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21. Equações


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21.1 Definições para Equações

Variável: %rnum_list

Valor por omissão: []

%rnum_list é a lista de variáveis introduzidas em soluções por algsys. %r variáveis São adicionadas a %rnum_list na ordem em que forem criadas. Isso é conveniente para fazer substituições dentro da solução mais tarde. É recomendado usar essa lista em lugar de fazer concat ('%r, j).

Variável: algexact

Valor por omissão: false

algexact afecta o comportamento de algsys como segue:

Se algexact é true, algsys sempre chama solve e então usa realroots sobre falhas de solve.

Se algexact é false, solve é chamada somente se o eliminante não for de uma variável, ou se for uma quadrática ou uma biquadrada.

Dessa forma algexact: true não garante soluções exactas, apenas que algsys tentará primeiro pegar soluções exactas, e somente retorna aproximações quando tudo mais falha.

Função: algsys ([expr_1, ..., expr_m], [x_1, ..., x_n])
Função: algsys ([eqn_1, ..., eqn_m], [x_1, ..., x_n])

Resolve polinómios simultâneos expr_1, ..., expr_m ou equações polinômiais eqn_1, ..., eqn_m para as variáveis x_1, ..., x_n. Uma expressão expr é equivalente a uma equação expr = 0. Pode existir mais equações que variáveis ou vice-versa.

algsys retorna uma lista de soluções, com cada solução dada com uma lista de valores de estado das equações das variáveis x_1, ..., x_n que satisfazem o sistema de equações. Se algsys não pode achar uma solução, uma lista vazia [] é retornada.

Os símbolos %r1, %r2, ..., são introduzidos tantos quantos forem necessários para representar parâmetros arbitrários na solução; essas variáveis são também anexadas à lista %rnum_list.

O método usado é o seguinte:

(1) Primeiro as equações são factorizaadas e quebradas em subsistemas.

(2) Para cada subsistema S_i, uma equação E e uma variável x são seleccionados. A variável é escolhida para ter o menor grau não zero. Então a resultante de E e E_j em relação a x é calculada para cada um das equações restantes E_j nos subsistemas S_i. Isso retorna um novo subsistema S_i' em umas poucas variáveis, como x tenha sido eliminada. O processo agora retorna ao passo (1).

(3) Eventualmente, um subsistema consistindo de uma equação simples é obtido. Se a equação é de várias variáveis e aproximações na forma de números em ponto flutuante nã tenham sido introduzidas, então solve é chamada para achar uma solução exacta.

Em alguns casos, solve não está habilitada a achar uma solução, ou se isso é feito a solução pode ser uma expressão expressão muito larga.

Se a equação é de uma única variável e é ou linear, ou quadrática, ou biquadrada, então novamente solve é chamada se aproximações não tiverem sido introduzidas. Se aproximações tiverem sido introduzidas ou a equação não é de uma única variável e nem tão pouco linear, quadratica, ou biquadrada, então o comutador realonly é true, A função realroots é chamada para achar o valor real das soluções. Se realonly é false, então allroots é chamada a qual procura por soluções reais e complexas.

Se algsys produz uma solução que tem poucos digitos significativos que o requerido, o utilizador pode escolher o valor de algepsilon para um valor maior.

Se algexact é escolhido para true, solve será sempre chamada.

(4) Finalmente, as soluções obtidas no passo (3) são substituídas dentro dos níveis prévios e o processo de solução retorna para (1).

Quando algsys encontrar uma equação de várias variáveis que contém aproximações em ponto flutuante (usualmente devido a suas falhas em achar soluções exactas por um estágio mais fácil), então não tentará aplicar métodos exatos para tais equações e em lugar disso imprime a mensagem: "algsys cannot solve - system too complicated."

Interações com radcan podem produzir expressões largas ou complicadas. Naquele caso, pode ser possível isolar partes do resultado com pickapart ou reveal.

Ocasionalmente, radcan pode introduzir uma unidade imaginária %i dentro de uma solução que é actualmente avaliada como real.

