o3)                (d + a c) e + a d + b c
(%i4) lratsubst (a^2 = b, a^3);
(%o4)                          a b
(%i5) ratsubst (b*a, a^2, a^3);
                               2
(%o5)                         a  b
(%i6) fullratsubst (b*a, a^2, a^3);
                                 2
(%o6)                         a b
(%i7) fullratsubst ([a^2 = b, b^2 = c, c^2 = a], a^3*b*c);
(%o7)                           b
(%i8) fullratsubst (a^2 = b*a, a^3);
                                 2
(%o8)                         a b
(%i9) errcatch (fullratsubst (b*a^2, a^2, a^3));

*** - Lisp stack overflow. RESET
Função: gcd (p_1, p_2, x_1, ...)

Retorna o máximo divisor comum entre p_1 e p_2. O sinalizador gcd determina qual algoritmo é empregado. Escolhendo gcd para ez, subres, red, ou spmod selecciona o algoritmo ezgcd, subresultante prs, reduzido, ou modular, respectivamente. Se gcd for false então gcd (p_1, p_2, x) sempre retorna 1 para todo x. Muitas funções (e.g. ratsimp, factor, etc.) fazem com que mdc's sejam feitos implicitamente. Para polinómios homogêneos é recomendado que gcd igual a subres seja usado. Para obter o mdc quando uma expressão algébrica está presente, e.g. gcd (x^2 - 2*sqrt(2)*x + 2, x - sqrt(2)), algebraic deve ser true e gcd não deve ser ez. subres é um novo algoritmo, e pessoas que tenham estado usando a opção red podem provavelmente alterar isso para subres.

O sinalizador gcd, padrão: subres, se false irá também evitar o máximo divisor comum de ser usado quando expressões são convertidas para a forma de expressão racional canónica (CRE). Isso irá algumas vezes aumentar a velocidade dos cálculos se mdc's não são requeridos.

Função: gcdex (f, g)
Função: gcdex (f, g, x)

Retornam uma lista [a, b, u] onde u é o máximo divisor comum (mdc) entre f e g, e u é igual a a f + b g. Os argumentos f e g podem ser polinómios de uma variável, ou de outra forma polinómios em x uma main(principal) variável suprida desde que nós precisamos estar em um domínio de ideal principal para isso trabalhar. O mdc significa o mdc considerando f e g como polinómios de uma única variável com coeficientes sendo funções racionais em outras variáveis.

gcdex implementa o algoritmo Euclideano, onde temos a sequência of L[i]: [a[i], b[i], r[i]] que são todos perpendiculares a [f, g, -1] e o próximo se é construído como se q = quotient(r[i]/r[i+1]) então L[i+2]: L[i] - q L[i+1], e isso encerra em L[i+1] quando o resto r[i+2] for zero.

(%i1) gcdex (x^2 + 1, x^3 + 4);
                       2
                      x  + 4 x - 1  x + 4
(%o1)/R/           [- ------------, -----, 1]
                           17        17
(%i2) % . [x^2 + 1, x^3 + 4, -1];
(%o2)/R/                        0

Note que o mdc adiante é 1 uma vez que trabalhamos em k(y)[x], o y+1 não pode ser esperado em k[y, x].

(%i1) gcdex (x*(y + 1), y^2 - 1, x);
                               1
(%o1)/R/                 [0, ------, 1]
                              2
                             y  - 1
Função: gcfactor (n)

Factoriza o inteiro Gaussiano n sobre os inteiros Gaussianos, i.e., números da forma a + b %i onde a e b são inteiros raconais (i.e., inteiros comuns). Factorizações são normalizadas fazendo a e b não negativos.

Função: gfactor (expr)

Factoriza o polinómio expr sobre os inteiros de Gauss (isto é, os inteiros com a unidade imaginária %i adjunta). Isso é como factor (expr, a^2+1) trocando a por %i.

Exemplo:

(%i1) gfactor (x^4 - 1);
(%o1)           (x - 1) (x + 1) (x - %i) (x + %i)
Função: gfactorsum (expr)

é similar a factorsum mas aplica gfactor em lugar de factor.

