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27. itensor


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27.1 Introdução a itensor

Maxima implementa a manipulação de tensores simbólicos d dois tipos distintos: manipulação de componentes de tensores (pacote ctensor) e manipulação de tensores indiciais (pacote itensor).

Note bem: Por favor veja a nota sobre 'nova notação de tensor' abaixo.

Manipulação de componentes de tensores significa que objectos do tipo tensor geométrico são representados como arrays ou matrizes. Operações com tensores tais com contração ou diferenciação covariante são realizadas sobre índices (que ocorrem exactamente duas vezes) repetidos com declarações do. Isto é, se executa explicitamente operações sobre as componentes apropriadas do tensor armazenadas em um array ou uma matriz.

Manipulação tensorial de índice é implementada através da representação de tensores como funções e suas covariantes, contravariantes e índices de derivação. Operações com tensores como contração ou diferenciação covariante são executadas através de manipulação dos índices em si mesmos em lugar das componentes para as quais eles correspondem.

Esses dois métodos aproximam-se do tratamento de processos diferenciais, algébricos e analíticos no contexto da geometria de Riemannian possuem várias vantagens e desvantagens as quais se revelam por si mesmas somente apesar da natureza particular e dificuldade dos problemas de utilizador. Todavia, se pode ter em mente as seguintes características das duas implementações:

As representações de tensores e de operações com tensores explicitamente em termos de seus componntes tornam o pacote ctensor fácil de usar. Especificação da métrica e o cálculo de tensores induzidos e invariantes é directo. Embora todas a capacidade de simplificação poderosa do Maxima está em manusear, uma métrica complexa com intrincada dependência funcional e de coordenadas pode facilmente conduzir a expressões cujo tamanho é excessivo e cuja estrutura está escondida. Adicionalmente, muitos cálculos envolvem expressões intermédias cujo crescimento fazem com que os programas terminem antes de serem completados. Através da experiência, um utilizador pode evitar muitas dessas dificuldade.

O motivo de caminhos especiais através dos quais tensores e operações de tensores são representados em termos de operações simbólicas sobre seus índices, expressões cujas representação de componentes podem ser não gerenciaveis da forma comum podem algumas vezes serem grandemente simplificadas através do uso das rotinas especiais para objectos simétricos em itensor. Nesse caminho a estrutura de uma expressão grande pode ser mais transparente. Por outro lado, o motivo da representação indicial especial em itensor, faz com que em alguns casos o utilizador possa encontrar dificuldade com a especificação da métrica, definição de função, e a avaliação de objectos "indexados" diferenciados.


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27.1.1 Nova notação d tensores

Até agora, o pacote itensor no Maxima tinha usado uma notação que algumas vezes conduzia a ordenação incorrecta de índices. Considere o seguinte, por exemplo:

(%i2) imetric(g);
(%o2)                                done
(%i3) ishow(g([],[j,k])*g([],[i,l])*a([i,j],[]))$
                                 i l  j k
(%t3)                           g    g    a
                                           i j
(%i4) ishow(contract(%))$
                                      k l
(%t4)                                a

O resultado está incorrecto a menos que ocorra ser a um tensor simétrico. A razão para isso é que embora itensor mantenha correctamente a ordem dentro do conjunto de índices covariantes e contravariantes, assim que um índice é incrementado ou decrementado, sua posição relativa para o outro conjunto de índices é perdida.

Para evitar esse problema, uma nova notação tem sido desenvolvida que mantém total compatibilidade com a notação existente e pode ser usada intercambiavelmente. Nessa notação, índices contravariantes são inseridos na posição apropriada na lista de índices covariantes, mas com um sinal de menos colocado antes. Funções como contract e ishow estão agora consciente dessa nova notação de índice e podem processar tensores apropriadamente.

Nessa nova notação, o exemplo anterior retorna um resultado correcto:

(%i5) ishow(g([-j,-k],[])*g([-i,-l],[])*a([i,j],[]))$
                                 i l       j k
(%t5)                           g    a    g
                                      i j
(%i6) ishow(contract(%))$
                                      l k
(%t6)                                a

Presentemente, o único código que faz uso dessa notação é a função lc2kdt. Através dessa notação, a função lc2kdt encontra com êxito resultados consistentes como a aplicação do tensor métrico para resolver os símbolos de Levi-Civita sem reordenar para índices numéricos.

Uma vez que esse código é um tipo novo, provavelmente contém erros. Enquanto esse tipo novo não tiver sido testado para garantir que ele não interrompe nada usando a "antiga" notação de tensor, existe uma considerável chance que "novos" tensores irão falhar em interoperar com certas funções ou recursos. Essas falhas serão corrigidas à medida que forem encontradas... até então, seja cuidadoso!


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27.1.2 Manipulação de tensores indiciais

o pacote de manipulação de tensores indiciais pode ser chamado através de load(itensor). Demonstações estão também disponíveis: tente demo(tensor). Em itensor um tensor é representado como um "objecto indexado" . Um "objecto indexado" é uma função de 3 grupos de índices os quais representam o covariante, o contravariante e o índice de derivação. Os índices covariantes são especificados através de uma lista com o primeiro argumento para o objecto indexado, e os índices contravariantes através de uma lista como segundo argumento. Se o objecto indexado carece de algum desses grupos de índices então a lista vazia [] é fornecida como o argumento correspondente. Dessa forma, g([a,b],[c]) representa um objecto indexado chamado g o qual tem dois índices covariantes (a,b), um índice contravariante (c) e não possui índices de derivação.

Os índices de derivação, se estiverem presente, são anexados ao final como argumentos adicionais para a função numérica representando o tensor. Eles podem ser explicitamente especificado pelo utilizador ou serem criados no processo de diferenciação com relação a alguma variável coordenada. Uma vez que diferenciação ordinária é comutativa, os índices de derivação são ordenados alfanumericamente, a menos que iframe_flag seja escolhida para true, indicando que um referencial métrico está a ser usado. Essa ordenação canónica torna possível para Maxima reconhecer que, por exemplo, t([a],[b],i,j) é o mesmo que t([a],[b],j,i). Diferenciação de um objecto indexado com relação a alguma coordenada cujos índices não aparecem como um argumento para o objecto indexado podem normalmente retornar zero. Isso é porque Maxima pode não saber que o tensor representado através do objecto indexado possívelmente depende implicitamente da respectiva coordenada. Pela modificação da função existente no Maxima, diff, em itensor, Maxima sabe assumir que todos os objectos indexados dependem de qualquer variável de diferenciação a menos que seja declarado de outra forma. Isso torna possível para a convençào de somatório ser extendida para índices derivativos. Pode ser verificado que itensor não possui a compatibilidade de incrementar índices derivativos, e então eles são sempre tratados como covariantes.