Exemplos:

++

(%i1) e1: 2*x*(1 - a1) - 2*(x - 1)*a2;
(%o1)              2 (1 - a1) x - 2 a2 (x - 1)
(%i2) e2: a2 - a1; 
(%o2)                        a2 - a1
(%i3) e3: a1*(-y - x^2 + 1); 
                                   2
(%o3)                   a1 (- y - x  + 1)
(%i4) e4: a2*(y - (x - 1)^2);
                                       2
(%o4)                   a2 (y - (x - 1) )
(%i5) algsys ([e1, e2, e3, e4], [x, y, a1, a2]);
(%o5) [[x = 0, y = %r1, a1 = 0, a2 = 0], 

                                  [x = 1, y = 0, a1 = 1, a2 = 1]]
(%i6) e1: x^2 - y^2;
                              2    2
(%o6)                        x  - y
(%i7) e2: -1 - y + 2*y^2 - x + x^2;
                         2        2
(%o7)                 2 y  - y + x  - x - 1
(%i8) algsys ([e1, e2], [x, y]);
                 1            1
(%o8) [[x = - -------, y = -------], 
              sqrt(3)      sqrt(3)

        1              1             1        1
[x = -------, y = - -------], [x = - -, y = - -], [x = 1, y = 1]]
     sqrt(3)        sqrt(3)          3        3
Função: allroots (expr)
Função: allroots (eqn)

Calcula aproximações numéricas de raízes reais e complexas do polinómio expr ou equação polinômial eqn de uma variável.

O sinalizador polyfactor quando true faz com que allroots factore o polinómio sobre os números reais se o polinómio for real, ou sobre os números complexos, se o polinómio for complexo.

allroots pode retornar resultados imprecisos no caso de múltiplas raízes. Se o polinómio for real, allroots (%i*p)) pode retornar aproximações mais precisas que allroots (p), como allroots invoca um algoritmo diferente naquele caso.

allroots rejeita expressoões que não sejam polinómios. Isso requer que o numerador após a classificação (rat'ing) poderá ser um polinómio, e isso requer que o denominador seja quando muito um número complexo. Com esse tipo resultado allroots irá sempre produzir uma expressão equivalente (mas factorizada), se polyfactor for true.

Para polinómios complexos um algoritmo por Jenkins e Traub é usado (Algorithm 419, Comm. ACM, vol. 15, (1972), p. 97). Para polinómios reais o algoritmo usado é devido a Jenkins (Algorithm 493, ACM TOMS, vol. 1, (1975), p.178).

Exemplos:

(%i1) eqn: (1 + 2*x)^3 = 13.5*(1 + x^5);
                            3          5
(%o1)              (2 x + 1)  = 13.5 (x  + 1)
(%i2) soln: allroots (eqn);
(%o2) [x = .8296749902129361, x = - 1.015755543828121, 

x = .9659625152196369 %i - .4069597231924075, 

x = - .9659625152196369 %i - .4069597231924075, x = 1.0]
(%i3) for e in soln
        do (e2: subst (e, eqn), disp (expand (lhs(e2) - rhs(e2))));
                      - 3.5527136788005E-15

                     - 5.32907051820075E-15

         4.44089209850063E-15 %i - 4.88498130835069E-15

        - 4.44089209850063E-15 %i - 4.88498130835069E-15

                       3.5527136788005E-15

(%o3)                         done
(%i4) polyfactor: true$
(%i5) allroots (eqn);
(%o5) - 13.5 (x - 1.0) (x - .8296749902129361)

                           2
 (x + 1.015755543828121) (x  + .8139194463848151 x

 + 1.098699797110288)
Variável: backsubst

Valor por omissão: true

Quando backsubst é false, evita substituições em expressões anteriores após as equações terem sido triangularizadas. Isso pode ser de grande ajuda em problemas muito grandes onde substituição em expressões anteriores pode vir a causar a geração de expressões extremamente largas.

Variável: breakup

Valor por omissão: true

Quando breakup é true, solve expressa soluções de equações cúbicas e quárticas em termos de subexpressões comuns, que são atribuídas a rótulos de expressões intermédias (%t1, %t2, etc.). De outra forma, subexpressões comuns não são identificadas.

breakup: true tem efeito somente quando programmode é false.