Função: hipow (expr, x)

Retorna o maior expoente explícito de x em expr. x pode ser uma variável ou uma expressão geral. Se x não aparece em expr, hipow retorna 0.

hipow não considera expressões equivalentes a expr. Em particular, hipow não expande expr, então hipow (expr, x) e hipow (expand (expr, x)) podem retornar diferentes resultados.

Exemplos:

(%i1) hipow (y^3 * x^2 + x * y^4, x);
(%o1)                           2
(%i2) hipow ((x + y)^5, x);
(%o2)                           1
(%i3) hipow (expand ((x + y)^5), x);
(%o3)                           5
(%i4) hipow ((x + y)^5, x + y);
(%o4)                           5
(%i5) hipow (expand ((x + y)^5), x + y);
(%o5)                           0
Variável de opção: intfaclim

Valor por omissão: true

Se true, maxima irá interromper a factorização de inteiros se nenhum factor for encontrado após tentar divisões e o método rho de Pollard e a factorização não será completada.

Quando intfaclim for false (esse é o caso quando o utilizador chama factor explicitamente), a factorização completa será tentada. intfaclim é escolhida para false quando factores são calculados em divisors, divsum e totient.

Chamadas internas a factor respeitam o valor especificado pelo utilizador para intfaclim. Setting intfaclim to true may reduce intfaclim. Escolhendo intfaclim para true podemos reduzir o tempo gasto factorizando grandes inteiros.

Variável de opção: keepfloat

Valor Padrão: false

Quando keepfloat for true, evitamos que números em ponto flutuante sejam racionalizados quando expressões que os possuem são então convertidas para a forma de expressão racional canónica (CRE).

Função: lratsubst (L, expr)

é análogo a subst (L, expr) excepto que esse usa ratsubst em lugar de subst.

O primeiro argumento de lratsubst é uma equação ou uma lista de equações idênticas em formato para que sejam aceitas por subst. As substituições são feitas na ordem dada pela lista de equações, isto é, da esquerda para a direita.

load ("lrats") chama fullratsubst e lratsubst.

Exemplos:

(%i1) load ("lrats")$
(%i2) subst ([a = b, c = d], a + c);
(%o2)                         d + b
(%i3) lratsubst ([a^2 = b, c^2 = d], (a + e)*c*(a + c));
(%o3)                (d + a c) e + a d + b c
(%i4) lratsubst (a^2 = b, a^3);
(%o4)                          a b
Variável de opção: modulus

Valor Padrão: false

Quando modulus for um número positivo p, operações sobre os números racionais (como retornado por rat e funções relacionadas) são realizadas módulo p, usando o então chamado sistema de módulo "balanceado" no qual n módulo p é definido como um inteiro k em [-(p-1)/2, ..., 0, ..., (p-1)/2] quando p for ímpar, ou [-(p/2 - 1), ..., 0, ...., p/2] quando p for par, tal que a p + k seja igual a n para algum inteiro a.

Se expr já estiver na forma de expressão racional canónica (CRE) quando modulus for colocado no seu valor original, então pode precisar repetir o rat expr, e.g., expr: rat (ratdisrep (expr)), com o objectivo de obter resultados correctos.

Tipicamente modulus é escolhido para um número primo. Se modulus for escolhido para um inteiro não primo positivo, essa escolha é aceita, mas uma mensagem de alerta é mostrada. Maxima permitirá que zero ou um inteiro negativo seja atribuído a modulus, embora isso não seja limpo se aquele tiver quaisquer consequências úteis.

Função: num (expr)

Retorna o numerador de expr se isso for uma razão. Se expr não for uma razão, expr é retornado.

num avalia seu argumento.

Função: polydecomp (p, x)

Decompões o polinómio p na variável x em uma composição funcional de polinómios em x. polydecomp retorna uma lista [p_1, ..., p_n] tal que

lambda ([x], p_1) (lambda ([x], p_2) (... (lambda ([x], p_n) (x)) ...))

seja igual a p. O grau de p_i é maior que 1 para i menor que n.