As seguintes funções estão disponíveis no pacote tensor para manipulação de objectos. Actualmente, com relação às rotinas de simplificação, é assumido que objectos indexados não possuem por padrão propriedades simétricas. Isso pode ser modificado através da escolha da variável allsym[false] para true, o que irá resultar no tratamento de todos os objectos indexados completamente simétricos em suas listas de índices covariantes e simétricos em suas listas de índices contravariantes.

O pacote itensor geralmente trata tensores como objectos opacos. Equações tensoriais são manipuladas baseadas em regras algébricas, especificamente simetria e regras de contração. Adicionalmente, o pacote itensor não entende diferenciação covariante, curvatura, e torsão. Cálculos podem ser executados relativamente a um métrica de referenciais de movimento, dependendo da escolha para a variável iframe_flag.

Uma sessão demonstrativa abaixo mostra como chamar o pacote itensor, especificando o nome da métrica, e executando alguns cálculos simples.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2)                                done
(%i3) components(g([i,j],[]),p([i,j],[])*e([],[]))$
(%i4) ishow(g([k,l],[]))$
(%t4)                               e p
                                       k l
(%i5) ishow(diff(v([i],[]),t))$
(%t5)                                  0
(%i6) depends(v,t);
(%o6)                               [v(t)]
(%i7) ishow(diff(v([i],[]),t))$
                                    d
(%t7)                               -- (v )
                                    dt   i
(%i8) ishow(idiff(v([i],[]),j))$
(%t8)                                v
                                      i,j
(%i9) ishow(extdiff(v([i],[]),j))$
(%t9)                             v    - v
                                   j,i    i,j
                                  -----------
                                       2
(%i10) ishow(liediff(v,w([i],[])))$
                               %3          %3
(%t10)                        v   w     + v   w
                                   i,%3    ,i  %3
(%i11) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
                                              %4
(%t11)                        v    - v   ichr2
                               i,j    %4      i j
(%i12) ishow(ev(%,ichr2))$
               %4 %5
(%t12) v    - g      v   (e p       + e   p     - e p       - e    p
        i,j           %4     j %5,i    ,i  j %5      i j,%5    ,%5  i j

                                                + e p       + e   p    )/2
                                                     i %5,j    ,j  i %5
(%i13) iframe_flag:true;
(%o13)                               true
(%i14) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
                                             %6
(%t14)                        v    - v   icc2
                               i,j    %6     i j
(%i15) ishow(ev(%,icc2))$
                                             %6
(%t15)                        v    - v   ifc2
                               i,j    %6     i j
(%i16) ishow(radcan(ev(%,ifc2,ifc1)))$
             %6 %8                    %6 %8
(%t16) - (ifg      v   ifb       + ifg      v   ifb       - 2 v
                    %6    j %8 i             %6    i j %8      i,j

                                                    %6 %8
                                               - ifg      v   ifb      )/2
                                                           %6    %8 i j
(%i17) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t17)                            s    - s
                                   i j    j i
(%i18) decsym(s,2,0,[sym(all)],[]);
(%o18)                               done
(%i19) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t19)                                 0
(%i20) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t20)                            a    + a
                                   j i    i j
(%i21) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o21)                               done
(%i22) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t22)                                 0

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27.2 Definições para itensor


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27.2.1 Gerenciando objectos indexados

Função: entertensor (nome)

É uma função que, através da linha de comando, permite criar um objecto indexado chamado nome com qualquer número de índices de tensores e derivativos. Ou um índice simples ou uma lista de índices (às quais podem ser nulas) são entradas aceitáveis (veja o exemplo sob covdiff).

Função: changename (antigo, novo, expr)

Irá mudar o nome de todos os objectos indexados chamados antigo para novo em expr. antigo pode ser ou um símbolo ou uma lista da forma [nome, m, n] nesse caso somente esses objectos indexados chamados nome com índice covariante m e índice contravariante n serão renomeados para novo.

Função: listoftens

Lista todos os tensores em uma expressão tensorial, incluindo seus índices. E.g.,

(%i6) ishow(a([i,j],[k])*b([u],[],v)+c([x,y],[])*d([],[])*e)$
                                         k
(%t6)                        d e c    + a    b
                                  x y    i j  u,v
(%i7) ishow(listoftens(%))$
                               k
(%t7)                        [a   , b   , c   , d]
                               i j   u,v   x y

Função: ishow (expr)

Mostra expr com os objectos indexados tendo seus índices covariantes como subscritos e índices contravariantes como sobrescritos. Os índices derivativos são mostrados como subscritos, separados dos índices covariantes por uma vírgula (veja os exemplos através desse documento).

Função: indices (expr)

Retorna uma lista de dois elementos. O primeiro é uma lista de índices livres em expr (aqueles que ocorrem somente uma vez). O segundo é uma lista de indices que ocorrem exactamente duas vezes em expr (dummy) como demonstra o seguinte exemplo.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i,j],[k,l],m,n)*b([k,o],[j,m,p],q,r))$
                                k l      j m p
(%t2)                          a        b
                                i j,m n  k o,q r
(%i3) indices(%);
(%o3)                 [[l, p, i, n, o, q, r], [k, j, m]]

Um produto de tensores contendo o mesmo índice mais que duas vezes é sintaticamente ilegal. indices tenta lidar com essas expressões de uma forma razoável; todavia, quando indices é chamada para operar sobre tal uma expressão ilegal, seu comportamento pode ser considerado indefinido.