Exemplos:

(%i1) programmode: false$
(%i2) breakup: true$
(%i3) solve (x^3 + x^2 - 1);

                        sqrt(23)    25 1/3
(%t3)                  (--------- + --)
                        6 sqrt(3)   54
Solution:

                                      sqrt(3) %i   1
                                      ---------- - -
                sqrt(3) %i   1            2        2   1
(%t4)    x = (- ---------- - -) %t3 + -------------- - -
                    2        2            9 %t3        3

                                      sqrt(3) %i   1
                                    - ---------- - -
              sqrt(3) %i   1              2        2   1
(%t5)    x = (---------- - -) %t3 + ---------------- - -
                  2        2             9 %t3         3

                                   1     1
(%t6)                  x = %t3 + ----- - -
                                 9 %t3   3
(%o6)                    [%t4, %t5, %t6]
(%i6) breakup: false$
(%i7) solve (x^3 + x^2 - 1);
Solution:

             sqrt(3) %i   1
             ---------- - -
                 2        2        sqrt(23)    25 1/3
(%t7) x = --------------------- + (--------- + --)
             sqrt(23)    25 1/3    6 sqrt(3)   54
          9 (--------- + --)
             6 sqrt(3)   54

                                              sqrt(3) %i   1    1
                                           (- ---------- - -) - -
                                                  2        2    3

           sqrt(23)    25 1/3  sqrt(3) %i   1
(%t8) x = (--------- + --)    (---------- - -)
           6 sqrt(3)   54          2        2

                                            sqrt(3) %i   1
                                          - ---------- - -
                                                2        2      1
                                      + --------------------- - -
                                           sqrt(23)    25 1/3   3
                                        9 (--------- + --)
                                           6 sqrt(3)   54

            sqrt(23)    25 1/3             1             1
(%t9)  x = (--------- + --)    + --------------------- - -
            6 sqrt(3)   54          sqrt(23)    25 1/3   3
                                 9 (--------- + --)
                                    6 sqrt(3)   54
(%o9)                    [%t7, %t8, %t9]
Função: dimension (eqn)
Função: dimension (eqn_1, ..., eqn_n)

dimen é um pacote de análise dimensional. load ("dimen") chama esse pacote. demo ("dimen") mostra uma cura demostração.

Variável: dispflag

Valor por omissão: true

Se escolhida para false dentro de um block inibirá a visualização da saída gerada pelas funções solve chamadas de dentro de block. Terminando block com um sinal de dolar, $, escolhe dispflag para false.

Função: funcsolve (eqn, g(t))

Retorna [g(t) = ...] ou [], dependendo de existir ou não uma função racional g(t) satisfazendo eqn, que deve ser de primeira ordem, polinómio linear em (para esse caso) g(t) e g(t+1)

(%i1) eqn: (n + 1)*f(n) - (n + 3)*f(n + 1)/(n + 1) = (n - 1)/(n + 2);
                            (n + 3) f(n + 1)   n - 1
(%o1)        (n + 1) f(n) - ---------------- = -----
                                 n + 1         n + 2
(%i2) funcsolve (eqn, f(n));

Equações dependentes eliminadas:  (4 3)
                                   n
(%o2)                f(n) = ---------------
                            (n + 1) (n + 2)

Atenção: essa é uma implementação muito rudimentar - muitas verificações de segurança e obviamente generalizações estão ausêntes.

Variável: globalsolve

Valor por omissão: false

When globalsolve for true, variáveis para as quais as equações são resolvidas são atribuidas aos valores da solução encontrados por linsolve, e por solve quando resolvendo duas ou mais equações lineares. Quando globalsolve for false, soluções encontradas por linsolve e por solve quando resolvendo duas ou mais equações lineares são espressas como equações, e as variáveis para as quais a equação foi resolvida não são atribuidas.

Quando resolvendo qualquer coisa outra que não duas equações lineares ou mais, solve ignora globalsolve. Outras funções que resolvem equações (e.g., algsys) sempre ignoram globalsolve.

Exemplos:

(%i1) globalsolve: true$
(%i2) solve ([x + 3*y = 2, 2*x - y = 5], [x, y]);
Solution

                                 17
(%t2)                        x : --
                                 7

                                   1
(%t3)                        y : - -
                                   7
(%o3)                     [[%t2, %t3]]
(%i3) x;
                               17
(%o3)                          --
                               7
(%i4) y;
                                 1
(%o4)                          - -
                                 7
(%i5) globalsolve: false$
(%i6) kill (x, y)$
(%i7) solve ([x + 3*y = 2, 2*x - y = 5], [x, y]);
Solution

                                 17
(%t7)                        x = --
                                 7

                                   1
(%t8)                        y = - -
                                   7
(%o8)                     [[%t7, %t8]]
(%i8) x;
(%o8)                           x
(%i9) y;
(%o9)                           y
Função: ieqn (ie, unk, tech, n, guess)

inteqn é um pacote para resolver equações integrais. load ("inteqn") carrega esse pacote.

ie é a equação integral; unk é a função desconhecida; tech é a técnica a ser tentada nesses dados acima (tech = first significa: tente a primeira técnica que achar uma solução; tech = all significa: tente todas a técnicas aplicáveis); n é o número máximo de termos a serem usados de taylor, neumann, firstkindseries, ou fredseries (isso é também o número máximo de ciclos de recurssão para o método de diferenciação); guess é o inicial suposto para neumann ou firstkindseries.