Tal decomposição não é única.

Exemplos:

(%i1) polydecomp (x^210, x);
                          7   5   3   2
(%o1)                   [x , x , x , x ]
(%i2) p : expand (subst (x^3 - x - 1, x, x^2 - a));
                6      4      3    2
(%o2)          x  - 2 x  - 2 x  + x  + 2 x - a + 1
(%i3) polydecomp (p, x);
                        2       3
(%o3)                 [x  - a, x  - x - 1]

As seguintes funções compõem L = [e_1, ..., e_n] como funções em x; essa funçào é a inversa de polydecomp:

compose (L, x) :=
  block ([r : x], for e in L do r : subst (e, x, r), r) $

Re-exprimindo o exemplo acima usando compose:

(%i3) polydecomp (compose ([x^2 - a, x^3 - x - 1], x), x);
                        2       3
(%o3)                 [x  - a, x  - x - 1]

Note que apesar de compose (polydecomp (p, x), x) sempre retornar p (não expandido), polydecomp (compose ([p_1, ..., p_n], x), x) não necessáriamente retorna [p_1, ..., p_n]:

(%i4) polydecomp (compose ([x^2 + 2*x + 3, x^2], x), x);
                          2       2
(%o4)                   [x  + 2, x  + 1]
(%i5) polydecomp (compose ([x^2 + x + 1, x^2 + x + 1], x), x);
                      2       2
                     x  + 3  x  + 5
(%o5)               [------, ------, 2 x + 1]
                       4       2
Função: quotient (p_1, p_2)
Função: quotient (p_1, p_2, x_1, ..., x_n)

Retorna o polinómio p_1 dividido pelo polinómio p_2. Os argumentos x_1, ..., x_n são interpretados como em ratvars.

quotient retorna o primeiro elemento de uma lista de dois elementos retornada por divide.

Função: rat (expr)
Função: rat (expr, x_1, ..., x_n)

Converte expr para a forma de expressão racional canónica (CRE) expandindo e combinando todos os termos sobre um denominador comum e cancelando para fora o máximo divisor comum entre o numerador e o denominador, também convertendo números em ponto flutuante para números racionais dentro da tolerância de ratepsilon. As variáveis são ordenadas de acordo com x_1, ..., x_n, se especificado, como em ratvars.

rat geralmente não simplifica funções outras que não sejam adição +, subtração -, multiplicação *, divisão /, e exponenciação com expoente inteiro, uma vez que ratsimp não manuseia esses casos. Note que átomos (números e variáveis) na forma CRE não são os mesmos que eles são na forma geral. Por exemplo, rat(x)- x retorna rat(0) que tem uma representação interna diferente de 0.

Quando ratfac for true, rat retorna uma forma parcialmente factorizada para CRE. Durante operações racionais a expressão é mantida como totalmente factorizada como possível sem uma chamada ao pacote de factorização (factor). Isso pode sempre economizar espaço de memória e algum tempo em algumas computações. O numerador e o denominador são ainda tidos como relativamente primos (e.g. rat ((x^2 - 1)^4/(x + 1)^2) retorna (x - 1)^4 (x + 1)^2), mas os factores dentro de cada parte podem não ser relativamente primos.

ratprint se false suprime a impressão de mensagens informando o utilizador de conversões de números em ponto flutuante para números racionais.

keepfloat se true evita que números em ponto flutuante sejam convertidos para números racionais.

Veja também ratexpand e ratsimp.

Exemplos:

(%i1) ((x - 2*y)^4/(x^2 - 4*y^2)^2 + 1)*(y + a)*(2*y + x) /(4*y^2 + x^2);
                                           4
                                  (x - 2 y)
              (y + a) (2 y + x) (------------ + 1)
                                   2      2 2
                                 (x  - 4 y )
(%o1)         ------------------------------------
                              2    2
                           4 y  + x
(%i2) rat (%, y, a, x);
                            2 a + 2 y
(%o2)/R/                    ---------
                             x + 2 y
Variável de opção: ratalgdenom

Valor Padrão: true

Quando ratalgdenom for true, permite racionalização de denominadores com respeito a radicais tenham efeito. ratalgdenom tem efeito somente quando expressões racionais canónicas (CRE) forem usadas no modo algébrico.