Função: rename (expr)
Função: rename (expr, contador)

Retorna uma expressão equivalente para expr mas com índices que ocorrem exactamente duas vezes em cada termo alterado do conjunto [%1, %2,...], se o segundo argumento opcional for omitido. De outra forma, os índices que ocorrem exactamente duas vezes são indexados começando no valor de contador. Cada índice que ocorre exactamente duas vezes em um produto será diferente. Para uma adição, rename irá operar sobre cada termo na a adição zerando o contador com cada termo. Nesse caminho rename pode servir como um simplificador tensorial. Adicionalmente, os índices serão ordenados alfanumericamente (se allsym for true) com relação a índices covariantes ou contravariantes dependendo do valor de flipflag. Se flipflag for false então os índices serão renomeados conforme a ordem dos índices contravariantes. Se flipflag for true a renomeação ocorrerá conforme a ordem dos índices covariantes. Isso muitas vezes ajuda que o efeito combinado dos dois restantes sejam reduzidos a uma expressão de valor um ou mais que um por si mesma.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) allsym:true;
(%o2)                                true
(%i3) g([],[%4,%5])*g([],[%6,%7])*ichr2([%1,%4],[%3])*
ichr2([%2,%3],[u])*ichr2([%5,%6],[%1])*ichr2([%7,r],[%2])-
g([],[%4,%5])*g([],[%6,%7])*ichr2([%1,%2],[u])*
ichr2([%3,%5],[%1])*ichr2([%4,%6],[%3])*ichr2([%7,r],[%2]),noeval$
(%i4) expr:ishow(%)$

       %4 %5  %6 %7      %3         u          %1         %2
(%t4) g      g      ichr2      ichr2      ichr2      ichr2
                         %1 %4      %2 %3      %5 %6      %7 r

              %4 %5  %6 %7      u          %1         %3         %2
           - g      g      ichr2      ichr2      ichr2      ichr2
                                %1 %2      %3 %5      %4 %6      %7 r
(%i5) flipflag:true;
(%o5)                                true
(%i6) ishow(rename(expr))$
       %2 %5  %6 %7      %4         u          %1         %3
(%t6) g      g      ichr2      ichr2      ichr2      ichr2
                         %1 %2      %3 %4      %5 %6      %7 r

              %4 %5  %6 %7      u          %1         %3         %2
           - g      g      ichr2      ichr2      ichr2      ichr2
                                %1 %2      %3 %4      %5 %6      %7 r
(%i7) flipflag:false;
(%o7)                                false
(%i8) rename(%th(2));
(%o8)                                  0
(%i9) ishow(rename(expr))$
       %1 %2  %3 %4      %5         %6         %7        u
(%t9) g      g      ichr2      ichr2      ichr2     ichr2
                         %1 %6      %2 %3      %4 r      %5 %7

              %1 %2  %3 %4      %6         %5         %7        u
           - g      g      ichr2      ichr2      ichr2     ichr2
                                %1 %3      %2 %6      %4 r      %5 %7
Variável de Opção: flipflag

Valor por omissão: false. Se false então os índices irão ser renomeados conforme a ordem dos índices contravariantes, de outra forma serão ordenados conforme a ordem dos índices covariantes.

Se flipflag for false então rename forma uma lista de índices contravariantes na ordem em que forem encontrados da esquerda para a direita (se true então de índices contravariantes). O primeiro índice que ocorre exactamente duas vezes na lista é renomeado para %1, o seguinte para %2, etc. Então a ordenação ocorre após a ocorrência do rename (veja o exemplo sob rename).

Função: defcon (tensor_1)
Função: defcon (tensor_1, tensor_2, tensor_3)

Dado tensor_1 a propriedade que a contração de um produto do tensor_1 e do tensor_2 resulta em tensor_3 com os índices apropriados. Se somente um argumento, tensor_1, for dado, então a contração do produto de tensor_1 com qualquer objecto indexado tendo os índices apropriados (digamos my_tensor) irá retornar como resultado um objecto indexado com aquele nome, i.e. my_tensor, e com uma nova escolha de índices refletindo as contrações executadas. Por exemplo, se imetric:g, então defcon(g) irá implementar o incremento e decremento de índices através da contração com o tensor métrico. Mais de uma defcon pode ser dada para o mesmo objecto indexado; o último fornecido que for aplicado a uma contração particular será usado. contractions é uma lista de objectos indexados que tenham fornecido propriedades de contrações com defcon.

Função: remcon (tensor_1, ..., tensor_n)
Função: remcon (all)

Remove todas as propriedades de contração de tensor_1, ..., tensor_n). remcon(all) remove todas as propriedades de contração de todos os objectos indexados.

Função: contract (expr)

Realiza contrações tensoriais em expr a qual pode ser qualquer combinação de adições e produtos. Essa função usa a informação dada para a função defcon. Para melhores resultados, expr pode ser completamente expandida. ratexpand é o meio mais rápido para expandir produtos e expoentes de adições se não existirem variáveis nos denominadores dos termos. O comutador gcd pode ser false se cancelamentos de máximo divisor comum forem desnecessários.

Função: indexed_tensor (tensor)

Deve ser executada antes de atribuir componentes para um tensor para o qual um valor interno já existe como com ichr1, ichr2, icurvature. Veja o exemplo sob icurvature.

Função: components (tensor, expr)

Permite que se atribua um valor indicial a uma expressão expr dando os valores das componentes do tensor. Esses são automaticamente substituídos para o tensor mesmo que isso ocorra com todos os seus índices. O tensor deve ser da forma t([...],[...]) onde qualquer lista pode ser vazia. expr pode ser qualquer expressão indexada envolvendo outros objectos com os mesmos índices livres que tensor. Quando usada para atribuir valores a um tensor métrico no qual as componentes possuem índices que ocorrem exactamente duas vezes se deve ser cuidadoso para definir esses índices de forma a evitar a geração de índices que ocorrem exactamente duas vezes e que são múltiplos. a remoção dessas atribuições é dada para a função remcomps.

É importante ter em mente que components cuida somente da valência de um tensor, e que ignora completamente qualquer ordenação particular de índices. Dessa forma atribuindo componentes a, digamos, x([i,-j],[]), x([-j,i],[]), ou x([i],[j]) todas essas atribuições produzem o mesmo resultado, a saber componentes sendo atribuidas a um tensor chamado x com valência (1,1).