Valores padrão do segundo até o quinto parâmetro são:

unk: p(x), onde p é a primeira função encontrada em um integrando que é desconhecida para Maxima e x é a variável que ocorre como um argumento para a primeira ocorrência de p achada fora de uma integral no caso de equações secondkind , ou é somente outra variável ao lado da variável de integração em equações firstkind. Se uma tentativa de procurar por x falha, o utilizador será perguntado para suprir a variável independente.

tech: first

n: 1

guess: none o que fará com que neumann e firstkindseries use f(x) como uma suposição inicial.

Variável de opção: ieqnprint

Valor por omissão: true

ieqnprint governa o comportamento do resultado retornado pelo comando ieqn. Quando ieqnprint é false, as listas retornadas pela função ieqn são da forma

[solução, tecnica usada, nterms, sinalizador]

onde sinalizador é retirado se a solução for exacta.

De outra forma, isso é a palavra approximate ou incomplete correspondendo à forma inexacta ou forma aberta de solução, respectivamente. Se um método de série foi usado, nterms fornece o número de termos usados (que poderá ser menor que os n dados para ieqn se ocorrer um erro evita a geração de termos adicionais).

Função: lhs (expr)

Retorna o lado esquerdo (isto é, o primeiro argumento) da expressão expr, quando o operador de expr for um dos operadores relacionais < <= = # equal notequal >= >, um dos operadores de atribuição := ::= : ::, ou um operadro infixo definido pelo utilizador, como declarado por meio de infix.

Quando expr for um átomo ou seu operador for alguma coisa que não esses listados acima, lhs retorna expr.

Veja também rhs.

Exemplos:

(%i1) e: aa + bb = cc;
(%o1)                     bb + aa = cc
(%i2) lhs (e);
(%o2)                        bb + aa
(%i3) rhs (e);
(%o3)                          cc
(%i4) [lhs (aa < bb), lhs (aa <= bb), lhs (aa >= bb), lhs (aa > bb)];
(%o4)                   [aa, aa, aa, aa]
(%i5) [lhs (aa = bb), lhs (aa # bb), lhs (equal (aa, bb)), lhs (notequal (aa, bb))];
(%o5)                   [aa, aa, aa, aa]
(%i6) e1: '(foo(x) := 2*x);
(%o6)                     foo(x) := 2 x
(%i7) e2: '(bar(y) ::= 3*y);
(%o7)                    bar(y) ::= 3 y
(%i8) e3: '(x : y);
(%o8)                         x : y
(%i9) e4: '(x :: y);
(%o9)                        x :: y
(%i10) [lhs (e1), lhs (e2), lhs (e3), lhs (e4)];
(%o10)               [foo(x), bar(y), x, x]
(%i11) infix ("][");
(%o11)                         ][
(%i12) lhs (aa ][ bb);
(%o12)                         aa
Função: linsolve ([expr_1, ..., expr_m], [x_1, ..., x_n])

Resolve a lista de equações lineares simultâneas para a lista de variáveis. As expressões devem ser cada uma polinómios nas variáveis e podem ser equações.

Quando globalsolve é true então variáveis que foram resolvidas serão escolhidas para a solução do conjunto de equações simultâneas.

Quando backsubst é false, linsolve não realiza substituição em equações anteriores após as equações terem sido triangularizadas. Isso pode ser necessário em problemas muito grandes onde substituição em equações anteriores poderá causar a geração de expressões extremamente largas.

Quando linsolve_params for true, linsolve também gera símbolos %r usados para representar parâmetros arbitrários descritos no manual sob algsys. De outra forma, linsolve resolve um menor-determinado sistema de equações com algumas variáveis expressas em termos de outras.

Quando programmode for false, linsolve mostra a solução com expressões intermédias com rótulos (%t), e retorna a lista de rótulos.