Função: ratcoef (expr, x, n)
Função: ratcoef (expr, x)

Retorna o coeficiente da expressão x^n dentro da expressão expr. Se omitido, n é assumido ser 1.

O valor de retorno está livre (excepto possivelmente em um senso não racional) das variáveis em x. Se nenhum coeficiente desse tipo existe, 0 é retornado.

ratcoef expande e simplifica racionalmente seu primeiro argumento e dessa forma pode produzir respostas diferentes das de coeff que é puramente sintática. Dessa forma ratcoef ((x + 1)/y + x, x) retorna (y + 1)/y ao passo que coeff retorna 1.

ratcoef (expr, x, 0), visualiza expr como uma adição, retornando uma soma desses termos que não possuem x. portanto se x ocorre para quaisquer expoentes negativos, ratcoef pode não ser usado.

Uma vez que expr é racionalmente simplificada antes de ser examinada, coeficientes podem não aparecer inteiramente no caminho que eles foram pensados.

Exemplo:

(%i1) s: a*x + b*x + 5$
(%i2) ratcoef (s, a + b);
(%o2)                           x
Função: ratdenom (expr)

Retorna o denominador de expr, após forçar a conversão de expr para expressão racional canónica (CRE). O valor de retorno é a CRE.

expr é forçada para uma CRE por rat se não for já uma CRE. Essa conversão pode mudar a forma de expr colocando todos os termos sobre um denominador comum.

denom é similar, mas retorna uma expressão comum em lugar de uma CRE. Também, denom não tenta colocar todos os termos sobre um denominador comum, e dessa forma algumas expressões que são consideradas razões por ratdenom não são consideradas razões por denom.

Variável de opção: ratdenomdivide

Valor Padrão: true

Quando ratdenomdivide for true, ratexpand expande uma razão cujo o numerador for uma adição dentro de uma soma de razões, tendo todos um denominador comum. De outra forma, ratexpand colapsa uma adição de razões dentro de uma razão simples, cujo numerador seja a adição dos numeradores de cada razão.

Exemplos:

(%i1) expr: (x^2 + x + 1)/(y^2 + 7);
                            2
                           x  + x + 1
(%o1)                      ----------
                              2
                             y  + 7
(%i2) ratdenomdivide: true$
(%i3) ratexpand (expr);
                       2
                      x        x        1
(%o3)               ------ + ------ + ------
                     2        2        2
                    y  + 7   y  + 7   y  + 7
(%i4) ratdenomdivide: false$
(%i5) ratexpand (expr);
                            2
                           x  + x + 1
(%o5)                      ----------
                              2
                             y  + 7
(%i6) expr2: a^2/(b^2 + 3) + b/(b^2 + 3);
                                     2
                           b        a
(%o6)                    ------ + ------
                          2        2
                         b  + 3   b  + 3
(%i7) ratexpand (expr2);
                                  2
                             b + a
(%o7)                        ------
                              2
                             b  + 3
Função: ratdiff (expr, x)

Realiza a derivação da expressão racional expr com relação a x. expr deve ser uma razão de polinómios ou um polinómio em x. O argumento x pode ser uma variável ou uma subexpressão de expr.

O resultado é equivalente a diff, embora talvez em uma forma diferente. ratdiff pode ser mais rápida que diff, para expressões racionais.

ratdiff retorna uma expressão racional canónica (CRE) se expr for uma CRE. De outra forma, ratdiff retorna uma expressão geral.

ratdiff considera somente as dependências de expr sobre x, e ignora quaisquer dependências estabelecidas por depends.