Componentes podem ser atribuidas a uma expressão indexada por quatro caminhos, dois dos quais envolvem o uso do comando components:

1) Como uma expressão indexada. Por exemplo:

(%i2) components(g([],[i,j]),e([],[i])*p([],[j]))$
(%i3) ishow(g([],[i,j]))$
                                      i  j
(%t3)                                e  p

2) Como uma matriz:

(%i6) components(g([i,j],[]),lg);
(%o6)                                done
(%i7) ishow(g([i,j],[]))$
(%t7)                                g
                                      i j
(%i8) g([3,3],[]);
(%o8)                                  1
(%i9) g([4,4],[]);
(%o9)                                 - 1

3) Como uma função. Pode usar uma função Maxima para especificar as componentes de um tensor baseado nesses índices. Por exemplo, os seguintes códigos atribuem kdelta a h se h tiver o mesmo número de índices covariantes e índices contravariantes e nenhum índice derivativo, e atribui kdelta a g caso as condições anteriores não sejam atendidas:

(%i4) h(l1,l2,[l3]):=if length(l1)=length(l2) and length(l3)=0
  then kdelta(l1,l2) else apply(g,append([l1,l2], l3))$
(%i5) ishow(h([i],[j]))$
                                          j
(%t5)                               kdelta
                                          i
(%i6) ishow(h([i,j],[k],l))$
                                     k
(%t6)                               g
                                     i j,l

4) Usando a compatibilidade dos modelos de coincidência do Maxima, especificamente os comandos defrule e applyb1:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) matchdeclare(l1,listp);
(%o2)                                done
(%i3) defrule(r1,m(l1,[]),(i1:idummy(),
      g([l1[1],l1[2]],[])*q([i1],[])*e([],[i1])))$

(%i4) defrule(r2,m([],l1),(i1:idummy(),
      w([],[l1[1],l1[2]])*e([i1],[])*q([],[i1])))$

(%i5) ishow(m([i,n],[])*m([],[i,m]))$
                                    i m
(%t5)                              m    m
                                         i n
(%i6) ishow(rename(applyb1(%,r1,r2)))$
                           %1  %2  %3 m
(%t6)                     e   q   w     q   e   g
                                         %1  %2  %3 n


Função: remcomps (tensor)

Desassocia todos os valores de tensor que foram atribuídos com a função components.

Função: showcomps (tensor)

Mostra atribuições de componentes de um tensor, feitas usando o comando components. Essa função pode ser particularmente útil quando uma matriz é atribuída a um tensor indicial usando components, como demonstrado através do seguinte exemplo:

(%i1) load(ctensor);
(%o1)       /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) load(itensor);
(%o2)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i3) lg:matrix([sqrt(r/(r-2*m)),0,0,0],[0,r,0,0],
                [0,0,sin(theta)*r,0],[0,0,0,sqrt((r-2*m)/r)]);
               [         r                                     ]
               [ sqrt(-------)  0       0              0       ]
               [      r - 2 m                                  ]
               [                                               ]
               [       0        r       0              0       ]
(%o3)          [                                               ]
               [       0        0  r sin(theta)        0       ]
               [                                               ]
               [                                      r - 2 m  ]
               [       0        0       0        sqrt(-------) ]
               [                                         r     ]
(%i4) components(g([i,j],[]),lg);
(%o4)                                done
(%i5) showcomps(g([i,j],[]));
                  [         r                                     ]
                  [ sqrt(-------)  0       0              0       ]
                  [      r - 2 m                                  ]
                  [                                               ]
                  [       0        r       0              0       ]
(%t5)      g    = [                                               ]
            i j   [       0        0  r sin(theta)        0       ]
                  [                                               ]
                  [                                      r - 2 m  ]
                  [       0        0       0        sqrt(-------) ]
                  [                                         r     ]
(%o5)                                false

O comando showcomps pode também mostrar componentes de um tensor de categoria maior que 2.

Função: idummy ()

Incrementos icounter e retorno como seu valor um índice da forma %n onde n é um inteiro positivo. Isso garante que índices que ocorrem exactamente duas vezes e que são necessários na formação de expressões não irão conflitar com índices que já estiverem sendo usados (veja o exemplo sob indices).

Variável de opção: idummyx

Valor por omissão: %

É o prefixo para índices que ocorrem exactamente duas vezes (veja o exemplo sob índices indices).

Variável de Opção: icounter

Valor por omissão: 1

Determina o sufixo numérico a ser usado na geração do próximo índice que ocorre exactamente duas vezes no pacote tensor. O prefixo é determinado através da opção idummy (padrão: %).

Função: kdelta (L1, L2)

é a função delta generalizada de Kronecker definida no pacote itensor com L1 a lista de índices covariantes e L2 a lista de índices contravariantes. kdelta([i],[j]) retorna o delta de Kronecker comum. O comando ev(expr,kdelta) faz com que a avaliação de uma expressão contendo kdelta([],[]) se dê para a dimensão de multiplicação.

No que conduzir a um abuso dessa notação, itensor também permite kdelta ter 2 covariantes e nenhum contravariante, ou 2 contravariantes e nenhum índice covariante, com efeito fornecendo uma compatibilidade para "matriz unitária" covariante ou contravariante. Isso é estritamente considerado um recurso de programação e não significa implicar que kdelta([i,j],[]) seja um objecto tensorial válido.

Função: kdels (L1, L2)

Delta de Kronecker simetrizado, usado em alguns cálculos. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) kdelta([1,2],[2,1]);
(%o2)                                 - 1
(%i3) kdels([1,2],[2,1]);
(%o3)                                  1
(%i4) ishow(kdelta([a,b],[c,d]))$
                             c       d         d       c
(%t4)                  kdelta  kdelta  - kdelta  kdelta
                             a       b         a       b
(%i4) ishow(kdels([a,b],[c,d]))$
                             c       d         d       c
(%t4)                  kdelta  kdelta  + kdelta  kdelta
                             a       b         a       b

Função: levi_civita (L)

é o tensor de permutação (ou de Levi-Civita) que retorna 1 se a lista L consistir de uma permutação par de inteiros, -1 se isso consistir de uma permutação ímpar, e 0 se alguns índices em L forem repetidos.

