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15. Trigonometria


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15.1 Introdução ao Pacote Trigonométrico

Maxima tem muitas funções trigonométricas definidas. Não todas as identidades trigonometricas estão programadas, mas isso é possível para o utilizador adicionar muitas delas usando a compatibilidade de correspondência de modelos do sistema. As funções trigonométricas definidas no Maxima são: acos, acosh, acot, acoth, acsc, acsch, asec, asech, asin, asinh, atan, atanh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, sec, sech, sin, sinh, tan, e tanh. Existe uma colecção de comandos especialmente para manusear funções trigonométricas, veja trigexpand, trigreduce, e o comutador trigsign. Dois pacotes compartilhados extendem as regras de simplificação construídas no Maxima, ntrig e atrig1. Faça describe(comando) para detalhes.


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15.2 Definições para Trigonometria

Função: acos (x)

- Arco Cosseno.

Função: acosh (x)

- Arco Cosseno Hiperbólico.

Função: acot (x)

- Arco Cotangente.

Função: acoth (x)

- Arco Cotangente Hiperbólico.

Função: acsc (x)

- Arco Cossecante.

Função: acsch (x)

- Arco Cossecante Hiperbólico.

Função: asec (x)

- Arco Secante.

Função: asech (x)

- Arco Secante Hiperbólico.

Função: asin (x)

- Arco Seno.

Função: asinh (x)

- Arco Seno Hiperbólico.

Função: atan (x)

- Arco Tangente.

Função: atan2 (y, x)

- retorna o valor de atan(y/x) no intervalo de -%pi a %pi.

Função: atanh (x)

- Arco tangente Hiperbólico.

Pacote: atrig1

O pacote atrig1 contém muitas regras adicionais de simplificação para funções trigonométricas inversas. Junto com regras já conhecidas para Maxima, os seguintes ângulos estão completamente implementados: 0, %pi/6, %pi/4, %pi/3, e %pi/2. Os ângulos correspondentes nos outros três quadrantes estão também disponíveis. Faça load(atrig1); para usá-lo.

Função: cos (x)

- Cosseno.

Função: cosh (x)

- Cosseno hiperbólico.

Função: cot (x)

- Cotangente.

Função: coth (x)

- Cotangente Hyperbólica.

Função: csc (x)

- Cossecante.

Função: csch (x)

- Cossecante Hyperbólica.

Variável de opção: halfangles

Default value: false

Quando halfangles for true, meios-ângulos são simplificados imediatamente.

Pacote: ntrig

O pacote ntrig contém um conjunto de regras de simplificação que são usadas para simplificar função trigonométrica cujos argumentos estão na forma f(n %pi/10) onde f é qualquer das funções sin, cos, tan, csc, sec e cot.

Função: sec (x)

- Secante.

Função: sech (x)

- Secante Hyperbólica.

Função: sin (x)

- Seno.

Função: sinh (x)

- Seno Hyperbólico.

Função: tan (x)

- Tangente.

Função: tanh (x)

- Tangente Hyperbólica.

Função: trigexpand (expr)

Expande funções trigonometricas e hyperbólicas de adições de ângulos e de ângulos multiplos que ocorram em expr. Para melhores resultados, expr deve ser expandida. Para intensificar o controle do utilizador na simplificação, essa função expande somente um nível de cada vez, expandindo adições de ângulos ou ângulos multiplos. Para obter expansão completa dentro de senos e co-senos imediatamente, escolha o comutador trigexpand: true.

trigexpand é governada pelos seguintes sinalizadores globais:

trigexpand

Se true causa expansão de todas as expressões contendo senos e co-senos ocorrendo subsequêntemente.

halfangles

Se true faz com que meios-ângulos sejam simplificados imediatamente.

trigexpandplus

Controla a regra "soma" para trigexpand, expansão de adições (e.g. sin(x + y)) terão lugar somente se trigexpandplus for true.

trigexpandtimes

Controla a regra "produto" para trigexpand, expansão de produtos (e.g. sin(2 x)) terão lugar somente se trigexpandtimes for true.