Exemplo:

(%i1) expr: (4*x^3 + 10*x - 11)/(x^5 + 5);
                           3
                        4 x  + 10 x - 11
(%o1)                   ----------------
                              5
                             x  + 5
(%i2) ratdiff (expr, x);
                    7       5       4       2
                 8 x  + 40 x  - 55 x  - 60 x  - 50
(%o2)          - ---------------------------------
                          10       5
                         x   + 10 x  + 25
(%i3) expr: f(x)^3 - f(x)^2 + 7;
                         3       2
(%o3)                   f (x) - f (x) + 7
(%i4) ratdiff (expr, f(x));
                           2
(%o4)                   3 f (x) - 2 f(x)
(%i5) expr: (a + b)^3 + (a + b)^2;
                              3          2
(%o5)                  (b + a)  + (b + a)
(%i6) ratdiff (expr, a + b);
                    2                    2
(%o6)            3 b  + (6 a + 2) b + 3 a  + 2 a
Função: ratdisrep (expr)

Retorna seu argumento como uma expressão geral. Se expr for uma expressão geral, é retornada inalterada.

Tipicamente ratdisrep é chamada para converter uma expressão racional canónica (CRE) em uma expressão geral. Isso é algumas vezes conveniente se deseja-se parar o "contágio", ou caso se esteja usando funções racionais em contextos não racionais.

Veja também totaldisrep.

Variável de opção: ratepsilon

Valor Padrão: 2.0e-8

ratepsilon é a tolerância usada em conversões de números em ponto flutuante para números racionais.

Função: ratexpand (expr)
Variável de opção: ratexpand

Expande expr multiplicando para fora produtos de somas e somas exponenciadas, combinando frações sobre um denominador comum, cancelando o máximo divisor comum entre entre o numerador e o denominador, então quebrando o numerador (se for uma soma) dentro de suas respectivas parcelas divididas pelo denominador.

O valor de retorno de ratexpand é uma expressão geral, mesmo se expr for uma expressão racional canónica (CRE).

O comutador ratexpand se true fará com que expressões CRE sejam completamente expandidas quando forem convertidas de volta para a forma geral ou mostradas, enquanto se for false então elas serão colocadas na forma recursiva. Veja também ratsimp.

Quando ratdenomdivide for true, ratexpand expande uma razão na qual o numerador é uma adição dentro de uma adição de razões, todas tendo um denominador comum. De outra forma, ratexpand contrai uma soma de razões em uma razão simples, cujo numerador é a soma dos numeradores de cada razão.

Quando keepfloat for true, evita que números em ponto flutuante sejam racionalizados quando expressões que contenham números em ponto flutuante forem convertidas para a forma de expressão racional canónica (CRE).

Exemplos:

(%i1) ratexpand ((2*x - 3*y)^3);
                     3         2       2        3
(%o1)          - 27 y  + 54 x y  - 36 x  y + 8 x
(%i2) expr: (x - 1)/(x + 1)^2 + 1/(x - 1);
                         x - 1       1
(%o2)                   -------- + -----
                               2   x - 1
                        (x + 1)
(%i3) expand (expr);
                    x              1           1
(%o3)          ------------ - ------------ + -----
                2              2             x - 1
               x  + 2 x + 1   x  + 2 x + 1
(%i4) ratexpand (expr);
                        2
                     2 x                 2
(%o4)           --------------- + ---------------
                 3    2            3    2
                x  + x  - x - 1   x  + x  - x - 1
Variável de opção: ratfac

Valor Padrão: false

Quando ratfac for true, expressões racionais canónicas (CRE) são manipuladas na forma parcialmente factorizada.

Durante operações racionais a expressão é mantida como completamente factorizada como foi possível sem chamadas a factor. Isso pode sempre economizar espaço e pode economizar tempo em algumas computações. O numerador e o denominador são feitos relativamente primos, por exemplo rat ((x^2 - 1)^4/(x + 1)^2) retorna (x - 1)^4 (x + 1)^2), mas o factor dentro de cada parte pode não ser relativamente primo.

No pacote ctensor (Manipulação de componentes de tensores), tensores de Ricci, Einstein, Riemann, e de Weyl e a curvatura escalar são factorizados automaticamente quando ratfac for true. ratfac pode somente ser escolhido para casos onde as componentes tensoriais sejam sabidametne consistidas de poucos termos.