(%i1) e1: x + z = y;
(%o1)                       z + x = y
(%i2) e2: 2*a*x - y = 2*a^2;
                                       2
(%o2)                   2 a x - y = 2 a
(%i3) e3: y - 2*z = 2;
(%o3)                      y - 2 z = 2
(%i4) [globalsolve: false, programmode: true];
(%o4)                     [false, true]
(%i5) linsolve ([e1, e2, e3], [x, y, z]);
(%o5)            [x = a + 1, y = 2 a, z = a - 1]
(%i6) [globalsolve: false, programmode: false];
(%o6)                    [false, false]
(%i7) linsolve ([e1, e2, e3], [x, y, z]);
Solution

(%t7)                       z = a - 1

(%t8)                        y = 2 a

(%t9)                       x = a + 1
(%o9)                    [%t7, %t8, %t9]
(%i9) ''%;
(%o9)            [z = a - 1, y = 2 a, x = a + 1]
(%i10) [globalsolve: true, programmode: false];
(%o10)                    [true, false]
(%i11) linsolve ([e1, e2, e3], [x, y, z]);
Solution

(%t11)                      z : a - 1

(%t12)                       y : 2 a

(%t13)                      x : a + 1
(%o13)                 [%t11, %t12, %t13]
(%i13) ''%;
(%o13)           [z : a - 1, y : 2 a, x : a + 1]
(%i14) [x, y, z];
(%o14)                 [a + 1, 2 a, a - 1]
(%i15) [globalsolve: true, programmode: true];
(%o15)                    [true, true]
(%i16) linsolve ([e1, e2, e3], '[x, y, z]);
(%o16)           [x : a + 1, y : 2 a, z : a - 1]
(%i17) [x, y, z];
(%o17)                 [a + 1, 2 a, a - 1]
Variável: linsolvewarn

Valor por omissão: true

Quando linsolvewarn é true, linsolve imprime uma mensagem "Dependent equações eliminated".

Variável: linsolve_params

Valor por omissão: true

Quando linsolve_params é true, linsolve também gera os símbolos %r usados para representar parâmetros arbitrários descritos no manual sob algsys. De outra forma, linsolve resolve um menor-determinado sistema de equações com algumas variáveis expressas em termos e outras.

Variável: multiplicities

Valor por omissão: not_set_yet

multiplicities é escolhida para uma lista de multiplicidades das soluções individuais retornadas por solve ou realroots.

Função: nroots (p, low, high)

Retorna o número de raízes reais do polinómio real de uma única variável p no intervalo semi-aberto (low, high]. Uma extremidade do intervalo podem ser minf ou inf. infinito e mais infinito.

nroots usa o método das sequuências de Sturm.

(%i1) p: x^10 - 2*x^4 + 1/2$
(%i2) nroots (p, -6, 9.1);
(%o2)                           4
Função: nthroot (p, n)

Onde p é um polinómio com coeficientes inteiros e n é um inteiro positivo retorna q, um polinómio sobre os inteiros, tal que q^n=p ou imprime uma mensagem de erro indicando que p não é uma potência n-ésima perfeita. Essa rotina é mais rápida que factor ou mesmo sqfr.

Variável: programmode

Valor por omissão: true

Quando programmode é true, solve, realroots, allroots, e linsolve retornam soluções como elementos em uma lista. (Exceto quando backsubst é escolhido para false, nesse caso programmode: false é assumido.)

Quando programmode é false, solve, etc. cria rótulos de expressões intermédias %t1, t2, etc., e atribui as soluções para eles.

Variável: realonly

Valor por omissão: false

Quando realonly é true, algsys retorna somente aquelas soluções que estão livres de %i.

Função: realroots (expr, bound)
Função: realroots (eqn, bound)
Função: realroots (expr)
Função: realroots (eqn)

Calcula aproximações racionais das raízes reais da expressão polinomial expr ou da equação polinomial eqn de uma variável, dentro de uma tolerância de bound. coeficientes de expr ou de eqn devem ser números literais; constantes símbolo tais como %pi são rejeitadas.

realroots atribui as multiplicidades das raízes que encontrar para a variável global multiplicities.

realroots constrói uma sequência de Sturm para delimitar cada raíz, e então palica a bisecção para redefinir as aproximações. Todos os coeficientes são convertidos para os equivalentes racionais antes da busca por raízes, e cálculos são realizados por meio de aritmética racional exacta. Mesmo se alguns coeficientes forem números em ponto flutuante, os resultados são racionais (a menos que forçados a números em ponto flutuante por float ou por numer flags).