Função: lc2kdt (expr)

Simplifica expressões contendo os símbolos de Levi-Civita, convertendo esses para expressões delta de Kronecker quando possível. A principal diferença entre essa função e simplesmente avaliar os simbolos de Levi-Civita é que a avaliação directa muitas vezes resulta em expressões Kronecker contendo índices numéricos. Isso é muitas vezes indesejável como na prevenção de simplificação adicional. A função lc2kdt evita esse problema, retornando expressões que são mais facilmente simplificadas com rename ou contract.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) expr:ishow('levi_civita([],[i,j])*'levi_civita([k,l],[])*a([j],[k]))$
                                  i j  k
(%t2)                  levi_civita    a  levi_civita
                                       j            k l
(%i3) ishow(ev(expr,levi_civita))$
                                  i j  k       1 2
(%t3)                       kdelta    a  kdelta
                                  1 2  j       k l
(%i4) ishow(ev(%,kdelta))$
             i       j         j       i   k
(%t4) (kdelta  kdelta  - kdelta  kdelta ) a
             1       2         1       2   j

                               1       2         2       1
                        (kdelta  kdelta  - kdelta  kdelta )
                               k       l         k       l
(%i5) ishow(lc2kdt(expr))$
                     k       i       j    k       j       i
(%t5)               a  kdelta  kdelta  - a  kdelta  kdelta
                     j       k       l    j       k       l
(%i6) ishow(contract(expand(%)))$
                                 i           i
(%t6)                           a  - a kdelta
                                 l           l

A função lc2kdt algumas vezes faz uso de tensores métricos. Se o tensor métrico não tiver sido definido previamente com imetric, isso resulta em um erro.

(%i7) expr:ishow('levi_civita([],[i,j])*'levi_civita([],[k,l])*a([j,k],[]))$
                                 i j            k l
(%t7)                 levi_civita    levi_civita    a
                                                     j k
(%i8) ishow(lc2kdt(expr))$
Maxima encountered a Lisp error:

 Error in $IMETRIC [or a callee]:
 $IMETRIC [or a callee] requires less than two arguments.

Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i9) imetric(g);
(%o9)                                done
(%i10) ishow(lc2kdt(expr))$
         %3 i       k   %4 j       l     %3 i       l   %4 j       k
(%t10) (g     kdelta   g     kdelta   - g     kdelta   g     kdelta  ) a
                    %3             %4               %3             %4   j k
(%i11) ishow(contract(expand(%)))$
                                  l i      l i
(%t11)                           a    - a g

Função: lc_l

Regra de simplificação usada para expressões contendo símbolos não avaliados de Levi-Civita (levi_civita). Juntamente com lc_u, pode ser usada para simplificar muitas expressões mais eficientemente que a avaliação de levi_civita. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2)  el1:ishow('levi_civita([i,j,k],[])*a([],[i])*a([],[j]))$
                             i  j
(%t2)                       a  a  levi_civita
                                             i j k
(%i3) el2:ishow('levi_civita([],[i,j,k])*a([i])*a([j]))$
                                       i j k
(%t3)                       levi_civita      a  a
                                              i  j
(%i4) ishow(canform(contract(expand(applyb1(el1,lc_l,lc_u)))))$
(%t4)                                  0
(%i5) ishow(canform(contract(expand(applyb1(el2,lc_l,lc_u)))))$
(%t5)                                  0

Função: lc_u

Regra de simplificação usada para expressões contendo símbolos não avaliados de Levi-Civita (levi_civita). Juntamente com lc_u, pode ser usada para simplificar muitas expressões mais eficientemente que a avaliação de levi_civita. Para detalhes, veja lc_l.

Função: canten (expr)

Simplifica expr por renomeação (veja rename) e permutando índices que ocorrem exactamente duas vezes. rename é restrito a adições de produto de tensores nos quais nenhum índice derivativo estiver presente. Como tal isso é limitado e pode somente ser usado se canform não for capaz de realizar a simplificação requerida.

A função canten retorna um resultado matematicamente correcto somente se seu argumento for uma expressão que é completamente simétrica em seus índices. Por essa razão, canten retorna um erro se allsym não for posicionada em true.

Função: concan (expr)

Similar a canten mas também executa contração de índices.


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27.2.2 Simetrias de tensores

Variável de Opção: allsym

Valor por omissão: false. Se true então todos os objectos indexados são assumidos simétricos em todos os seus índices covariantes e contravariantes. Se false então nenhum simétrico de qualquer tipo é assumidos nesses índices. Índices derivativos são sempre tomados para serem simétricos a menos que iframe_flag seja escolhida para true.

Função: decsym (tensor, m, n, [cov_1, cov_2, ...], [contr_1, contr_2, ...])

Declara propriedades de simetria para tensor de covariante m e n índices contravariantes. As cov_i e contr_i são pseudofunções expressando relações de simetrias em meio a índices covariante e índices contravariantes respectivamente. Esses são da forma symoper(index_1, index_2,...) onde symoper é um entre sym, anti ou cyc e os index_i são inteiros indicando a posição do índice no tensor. Isso irá declarar tensor para ser simétrico, antisimétrico ou cíclico respectivamente nos index_i. symoper(all) é também forma permitida que indica todos os índices obedecem à condição de simetria. Por exemplo, dado um objecto b com 5 índices covariantes, decsym(b,5,3,[sym(1,2),anti(3,4)],[cyc(all)]) declara b simétrico no seu primeiro e no seu segundo índices e antisimétrico no seu terceiro e quarto índices covariantes, e cíclico em todos de seus índices contravariantes. Qualquer lista de declarações de simetria pode ser nula. A função que executa as simplificações é canform como o exemplo abaixo ilustra.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) expr:contract(expand(a([i1,j1,k1],[])*kdels([i,j,k],[i1,j1,k1])))$
(%i3) ishow(expr)$
(%t3)         a      + a      + a      + a      + a      + a
               k j i    k i j    j k i    j i k    i k j    i j k
(%i4) decsym(a,3,0,[sym(all)],[]);
(%o4)                                done
(%i5) ishow(canform(expr))$
(%t5)                              6 a
                                      i j k
(%i6) remsym(a,3,0);
(%o6)                                done
(%i7) decsym(a,3,0,[anti(all)],[]);
(%o7)                                done
(%i8) ishow(canform(expr))$
(%t8)                                  0
(%i9) remsym(a,3,0);
(%o9)                                done
(%i10) decsym(a,3,0,[cyc(all)],[]);
(%o10)                               done
(%i11) ishow(canform(expr))$
(%t11)                        3 a      + 3 a
                                 i k j      i j k
(%i12) dispsym(a,3,0);
(%o12)                     [[cyc, [[1, 2, 3]], []]]

Função: remsym (tensor, m, n)

Remove todas as propriedades de simetria de tensor que tem m índices covariantes e n índices contravariantes.