Os esquemas de ratfac e de ratweight são incompatíveis e não podem ambos serem usados ao mesmo tempo.

Função: ratnumer (expr)

Retorna o numerador de expr, após forçar expr para uma expressão racional canónica (CRE). O valor de retorno é uma CRE.

expr é forçada para uma CRE por rat se isso não for já uma CRE. Essa conversão pode alterar a forma de expr pela colocação de todos os termos sobre um denominador comum.

num é similar, mas retorna uma expressão comum em lugar de uma CRE. Também, num não tenta colocar todos os termos sobre um denominador comum, e dessa forma algumas expressões que são consideradas razões por ratnumer não são consideradas razões por num.

Função: ratnump (expr)

Retorna true se expr for um inteiro literal ou razão de inteiros literais, de outra forma retorna false.

Função: ratp (expr)

Retorna true se expr for uma expressão racional canónica (CRE) ou CRE extendida, de outra forma retorna false.

CRE são criadas por rat e funções relacionadas. CRE extendidas são criadas por taylor e funções relacionadas.

Variável de opção: ratprint

Valor Padrão: true

Quando ratprint for true, uma mensagem informando ao utilizador da conversão de números em ponto flutuante para números racionais é mostrada.

Função: ratsimp (expr)
Função: ratsimp (expr, x_1, ..., x_n)

Simplifica a expressão expr e todas as suas subexpressões, incluindo os argumentos para funções não racionais. O resultado é retornado como o quociente de dois polinómios na forma recursiva, isto é, os coeficientes de variável principal são polinómios em outras variáveis. Variáveis podem incluir funções não racionais (e.g., sin (x^2 + 1)) e os argumentos para quaisquer tais funções são também simplificados racionalmente.

ratsimp (expr, x_1, ..., x_n) habilita simplificação racional com a especiicação de variável ordenando como em ratvars.

Quando ratsimpexpons for true, ratsimp é aplicado para os expoentes de expressões durante a simplificação.

Veja também ratexpand. Note que ratsimp é afectado por algum dos sinalizadores que afectam ratexpand.

Exemplos:

(%i1) sin (x/(x^2 + x)) = exp ((log(x) + 1)^2 - log(x)^2);
                                         2      2
                   x         (log(x) + 1)  - log (x)
(%o1)        sin(------) = %e
                  2
                 x  + x
(%i2) ratsimp (%);
                             1          2
(%o2)                  sin(-----) = %e x
                           x + 1
(%i3) ((x - 1)^(3/2) - (x + 1)*sqrt(x - 1))/sqrt((x - 1)*(x + 1));
                       3/2
                (x - 1)    - sqrt(x - 1) (x + 1)
(%o3)           --------------------------------
                     sqrt((x - 1) (x + 1))
(%i4) ratsimp (%);
                           2 sqrt(x - 1)
(%o4)                    - -------------
                                 2
                           sqrt(x  - 1)
(%i5) x^(a + 1/a), ratsimpexpons: true;
                               2
                              a  + 1
                              ------
                                a
(%o5)                        x
Variável de opção: ratsimpexpons

Valor Padrão: false

Quando ratsimpexpons for true, ratsimp é aplicado para os expoentes de expressões durante uma simplificação.

Função: ratsubst (a, b, c)

Substitue a por b em c e retorna a expressão resultante. b pode também ser uma adição, produto, expoente, etc.

ratsubst sabe alguma coisa do significado de expressões uma vez que subst não é uma substituição puramente sintática. Dessa forma subst (a, x + y, x + y + z) retorna x + y + z ao passo que ratsubst retorna z + a.

Quando radsubstflag for true, ratsubst faz substituição de radicais em expressões que explicitamente não possuem esses radicais.