Quando bound for menor que 1, todas as raízes inteiras são encontradas exactamente. Quando bound não for especificado, será assumido como sendo igual à variável globa rootsepsilon.

Quando a varável global programmode for true, realroots retorna uma lista da forma [x = x_1, x = x_2, ...]. Quando programmode for false, realroots cria rótulos de expressões intermédias %t1, %t2, ..., atribui os resultados a eles, e retorna a lista de rótulos.

Exemplos:

(%i1) realroots (-1 - x + x^5, 5e-6);
                               612003
(%o1)                     [x = ------]
                               524288
(%i2) ev (%[1], float);
(%o2)                 x = 1.167303085327148
(%i3) ev (-1 - x + x^5, %);
(%o3)                - 7.396496210176905E-6
(%i1) realroots (expand ((1 - x)^5 * (2 - x)^3 * (3 - x)), 1e-20);
(%o1)                 [x = 1, x = 2, x = 3]
(%i2) multiplicities;
(%o2)                       [5, 3, 1]
Função: rhs (expr)

Retorna o lado direito (isto é, o segundo argumento) da expressão expr, quando o operador de expr for um dos operadores relacionais < <= = # equal notequal >= >, um dos operadores de atribuição := ::= : ::, ou um operador binário infixo definido pelo utilizador, como declarado por meio de infix.

Quando expr for um étomo ou seu operadro for alguma coisa que não esses listados acima, rhs retorna 0.

Veja também lhs.

Exemplos:

(%i1) e: aa + bb = cc;
(%o1)                     bb + aa = cc
(%i2) lhs (e);
(%o2)                        bb + aa
(%i3) rhs (e);
(%o3)                          cc
(%i4) [rhs (aa < bb), rhs (aa <= bb), rhs (aa >= bb), rhs (aa > bb)];
(%o4)                   [bb, bb, bb, bb]
(%i5) [rhs (aa = bb), rhs (aa # bb), rhs (equal (aa, bb)), rhs (notequal (aa, bb))];
(%o5)                   [bb, bb, bb, bb]
(%i6) e1: '(foo(x) := 2*x);
(%o6)                     foo(x) := 2 x
(%i7) e2: '(bar(y) ::= 3*y);
(%o7)                    bar(y) ::= 3 y
(%i8) e3: '(x : y);
(%o8)                         x : y
(%i9) e4: '(x :: y);
(%o9)                        x :: y
(%i10) [rhs (e1), rhs (e2), rhs (e3), rhs (e4)];
(%o10)                  [2 x, 3 y, y, y]
(%i11) infix ("][");
(%o11)                         ][
(%i12) rhs (aa ][ bb);
(%o12)                         bb
Variável de opção: rootsconmode

Valor por omissão: true

rootsconmode governa o comportamento do comando rootscontract. Veja rootscontract para detalhes.

Função: rootscontract (expr)

Converte produtos de raízes em raízes de produtos. Por exemplo, rootscontract (sqrt(x)*y^(3/2)) retorna sqrt(x*y^3).

Quando radexpand é true e domain é real, rootscontract converte abs em sqrt, e.g., rootscontract (abs(x)*sqrt(y)) retorna sqrt(x^2*y).

Existe uma opção rootsconmode afectando rootscontract como segue:

Problem            Value of        Result of applying
                  rootsconmode        rootscontract
      
x^(1/2)*y^(3/2)      false          (x*y^3)^(1/2)
x^(1/2)*y^(1/4)      false          x^(1/2)*y^(1/4)
x^(1/2)*y^(1/4)      true           (x*y^(1/2))^(1/2)
x^(1/2)*y^(1/3)      true           x^(1/2)*y^(1/3)
x^(1/2)*y^(1/4)      all            (x^2*y)^(1/4)
x^(1/2)*y^(1/3)      all            (x^3*y^2)^(1/6)

Quando rootsconmode é false, rootscontract contrai somente como relação a expoentes de número racional cujos denominadores são os mesmos. A chave para os exemplos rootsconmode: true é simplesmente que 2 divides 4 mas não divide 3. rootsconmode: all envolve pegar o menor múltiplo comum dos denominadores dos expoentes.

rootscontract usa ratsimp em uma maneira similar a logcontract.