Função: canform (expr)

Simplifica expr através de mudança de nome de índices que ocorrem exactamente duas vezes e reordenação de todos os índices como ditados pelas condições de simetria impostas sobre eles. Se allsym for true então todos os índices são assumidos simétricos, de outra forma a informação de simetria fornecida pelas declarações decsym irão ser usadas. Os índices que ocorrem exactamente duas vezes são renomeados da mesma maneira que na função rename. Quando canform é aplicada a uma expressão larga o cálculo pode tomar um considerável montante de tempo. Esse tempo pode ser diminuído através do uso de rename sobre a expressão em primeiro lugar. Também veja o exemplo sob decsym. Nota: canform pode não estar apta a reduzir um expressão completamente para sua forma mais simples embora retorne sempre um resultado matemáticamente correcto.


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27.2.3 Cálculo de tensores indiciais

Função: diff (expr, v_1, [n_1, [v_2, n_2] ...])

É a função usual de diferenciação do Maxima que tem sido expandida nessas habilidades para itensor. diff toma a derivada de expr n_1 vezes com relação a v_1, n_2 vezes com relação a v_2 , etc. Para o pacote tensor, a função tem sido modificada de forma que os v_i possam ser inteiros de 1 até o valor da variável dim. Isso causará a conclusão da diferenciação com relação ao v_iésimo membro da lista vect_coords. Se vect_coords for associado a uma variável atômica, então aquela variável subscrita através de v_i será usada para a variável de diferenciação. Isso permite que um array de nomes de coordenadas ou nomes subscritos como x[1], x[2], ... sejam usados.

Função: idiff (expr, v_1, [n_1, [v_2, n_2] ...])

Diferenciação indicial. A menos que diff, que diferencia com relação a uma variável independente, idiff possa ser usada para diferenciar com relação a uma coordenada. Para um objecto indexado, isso equivale a anexar ao final os v_i como índices derivativos. Subsequêntemente, índices derivativos irão ser ordenados, a menos que iframe_flag seja escolhida para true.

idiff pode também ser o determinante de um tensor métrico. Dessa forma, se imetric tiver sido associada a G então idiff(determinant(g),k) irá retornar 2*determinant(g)*ichr2([%i,k],[%i]) onde o índice que ocorre exactamente duas vezes %i é escolhido apropriadamente.

Função: liediff (v, ten)

Calcula a derivada de Lie da expressão tensorial ten com relação ao campo vectorial v. ten pode ser qualquer expressão tensorial indexada; v pode ser o nome (sem índices) de um campo vectorial. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(liediff(v,a([i,j],[])*b([],[k],l)))$
       k    %2            %2          %2
(%t2) b   (v   a       + v   a     + v   a    )
       ,l       i j,%2    ,j  i %2    ,i  %2 j

                                %1  k        %1  k      %1  k
                            + (v   b      - b   v    + v   b   ) a
                                    ,%1 l    ,l  ,%1    ,l  ,%1   i j

Função: rediff (ten)

Avalia todas as ocorrências do comando idiff na expressão tensorial ten.

Função: undiff (expr)

Retorna uma expressão equivalente a expr mas com todas as derivadas de objectos indexados substituídas pela forma substantiva da função idiff. Seu argumento pode retornar aquele objecto indexado se a diferenciação for concluída. Isso é útil quando for desejado substituir um objecto indexado que sofreu diferenciação com alguma definição de função resultando em expr e então concluir a diferenciação através de digamos ev(expr, idiff).

Função: evundiff (expr)

Equivalente à execução de undiff, seguida por ev e rediff.

O ponto dessa operação é facilmente avaliar expressões que não possam ser directamente avaliadas na forma derivada. Por exemplo, o seguinte causa um erro:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) icurvature([i,j,k],[l],m);
Maxima encountered a Lisp error:

 Error in $ICURVATURE [or a callee]:
 $ICURVATURE [or a callee] requires less than three arguments.

Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.

Todavia, se icurvature é informado em sua forma substantiva, pode ser avaliado usando evundiff:

(%i3) ishow('icurvature([i,j,k],[l],m))$
                                         l
(%t3)                          icurvature
                                         i j k,m
(%i4) ishow(evundiff(%))$
             l              l         %1           l           %1
(%t4) - ichr2        - ichr2     ichr2      - ichr2       ichr2
             i k,j m        %1 j      i k,m        %1 j,m      i k

                l              l         %1           l           %1
         + ichr2        + ichr2     ichr2      + ichr2       ichr2
                i j,k m        %1 k      i j,m        %1 k,m      i j

Nota: Em versões anteriores do Maxima, formas derivadas dos símbolos de Christoffel também não podiam ser avaliadas. Isso foi corrigido actualmente, de forma que evundiff não mais é necessária para expressões como essa:

(%i5) imetric(g);
(%o5)                                done
(%i6) ishow(ichr2([i,j],[k],l))$
       k %3
      g     (g         - g         + g        )
              j %3,i l    i j,%3 l    i %3,j l
(%t6) -----------------------------------------
                          2

                         k %3
                        g     (g       - g       + g      )
                         ,l     j %3,i    i j,%3    i %3,j
                      + -----------------------------------
                                         2
Função: flush (expr, tensor_1, tensor_2, ...)

Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor_i que não tiverem índices derivativos.

Função: flushd (expr, tensor_1, tensor_2, ...)

Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor_i que tiverem índices derivativos.

Função: flushnd (expr, tensor, n)

Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências do objecto diferenciado tensor que tem n ou mais índices derivativos como demonstra o seguinte exemplo.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i],[J,r],k,r)+a([i],[j,r,s],k,r,s))$
                                J r      j r s
(%t2)                          a      + a
                                i,k r    i,k r s
(%i3) ishow(flushnd(%,a,3))$
                                     J r
(%t3)                               a
                                     i,k r
Função: coord (tensor_1, tensor_2, ...)

Dados os tensor_i a propriedade de diferenciação da coordenada que a derivada do vector contravariante cujo nome é um dos tensor_i retorna um delta de Kronecker. Por exemplo, se coord(x) tiver sido concluída então idiff(x([],[i]),j) fornece kdelta([i],[j]). coord que é uma lista de todos os objectos indexados tendo essa propriedade.

Função: remcoord (tensor_1, tensor_2, ...)
Função: remcoord (all)

Remove a propriedade de coordenada de diferenciação dos tensor_i que foram estabelecidos através da função coord. remcoord(all) remove essa propriedade de todos os objectos indexados.