Exemplos:

(%i1) ratsubst (a, x*y^2, x^4*y^3 + x^4*y^8);
                              3      4
(%o1)                      a x  y + a
(%i2) cos(x)^4 + cos(x)^3 + cos(x)^2 + cos(x) + 1;
               4         3         2
(%o2)       cos (x) + cos (x) + cos (x) + cos(x) + 1
(%i3) ratsubst (1 - sin(x)^2, cos(x)^2, %);
            4           2                     2
(%o3)    sin (x) - 3 sin (x) + cos(x) (2 - sin (x)) + 3
(%i4) ratsubst (1 - cos(x)^2, sin(x)^2, sin(x)^4);
                        4           2
(%o4)                cos (x) - 2 cos (x) + 1
(%i5) radsubstflag: false$
(%i6) ratsubst (u, sqrt(x), x);
(%o6)                           x
(%i7) radsubstflag: true$
(%i8) ratsubst (u, sqrt(x), x);
                                2
(%o8)                          u
Função: ratvars (x_1, ..., x_n)
Função: ratvars ()
Variável de sistema: ratvars

Declara variáveis principais x_1, ..., x_n para expressões racionais. x_n, se presente em uma expressão racional, é considerada a variável principal. De outra forma, x_[n-1] é considerada a variável principal se presente, e assim por diante até as variáveis precedentes para x_1, que é considerada a variável principal somente se nenhuma das variáveis que a sucedem estiver presente.

Se uma variável em uma expressão racional não está presente na lista ratvars, a ela é dada uma prioridade menor que x_1.

Os argumentos para ratvars podem ser ou variáveis ou funções não racionais tais como sin(x).

A variável ratvars é uma lista de argumentos da função ratvars quando ela foi chamada mais recentemente. Cada chamada para a função ratvars sobre-grava a lista apagando seu conteúdo anterior. ratvars () limpa a lista.

Função: ratweight (x_1, w_1, ..., x_n, w_n)
Função: ratweight ()

Atribui um peso w_i para a variável x_i. Isso faz com que um termo seja substituído por 0 se seu peso exceder o valor da variável ratwtlvl (o padrão retorna sem truncação). O peso de um termo é a soma dos produtos dos pesos de uma variável no termo vezes seu expoente. Por exemplo, o peso de 3 x_1^2 x_2 é 2 w_1 + w_2. A truncação de acordo com ratwtlvl é realizada somente quando multiplicando ou exponencializando expressões racionais canónicas (CRE).

ratweight () retorna a lista cumulativa de atribuições de pesos.

Nota: Os esquemas de ratfac e ratweight são incompatíveis e não podem ambo serem usados ao mesmo tempo.

Exemplos:

(%i1) ratweight (a, 1, b, 1);
(%o1)                     [a, 1, b, 1]
(%i2) expr1: rat(a + b + 1)$
(%i3) expr1^2;
                  2                  2
(%o3)/R/         b  + (2 a + 2) b + a  + 2 a + 1
(%i4) ratwtlvl: 1$
(%i5) expr1^2;
(%o5)/R/                  2 b + 2 a + 1
Variável de sistema: ratweights

Valor Padrão: []

ratweights é a lista de pesos atribuídos por ratweight. A lista é cumulativa: cada chamada a ratweight coloca ítens adicionais na lista.

kill (ratweights) e save (ratweights) ambos trabalham como esperado.

Variável de opção: ratwtlvl

Valor Padrão: false

ratwtlvl é usada em combinação com a função ratweight para controlar a truncação de expressão racionais canónicas (CRE). Para o valor padrão false, nenhuma truncação ocorre.

Função: remainder (p_1, p_2)
Função: remainder (p_1, p_2, x_1, ..., x_n)

Retorna o resto do polinómio p_1 dividido pelo polinómio p_2. Os argumentos x_1, ..., x_n são interpretados como em ratvars.

remainder retorna o segundo elemento de uma lista de dois elementos retornada por divide.

Função: resultant (p_1, p_2, x)
Variável: resultant

Calcula o resultante de dois polinómios p_1 e p_2, eliminando a variável x. O resultante é um determinante dos coeficientes de x em p_1 e p_2, que é igual a zero se e somente se p_1 e p_2 tiverem um factor em comum não constante.

Se p_1 ou p_2 puderem ser factorizados, pode ser desejável chamar factor antes de chamar resultant.