Exemplos:

(%i1) rootsconmode: false$
(%i2) rootscontract (x^(1/2)*y^(3/2));
                                   3
(%o2)                      sqrt(x y )
(%i3) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
                                   1/4
(%o3)                     sqrt(x) y
(%i4) rootsconmode: true$
(%i5) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
(%o5)                    sqrt(x sqrt(y))
(%i6) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/3));
                                   1/3
(%o6)                     sqrt(x) y
(%i7) rootsconmode: all$
(%i8) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/4));
                              2   1/4
(%o8)                       (x  y)
(%i9) rootscontract (x^(1/2)*y^(1/3));
                             3  2 1/6
(%o9)                      (x  y )
(%i10) rootsconmode: false$
(%i11) rootscontract (sqrt(sqrt(x) + sqrt(1 + x))
                    *sqrt(sqrt(1 + x) - sqrt(x)));
(%o11)                          1
(%i12) rootsconmode: true$
(%i13) rootscontract (sqrt(5 + sqrt(5)) - 5^(1/4)*sqrt(1 + sqrt(5)));
(%o13)                          0
Variável de opção: rootsepsilon

Valor por omissão: 1.0e-7

rootsepsilon é a tolerância que estabelece o intervalo de conficência para as raízes achadas pela função realroots.

Função: solve (expr, x)
Função: solve (expr)
Função: solve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n])

Resolve a equação algébrica expr para a variável x e retorna uma lista de equações solução em x. Se expr não é uma equação, a equação expr = 0 é assumida em seu lugar. x pode ser uma função (e.g. f(x)), ou outra expressão não atômica excepto uma adição ou um produto. x pode ser omitido se expr contém somente uma variável. expr pode ser uma expressão racional, e pode conter funções trigonométricas, exponenciais, etc.

O seguinte método é usado:

Tome E sendo a expressão e X sendo a variável. Se E é linear em X então isso é trivialmente resolvido para X. De outra forma se E é da forma A*X^N + B então o resultado é (-B/A)^1/N) vezes as N'ésimas raízes da unidade.

Se E não é linear em X então o máximo divisor comum (mdc) dos expoentes de X em E (digamos N) é dividido dentro dos expoentes e a multiplicidade das raízes é multiplicada por N. Então solve é chamada novamente sobre o resultado. Se E for dada em factores então solve é chamada sobre cada um dos factores. Finalmente solve usará as fórmulas quadráticas, cúbicas, ou quárticas onde necessário.

No caso onde E for um polinómio em alguma função de variável a ser resolvida, digamos F(X), então isso é primeiro resolvida para F(X) (chama o resultado C), então a equação F(X)=C pode ser resolvida para X fornecendo o inverso da função F que é conhecida.

breakup se false fará com que solve expresse as soluções de equações cúbicas ou quárticas como expressões simples ao invés de como feito em cima de várias subexpressões comuns que é o padrão.

multiplicities - será escolhido para uma lista de multiplicidades de soluções individuais retornadas por solve, realroots, ou allroots. Tente apropos (solve) para os comutadores que afectam solve. describe pode então ser usada sobre o nome do comutador individual se seu proprósito não é claro.

solve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n]) resolve um sistema de equações polinomiais (lineares ou não-lineares) simultâneas por chamada a linsolve ou algsys e retorna uma lista de listas solução nas variáveis. No caso de linsolve essa lista conterá uma lista simples de soluções. Isso pega duas listas como argumentos. A primeira lista representa as equações a serem resolvidas; a segunda lista é a lista de desconhecidos a ser determinada. Se o número total de variáveis nas equações é igual ao número de equações, a segunda lista-argumento pode ser omitida. Para sistemas lineares se as dadas equações não são compatíveis, a mensagem inconsistent será mostrada (veja o comutador solve_inconsistent_error ); se não existe solução única, então singular será mostrado.

