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14. Logaritmos


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14.1 Definições para Logaritmos

Variável de opção: %e_to_numlog

Valor por omissão: false

Quando true, sendo r algum número racional, e x alguma expressão, %e^(r*log(x)) será simplificado em x^r . Note-se que o comando radcan também faz essa transformação, assim como algumas transformações mais complicadas. O comando logcontract contrai expressões contendo log.

Função: li [s] (z)

Representa a função polilogaritmo de ordem s e argumento z, definida por meio da série infinita

                                 inf
                                 ====   k
                                 \     z
                        Li (z) =  >    --
                          s      /      s
                                 ====  k
                                 k = 1

li [1] é - log (1 - z). li [2] e li [3] são as funções dilogaritmo e trilogaritmo, respectivamente.

Quando a ordem for 1, o polilogaritmo simplifica para - log (1 - z), o qual por sua vez simplifica para um valor numérico se z for um número em ponto flutuante real ou complexo ou o sinalizador de avaliação numer estiver presente.

Quando a ordem for 2 ou 3, o polilogaritmo simplifica para um valor numérico se z for um número real em ponto flutuante ou o sinalizador de avaliação numer estiver presente.

Exemplos:

(%i1) assume (x > 0);
(%o1)                        [x > 0]
(%i2) integrate ((log (1 - t)) / t, t, 0, x);
(%o2)                       - li (x)
                                2
(%i3) li [2] (7);
(%o3)                        li (7)
                               2
(%i4) li [2] (7), numer;
(%o4)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i5) li [3] (7);
(%o5)                        li (7)
                               3
(%i6) li [2] (7), numer;
(%o6)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i7) L : makelist (i / 4.0, i, 0, 8);
(%o7)   [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0]
(%i8) map (lambda ([x], li [2] (x)), L);
(%o8) [0, .2676526384986274, .5822405249432515, 
.9784693966661848, 1.64493407, 2.190177004178597
 - .7010261407036192 %i, 2.374395264042415
 - 1.273806203464065 %i, 2.448686757245154
 - 1.758084846201883 %i, 2.467401098097648
 - 2.177586087815347 %i]
(%i9) map (lambda ([x], li [3] (x)), L);
(%o9) [0, .2584613953442624, 0.537213192678042, 
.8444258046482203, 1.2020569, 1.642866878950322
 - .07821473130035025 %i, 2.060877505514697
 - .2582419849982037 %i, 2.433418896388322
 - .4919260182322965 %i, 2.762071904015935
 - .7546938285978846 %i]
Função: log (x)

Representa o logaritmo natural (base e) de x.

Maxima não possui uma função interna para logaritmo de base 10 ou de outras bases. log10(x) := log(x) / log(10) é uma definição útil.

A simplificação e avaliação de logaritmos são governadas por vários sinalizadores globais:

logexpand - faz com que log(a^b) se transfome em b*log(a). Se logexpand tiver o valor all, log(a*b) irá também simplificar para log(a)+log(b). Se logexpand for igual a super, então log(a/b) irá também simplificar para log(a)-log(b) para números racionais a/b, a#1 (log(1/b), para b inteiro, sempre simplifica). Se logexpand for igaul a false, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

logsimp - se tiver valor false, não será feita nenhuma simplificação de %e para um expoente contendo log's.

lognumer - se tiver valor true, os argumentos negativos em ponto flutuante para log irá sempre ser convertidos para seu valor absoluto antes que log seja calculado. Se numer for também true, então argumentos negativos inteiros para log irão também ser convertidos para os seus valores absolutos.

lognegint - se tiver valor true, implementa a regra log(-n) -> log(n)+%i*%pi para n um inteiro positivo.

%e_to_numlog - quando for igual a true, %e^(r*log(x)), sendo r algum número racional, e x alguma expressão, será simplificado para x^r. Note-se que o comando radcan também faz essa transformação, e outras transformações mais complicadas desse género.

O comando logcontract "contrai" expressões contendo log.

Variável de opção: logabs

Valor por omissão: false

No cálculo de primitivas em que sejam gerados logaritmos, por exemplo, integrate(1/x,x), a resposta será dada em termos de log(abs(...)) se logabs for true, mas em termos de log(...) se logabs for false. Para integrais definidos, usa-se logabs:true, porque nesse caso muitas vezes é necessário calcular a primitiva nos extremos.

Variável de opção: logarc
Função: logarc (expr)

Quando a variável global logarc for igual a true, as funções trigononométricas inversas, circulares e hiperbólicas, serão substituídas por suas funções logarítmicas equivalentes. O valor padrão de logarc é false.

A função logarc(expr) realiza essa substituição para uma expressão expr sem modificar o valor da variável global logarc.

Variável de opção: logconcoeffp

Valor por omissão: false

Controla quais coeficientes são contraídos quando se usa logcontract. Poderá ser igual ao nome de uma função de um argumento. Por exemplo, se quiser gerar raízes quadradas, pode fazer logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$. E assim, logcontract(1/2*log(x)); produzirá log(sqrt(x)).

Função: logcontract (expr)

Examina recursivamente a expressão expr, transformando subexpressões da forma a1*log(b1) + a2*log(b2) + c em log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c

(%i1) 2*(a*log(x) + 2*a*log(y))$
(%i2) logcontract(%);
                                 2  4
(%o2)                     a log(x  y )

Se fizer declare(n,integer); então logcontract(2*a*n*log(x)); produzirá a*log(x^(2*n)). Os coeficientes que contraem dessa maneira são os que, tal como 2 e n neste exemplo, satisfazem featurep(coeficiente,integer). O utilizador pode controlar quais coeficientes são contraídos, dando à variável logconcoeffp o nome de uma função de um argumento. Por exemplo, se quiser gerar raízes quadradas, pode fazer logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) or ratnump(m)$. E assim, logcontract(1/2*log(x)); produzirá log(sqrt(x)).

Variável de opção: logexpand

Valor por omissão: true

Faz com que log(a^b) se transfome em b*log(a). Se logexpand tiver o valor all, log(a*b) irá também simplificar para log(a)+log(b). Se logexpand for igual a super, então log(a/b) irá também simplificar para log(a)-log(b) para números racionais a/b, a#1 (log(1/b), para b inteiro, sempre simplifica). Se logexpand for igaul a false, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

Variável de opção: lognegint

Valor por omissão: false

Se for igual a true, implementa a regra log(-n) -> log(n)+%i*%pi para n um inteiro positivo.

Variável de opção: lognumer

Valor por omissão: false

Se tiver valor true, os argumentos negativos em ponto flutuante para log irá sempre ser convertidos para seu valor absoluto antes que log seja calculado. Se numer for também true, então argumentos negativos inteiros para log irão também ser convertidos para os seus valores absolutos.

Variável de opção: logsimp

Valor por omissão: true

Se tiver valor false, não será feita nenhuma simplificação de %e para um expoente contendo log's.

Função: plog (x)

Representa o ramo principal dos logaritmos naturais no plano complexo, com -%pi < carg(x) <= +%pi.


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