A variável resultant controla que algoritmo será usado para calcular o resultante. subres para o prs subresultante, mod para o algoritmo resultante modular, e red para prs reduzido. Para muitos problemas subres pode ser melhor. Para alguns problemas com valores grandes de grau de uma única variável ou de duas variáveis mod pode ser melhor.

A função bezout aceita os mesmos argumentos que resultant e retorna uma matriz. O determinante do valor de retorno é o resultante desejado.

Variável de opção: savefactors

Valor Padrão: false

Quando savefactors for true, faz com que os factores de uma expressão que é um produto de factores sejam gravados por certas funções com o objectivo de aumentar a velocidade em posteriores factorizações de expressões contendo algum desses mesmos factores.

Função: sqfr (expr)

é similar a factor excepto que os factores do polinómio são "livres de raízes". Isto é, eles possuem factores somente de grau um. Esse algoritmo, que é também usado no primeiro estágio de factor, utiliza o facto que um polinómio tem em comum com sua n'ésima derivada todos os seus factores de grau maior que n. Dessa forma obtendo o maior divisor comum com o polinómio das derivadas com relação a cada variável no polinómio, todos os factores de grau maior que 1 podem ser achados.

Exemplo:

(%i1) sqfr (4*x^4 + 4*x^3 - 3*x^2 - 4*x - 1);
                                2   2
(%o1)                  (2 x + 1)  (x  - 1)
Função: tellrat (p_1, ..., p_n)
Função: tellrat ()

Adiciona ao anel dos inteiros algébricos conhecidos do Maxima os elementos que são as soluções dos polinómios p_1, ..., p_n. Cada argumento p_i é um polinómio concoeficientes inteiros.

tellrat (x) efectivamente significa substituir 0 por x em funções racionais.

tellrat () retorna uma lista das substituições correntes.

algebraic deve ser escolhida para true com o objectivo de que a simplificação de inteiros algébricos tenha efeito.

Maxima inicialmente sabe sobre a unidade imaginária %i e todas as raízes de inteiros.

Existe um comando untellrat que recebe núcleos e remove propriedades tellrat.

Quando fazemos tellrat em um polinómio de várias variáveis, e.g., tellrat (x^2 - y^2), pode existir uma ambiguidade como para ou substituir y^2 por x^2 ou vice-versa. Maxima selecciona uma ordenação particular, mas se o utilizador desejar especificar qual e.g. tellrat (y^2 = x^2) forneçe uma sintaxe que diga para substituir y^2 por x^2.

Exemplos:

(%i1) 10*(%i + 1)/(%i + 3^(1/3));
                           10 (%i + 1)
(%o1)                      -----------
                                  1/3
                            %i + 3
(%i2) ev (ratdisrep (rat(%)), algebraic);
             2/3      1/3              2/3      1/3
(%o2)    (4 3    - 2 3    - 4) %i + 2 3    + 4 3    - 2
(%i3) tellrat (1 + a + a^2);
                            2
(%o3)                     [a  + a + 1]
(%i4) 1/(a*sqrt(2) - 1) + a/(sqrt(3) + sqrt(2));
                      1                 a
(%o4)           ------------- + -----------------
                sqrt(2) a - 1   sqrt(3) + sqrt(2)
(%i5) ev (ratdisrep (rat(%)), algebraic);
         (7 sqrt(3) - 10 sqrt(2) + 2) a - 2 sqrt(2) - 1
(%o5)    ----------------------------------------------
                               7
(%i6) tellrat (y^2 = x^2);
                        2    2   2
(%o6)                 [y  - x , a  + a + 1]
Função: totaldisrep (expr)

Converte toda subexpressão de expr da forma de expressão racionais canónicas (CRE) para a forma geral e retorna o resultado. Se expr é em sí mesma na forma CRE então totaldisrep é identica a ratdisrep.

totaldisrep pode ser usada para fazer um ratdisrep em expressões tais como equações, listas, matrizes, etc., que tiverem algumas subexpressões na forma CRE.

Função: untellrat (x_1, ..., x_n)

Remove propriedades tellrat de x_1, ..., x_n.


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