Função: makebox (expr)

Mostra expr da mesma maneira que show; todavia, qualquer tensor d'Alembertiano ocorrendo em expr será indicado usando o símbolo []. Por exemplo, []p([m],[n]) representa g([],[i,j])*p([m],[n],i,j).

Função: conmetderiv (expr, tensor)

Simplifica expressões contendo derivadas comuns de ambas as formas covariantes e contravariantes do tensor métrico (a restrição corrente). Por exemplo, conmetderiv pode relatar a derivada do tensor contravariante métrico com símbolos de Christoffel como visto adiante:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(g([],[a,b],c))$
                                      a b
(%t2)                                g
                                      ,c
(%i3) ishow(conmetderiv(%,g))$
                         %1 b      a       %1 a      b
(%t3)                 - g     ichr2     - g     ichr2
                                   %1 c              %1 c
Função: simpmetderiv (expr)
Função: simpmetderiv (expr[, stop])

Simplifica expressões contendo produtos de derivadas de tensores métricos. Especificamente, simpmetderiv reconhece duas identidades:

   ab        ab           ab                 a
  g   g   + g   g     = (g   g  )   = (kdelta )   = 0
   ,d  bc        bc,d         bc ,d          c ,d

consequêntemente

   ab          ab
  g   g   = - g   g
   ,d  bc          bc,d

e

  ab          ab
 g   g     = g   g
  ,j  ab,i    ,i  ab,j

que seguem de simetrias de símbolos de Christoffel.

A função simpmetderiv toma um parâmetro opcional que, quando presente, faz com que a função pare após a primeira substituição feita com sucesso em uma expressão produto. A função simpmetderiv também faz uso da variável global flipflag que determina como aplicar uma ordenação "canonica" para os índices de produto.

Colocados juntos, essas compatibilidades podem ser usadas poderosamente para encontrar simplificações que são difíceis ou impossíveis de realizar de outra forma. Isso é demonstrado através do seguinte exemplo que explicitamente usa o recurso de simplificação parcial de simpmetderiv para obter uma expressão contractível:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2)                                done
(%i3) ishow(g([],[a,b])*g([],[b,c])*g([a,b],[],d)*g([b,c],[],e))$
                             a b  b c
(%t3)                       g    g    g      g
                                       a b,d  b c,e
(%i4) ishow(canform(%))$

errexp1 has improper indices
 -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
(%i5) ishow(simpmetderiv(%))$
                             a b  b c
(%t5)                       g    g    g      g
                                       a b,d  b c,e
(%i6) flipflag:not flipflag;
(%o6)                                true
(%i7) ishow(simpmetderiv(%th(2)))$
                               a b  b c
(%t7)                         g    g    g    g
                               ,d   ,e   a b  b c
(%i8) flipflag:not flipflag;
(%o8)                                false
(%i9) ishow(simpmetderiv(%th(2),stop))$
                               a b  b c
(%t9)                       - g    g    g      g
                                    ,e   a b,d  b c
(%i10) ishow(contract(%))$
                                    b c
(%t10)                           - g    g
                                    ,e   c b,d

Veja também weyl.dem para um exemplo que usa simpmetderiv e conmetderiv juntos para simplificar contrações do tensor de Weyl.

Função: flush1deriv (expr, tensor)

Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor que possuem exactamente um índice derivativo.


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27.2.4 Tensores em espaços curvos

Função: imetric (g)
Variável de sistema: imetric

Especifica a métrica através de atribuição à variável imetric:g adicionalmente, as propriedades de contração da métrica g são escolhidas através da execução dos comandos defcon(g),defcon(g,g,kdelta). A variável imetric (desassociada por padrão), é associada à métrica, atribuida pelo comando imetric(g).

Função: idim (n)

Escolhe as dimensões da métrica. Também inicializa as propriedades de antisimetria dos símbolos de Levi-Civita para as dimensões dadas.

Função: ichr1 ([i, j, k])

Retorna o símbolo de Christoffel de primeiro tipo via definição

       (g      + g      - g     )/2 .
         ik,j     jk,i     ij,k

Para avaliar os símbolos de Christoffel para uma métrica particular, à variável imetric deve ser atribuída um nome como no exemplo sob chr2.

Função: ichr2 ([i, j], [k])

Retorna o símbolo de Christoffel de segundo tipo definido pela relação

                       ks
   ichr2([i,j],[k]) = g    (g      + g      - g     )/2
                             is,j     js,i     ij,s
Função: icurvature ([i, j, k], [h])

Retorna o tensor da curvatura de Riemann em termos de símbolos de Christoffel de segundo tipo (ichr2). A seguinte notação é usada:

               h             h            h         %1         h
     icurvature     = - ichr2      - ichr2     ichr2    + ichr2
               i j k         i k,j        %1 j      i k        i j,k
                               h          %1
                        + ichr2      ichr2
                               %1 k       i j
Função: covdiff (expr, v_1, v_2, ...)

Retorna a derivada da covariante de expr com relação às variáveis v_i em termos de símbolos de Christoffel de segundo tipo (ichr2). Com o objectivo de avaliar esses, se pode usar ev(expr,ichr2).

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) entertensor()$
Enter tensor name: a;
Enter a list of the índices covariantes: [i,j];
Enter a list of the índices contravariantes: [k];
Enter a list of the derivative indices: [];
                                      k
(%t2)                                a
                                      i j
(%i3) ishow(covdiff(%,s))$
             k         %1     k         %1     k            k     %1
(%t3)     - a     ichr2    - a     ichr2    + a      + ichr2     a
             i %1      j s    %1 j      i s    i j,s        %1 s  i j
(%i4) imetric:g;
(%o4)            g
(%i5) ishow(ev(%th(2),ichr2))$
  %1 %4  k
 g      a     (g       - g       + g  )
  i %1   s %4,j  j s,%4    j %4,s
(%t5) - ------------------------------------------
       2
    %1 %3  k
   g   a     (g       - g    + g     )
    %1 j   s %3,i    i s,%3    i %3,s
 - ------------------------------------------
         2
    k %2  %1
   g     a    (g        - g    + g      )
   i j   s %2,%1    %1 s,%2    %1 %2,s   k
 + ------------------------------------------- + a
   2     i j,s
(%i6) 
Função: lorentz_gauge (expr)

Impõe a condição de Lorentz através da substituição de 0 para todos os objectos indexados em expr que possui um índice de derivada idêntico ao índice contravariante.

