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22. Equações Diferenciais


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22.1 Introdução às Equações Diferenciais

Esta secção descreve as funções disponíveis no Maxima para obter a solução analítica de alguns tipos específicos de equações diferencias de primeira e segunda ordem. Para obter a solução numérica dum sistema de equações diferenciais, consulte o pacote adicional dynamics. Para obter representações gráficas no espaço de fase, consulte o pacote adicional plotdf.


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22.2 Definições para Equações Diferenciais

Função: bc2 (solução, xval1, yval1, xval2, yval2)

Resolve um problema de valores fronteira para uma equação diferencial de segunda ordem. Aqui: solução é uma solução geral para a equação, calculada por ode2; xval1 define o valor da variável independente, num primeiro ponto, na forma x = x1, e yval1 define o valor da variável dependente, no mesmo ponto, na forma y = y1. As expressões xval2 e yval2 definem os valores das mesmas variáveis, num segundo ponto, usando a mesma forma.

Veja um exemplo da sua utilização na documentação de ode2.

Função: desolve (eqn, x)
Função: desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n])

A função dsolve resolve sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares usando transformada de Laplace. Aqui as expressões eqn são equações diferenciais nas variáveis dependentes x_1, ..., x_n. A relação funcional de x_1, ..., x_n na variável independente deve ser indicada explicitamente nas variáveis e nas suas derivadas. Por exemplo, esta forma de definir as equações não seria correcta:

eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);

A forma correcta seria:

eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);

Assim, a chamada à função desolve seria:

desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);

Se as condições iniciais em x=0 forem conhecidas, poderão ser fornecidas antes de usar desolve, através de atvalue.

(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
                 d           d
(%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
                 dx          dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
                  2
                 d            d
(%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
                   2          dx
                 dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3)                           a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4)                           1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
                  x
(%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) = 

                                                x
                                   cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
             x       x      x                x
(%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]

Se desolve não pode obter uma solução, retorna false.

Função: ic1 (solução, xval, yval)

Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de primeira ordem. Aqui solução é uma solução geral para a equação, na forma dada por ode2, xval dá um valor inicial para a variável independente, na forma x = x0, e yval dá o valor inicial para a variável dependente, na forma y = y0.

Veja um exemplo da sua utilização na documentação de ode2.

Função: ic2 (solução, xval, yval, dval)

Resolve problemas de valores iniciais para equações diferenciais de segunda ordem. Aqui solução é uma solução geral para a equação, na forma dada por ode2, xval dá um valor inicial para a variável independente, na forma x = x0, yval dá o valor inicial para a variável dependente, na forma y = y0 e dval dá o valor inicial para a primeira derivada da variável dependente, em função da variável independente, na forma diff(y,x) = dy0 (diff não tem que ser precedido por apóstrofo).

Veja um exemplo da sua utilização na documentação de ode2.

Função: ode2 (eqn, dvar, ivar)

A função ode2 resolve uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ou de segunda ordem. Precisa de três argumentos: uma EDO dada por eqn, a variável dependente dvar, e a variável independente ivar. Quando conseguir, retorna uma solução para a variável dependente, na forma explícita ou implícita. %c é usado para representar a constante de integração no caso de equações de primeira ordem, e %k1 e %k2 as constantes para equações de segunda ordem. A dependência da variável dependente na variável independente não tem que ser escrita em forma explícita, como no caso de desolve, mas a variável independente deverá ser indicada sempre no terceiro argumento.

Se por alguma razão ode2 não conseguir encontrar a solução, retornará false, após talvez mostrar uma mensagem de erro. Os métodos implementados para equações diferenciais de primeira ordem, na ordem em que serão testados, são: linear, separável, exacta - talvez requerendo um factor de integração, homogénea, equação de Bernoulli, homogénea generalizada. Os tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas são: coeficientes constantes, exactas, linear homogéneas com coeficientes não-constantes que possam ser transformados para constates, equação de Euler ou equi-dimensional, equações que possam ser resolvidas pelo método de variação dos parâmetros, e equações que não dependam ou da variável independente ou da variável dependente de modo que possam ser reduzidas a duas equações lineares de primeira ordem a serem resolvidas sequêncialmente.

Durante o processo de resolução da EDO, serão dados valores a várias variáveis locais, com fins puramente informativos: método denota o método de solução usado (por exemplo, linear), intfactor denota qualquer factor integrante utilizado, odeindex denota o índice para o método de Bernoulli ou para o método homogéneo generalizado, e yp denota a solução particular no método de variação dos parâmetros.

Para resolver problemas de valores iniciais (PVI) estão disponíveis as funções ic1 e ic2e, para equações de primeira e segunda ordem, e para resolver problemas de valores fronteira (PVF) de segunda ordem pode usar-se a função bc2.

Exemplo:

(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
                      2 dy           sin(x)
(%o1)                x  -- + 3 x y = ------
                        dx             x
(%i2) ode2(%,y,x);
                             %c - cos(x)
(%o2)                    y = -----------
                                  3
                                 x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
                              cos(x) + 1
(%o3)                   y = - ----------
                                   3
                                  x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
                         2
                        d y      dy 3
(%o4)                   --- + y (--)  = 0
                          2      dx
                        dx
(%i5) ode2(%,y,x);
                      3
                     y  + 6 %k1 y
(%o5)                ------------ = x + %k2
                          6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
                             3
                          2 y  - 3 y
(%o6)                   - ---------- = x
                              6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
                         3
                        y  - 10 y       3
(%o7)                   --------- = x - -
                            6           2


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