Exemplos:

(%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
                         2           2
(%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
(%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
(%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)

Variável de opção: trigexpandplus

Valor por omissão: true

trigexpandplus controla a regra da "soma" para trigexpand. Dessa forma, quando o comando trigexpand for usado ou o comutador trigexpand escolhido para true, expansão de adições (e.g. sin(x+y)) terão lugar somente se trigexpandplus for true.

Variável de opção: trigexpandtimes

Valor por omissão: true

trigexpandtimes controla a regra "produto" para trigexpand. Dessa forma, quando o comando trigexpand for usado ou o comutador trigexpand escolhido para true, expansão de produtos (e.g. sin(2*x)) terão lugar somente se trigexpandtimes for true.

Variável de opção: triginverses

Valor por omissão: all

triginverses controla a simplificação de composições de funções trigonométricas e hiperbólicas com suas funções inversas.

Se all, ambas e.g. atan(tan(x)) e tan(atan(x)) simplificarão para x.

Se true, a simplificação de arcfun(fun(x)) é desabilitada.

Se false, ambas as simplificações arcfun(fun(x)) e fun(arcfun(x)) são desabilitadas.

Função: trigreduce (expr, x)
Função: trigreduce (expr)

Combina produtos e expoentes de senos e cossenso trigonométricos e hiperbólicos de x dentro daqueles de múltiplos de x. Também tenta eliminar essas funções quando elas ocorrerem em denominadores. Se x for omitido então todas as variáveis em expr são usadas.

Veja também poissimp.

(%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
               cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
(%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
                  2             2       2        2

As rotinas de simplificação trigonométrica irão usar informações declaradas em alguns casos simples. Declarações sobre variáveis são usadas como segue, e.g.

(%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
(%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
(%o2)                        cos(x)
(%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
(%o3)                       - cos(x)

Variável de opção: trigsign

Valor por omissão: true

Quando trigsign for true, permite simplificação de argumentos negativos para funções trigonométricas. E.g., sin(-x) transformar-se-á em -sin(x) somente se trigsign for true.

Função: trigsimp (expr)

Utiliza as identidades sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 and cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1 para simplificar expressões contendo tan, sec, etc., para sin, cos, sinh, cosh.

trigreduce, ratsimp, e radcan podem estar habilitadas a adicionar simplificações ao resultado.

demo ("trgsmp.dem") mostra alguns exemplos de trigsimp.

Função: trigrat (expr)

Fornece uma forma quase-linear simplificada canónica de uma expressão trigonométrica; expr é uma fração racional de muitos sin, cos ou tan, os argumentos delas são formas lineares em algumas variáveis (ou kernels-núcleos) e %pi/n (n inteiro) com coeficientes inteiros. O resultado é uma fração simplificada com numerador e denominador ambos lineares em sin e cos. Dessa forma trigrat lineariza sempre quando isso for passível.

(%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
(%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1

O seguinte exemplo encontra-se em Davenport, Siret, and Tournier, Calcul Formel, Masson (ou em inglês, Addison-Wesley), secção 1.5.5, teorema de Morley.

(%i1) c: %pi/3 - a - b;
                                    %pi
(%o1)                     - b - a + ---
                                     3
(%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
                      sin(a) sin(3 b + 3 a)
(%o2)                 ---------------------
                           sin(b + a)
(%i3) ba: bc, c=a, a=c$
(%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
         2       2
      sin (a) sin (3 b + 3 a)
(%o4) -----------------------
               2
            sin (b + a)

                                        %pi
   2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
                                         3
 - --------------------------------------------------------
                           %pi
                   sin(a - ---) sin(b + a)
                            3

      2         2         %pi
   sin (3 a) sin (b + a - ---)
                           3
 + ---------------------------
             2     %pi
          sin (a - ---)
                    3
(%i5) trigrat (ac2);
(%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)

 - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)

 - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)

 + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)

 + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)

 + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)

 - 9)/4


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