Exemplos:

(%i1) solve (asin (cos (3*x))*(f(x) - 1), x);

SOLVE is using arc-trig functions to get a solution.
Some soluções will be lost.
                            %pi
(%o1)                  [x = ---, f(x) = 1]
                             6
(%i2) ev (solve (5^f(x) = 125, f(x)), solveradcan);
                                log(125)
(%o2)                   [f(x) = --------]
                                 log(5)
(%i3) [4*x^2 - y^2 = 12, x*y - x = 2];
                      2    2
(%o3)             [4 x  - y  = 12, x y - x = 2]
(%i4) solve (%, [x, y]);
(%o4) [[x = 2, y = 2], [x = .5202594388652008 %i

 - .1331240357358706, y = .0767837852378778

 - 3.608003221870287 %i], [x = - .5202594388652008 %i

 - .1331240357358706, y = 3.608003221870287 %i

 + .0767837852378778], [x = - 1.733751846381093, 

y = - .1535675710019696]]
(%i5) solve (1 + a*x + x^3, x);
                                       3
              sqrt(3) %i   1   sqrt(4 a  + 27)   1 1/3
(%o5) [x = (- ---------- - -) (--------------- - -)
                  2        2      6 sqrt(3)      2

        sqrt(3) %i   1
       (---------- - -) a
            2        2
 - --------------------------, x = 
              3
      sqrt(4 a  + 27)   1 1/3
   3 (--------------- - -)
         6 sqrt(3)      2

                          3
 sqrt(3) %i   1   sqrt(4 a  + 27)   1 1/3
(---------- - -) (--------------- - -)
     2        2      6 sqrt(3)      2

         sqrt(3) %i   1
      (- ---------- - -) a
             2        2
 - --------------------------, x = 
              3
      sqrt(4 a  + 27)   1 1/3
   3 (--------------- - -)
         6 sqrt(3)      2

         3
 sqrt(4 a  + 27)   1 1/3               a
(--------------- - -)    - --------------------------]
    6 sqrt(3)      2                  3
                              sqrt(4 a  + 27)   1 1/3
                           3 (--------------- - -)
                                 6 sqrt(3)      2
(%i6) solve (x^3 - 1);
             sqrt(3) %i - 1        sqrt(3) %i + 1
(%o6)   [x = --------------, x = - --------------, x = 1]
                   2                     2
(%i7) solve (x^6 - 1);
           sqrt(3) %i + 1      sqrt(3) %i - 1
(%o7) [x = --------------, x = --------------, x = - 1, 
                 2                   2

                     sqrt(3) %i + 1        sqrt(3) %i - 1
               x = - --------------, x = - --------------, x = 1]
                           2                     2
(%i8) ev (x^6 - 1, %[1]);
                                      6
                      (sqrt(3) %i + 1)
(%o8)                 ----------------- - 1
                             64
(%i9) expand (%);
(%o9)                           0
(%i10) x^2 - 1;
                              2
(%o10)                       x  - 1
(%i11) solve (%, x);
(%o11)                  [x = - 1, x = 1]
(%i12) ev (%th(2), %[1]);
(%o12)                          0
Variável de opção: solvedecomposes

Valor por omissão: true

Quando solvedecomposes é true, solve chama polydecomp se perguntado para resolver polinómios.

Variável de opção: solveexplicit

Valor por omissão: false

Quando solveexplicit é true, inibe solve de retornar soluções implícitas, isto é, soluções da forma F(x) = 0 onde F é alguma função.

Variável de opção: solvefactors

Valor por omissão: true

Quando solvefactors é false, solve não tenta factorizar a expressão. A escolha do false poderá ser útil em alguns casos onde a factorização não é necessária.

Variável de opção: solvenullwarn

Valor por omissão: true

Quando solvenullwarn é true, solve imprime uma mensagem de alerta se chamada com ou uma lista equação ou uma variável lista nula. Por exemplo, solve ([], []) imprimirá duas mensagens de alerta e retorna [].

Variável de opção: solveradcan

Valor por omissão: false

Quando solveradcan é true, solve chama radcan que faz solve lento mas permitirá certamente que problemas contendo exponeniais e logaritmos sejam resolvidos.

Variável de opção: solvetrigwarn

Valor por omissão: true

Quando solvetrigwarn é true, solve pode imprimir uma mensagem dizendo que está usando funções trigonométricas inversas para resolver a equação, e desse modo perdendo soluções.

Variável de opção: solve_inconsistent_error

Valor por omissão: true

Quando solve_inconsistent_error é true, solve e linsolve resultam em erro se as equações a serem resolvidas são inconsistentes.

Se false, solve e linsolve retornam uma lista vazia [] se as equações forem inconsistentes.

Exemplo:

(%i1) solve_inconsistent_error: true$
(%i2) solve ([a + b = 1, a + b = 2], [a, b]);
Inconsistent equações:  (2)
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
(%i3) solve_inconsistent_error: false$
(%i4) solve ([a + b = 1, a + b = 2], [a, b]);
(%o4)                          []

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