Função: igeodesic_coords (expr, nome)

Faz com que símbolos de Christoffel não diferenciados e a primeira derivada do tensor métrico tendam para zero em expr. O nome na função igeodesic_coords refere-se à métrica nome (se isso aparecer em expr) enquando os coeficientes de conecção devem ser chamados com os nomes ichr1 e/ou ichr2. O seguinte exemplo demonstra a verificação da identidade cíclica satisfeita através do tensor da curvatura de Riemann usando a função igeodesic_coords.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(icurvature([r,s,t],[u]))$
             u            u         %1         u            u         %1
(%t2) - ichr2      - ichr2     ichr2    + ichr2      + ichr2     ichr2
             r t,s        %1 s      r t        r s,t        %1 t      r s
(%i3) ishow(igeodesic_coords(%,ichr2))$
                                 u            u
(%t3)                       ichr2      - ichr2
                                 r s,t        r t,s
(%i4) ishow(igeodesic_coords(icurvature([r,s,t],[u]),ichr2)+
            igeodesic_coords(icurvature([s,t,r],[u]),ichr2)+
            igeodesic_coords(icurvature([t,r,s],[u]),ichr2))$
             u            u            u            u            u
(%t4) - ichr2      + ichr2      + ichr2      - ichr2      - ichr2
             t s,r        t r,s        s t,r        s r,t        r t,s

                                                                  u
                                                           + ichr2
                                                                  r s,t
(%i5) canform(%);
(%o5)                                  0


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27.2.5 Referenciais móveis

Maxima actualmente tem a habilidade de executar cálculos usando referenciais móveis. Essas podem ser referenciais ortonormais (tetrads, vielbeins) ou um referencial arbitrária.

Para usar referenciais, primeiro escolha iframe_flag para true. Isso faz com que os símbolos de Christoffel, ichr1 e ichr2, sejam substituídos pelos referenciais mais gerais de coeficientes de conecção icc1 e icc2 em cálculos. Especialmente, o comportamento de covdiff e icurvature são alterados.

O referencial é definido através de dois tensores: o campo de referencial inversa (ifri), a base tetrad dual), e a métrica do referencial ifg. A métrica do referencial é a matriz identidade para referenciais ortonormais, ou a métrica de Lorentz para referenciais ortonormais no espaço-tempo de Minkowski. O campo de referencial inverso define a base do referencial (vectores unitários). Propriedades de contração são definidas para o campo de referencial e para a métrica do referencial.

Quando iframe_flag for true, muitas expressões itensor usam a métrica do referencial ifg em lugar da métrica definida através de imetric para o decremento e para o incremento de índices.

IMPORTANTE: Escolhendo a variável iframe_flag para true NÃO remove a definição das propriedades de contração de uma métrica definida através de uma chamada a defcon ou imetric. Se um campo de referencial for usado, ele é melhor para definir a métrica através de atribuição desse nome para a variável imetric e NÃO invoque a função imetric.

Maxima usa esses dois tensores para definir os coeficientes de referencial (ifc1 e ifc2) cuja forma parte dos coeficientes de conecção (icc1 e icc2), como demonstra o seguinte exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) iframe_flag:true;
(%o2)                                true
(%i3) ishow(covdiff(v([],[i]),j))$
                               i        i     %1
(%t3)                         v   + icc2     v
                               ,j       %1 j
(%i4) ishow(ev(%,icc2))$
                        %1      i           i        i
(%t4)                  v   (ifc2     + ichr2    ) + v
                                %1 j        %1 j     ,j
(%i5) ishow(ev(%,ifc2))$
            %1    i %2
           v   ifg     (ifb        - ifb        + ifb       )
                           j %2 %1      %2 %1 j      %1 j %2     i
(%t5)      -------------------------------------------------- + v
                                   2                             ,j
(%i6) ishow(ifb([a,b,c]))$
                       %5    %4
(%t6)               ifr   ifr   (ifri        - ifri       )
                       a     b       c %4,%5       c %5,%4

Um método alternativo é usado para calcular o suporte do referencial (ifb) se o sinalizador iframe_bracket_form é escolhido para false:

(%i8) block([iframe_bracket_form:false],ishow(ifb([a,b,c])))$
                       %7    %6        %6      %7
(%t8)              (ifr   ifr     - ifr     ifr  ) ifri
                       a     b,%7      a,%7    b       c %6

Função: iframes ()

Uma vez que nessa versão do Maxima, identidades de contração para ifr e ifri são sempre definidas, como é o suporte do referencial (ifb), essa função não faz nada.

Variável: ifb

O suporte do referencial. A contribuição da métrica do referencial para os coeficientes de conecção é expressa usando o suporte do referencial:

          - ifb      + ifb      + ifb
               c a b      b c a      a b c
ifc1    = --------------------------------
    abc                  2

O suporte do referencial por si mesmo é definido em termos de campo de referencial e métrica do referencial. Dois métodos alternativos de cálculo são usados dependendo do valor de frame_bracket_form. Se true (o padrão) ou se o sinalizador itorsion_flag for true:

          d      e                                      f
ifb =  ifr    ifr   (ifri      - ifri      - ifri    itr   )
   abc    b      c       a d,e       a e,d       a f    d e


Otherwise:

             e      d        d      e
ifb    = (ifr    ifr    - ifr    ifr   ) ifri
   abc       b      c,e      b,e    c        a d

Variável: icc1

Coeficientes de conecção de primeiro tipo. Em itensor, definido como

icc1    = ichr1    - ikt1    - inmc1
    abc        abc       abc        abc

Nessa expressão, se iframe_flag for true, o símbolo de Christoffel ichr1 é substituído com o coeficiente de conecção do referencial ifc1. Se itorsion_flag for false, ikt1 será omitido. ikt1 é também omitido se uma base de referencial for usada, como a torsão está já calculada como parte do suporte do referencial. Ultimamente, como inonmet_flag é false, inmc1 não estará presente.

Variável: icc2

Coeficientes de conecção de segundo tipo. Em itensor, definido como

    c         c        c         c
icc2   = ichr2   - ikt2   - inmc2
    ab        ab       ab        ab

Nessa expressão, se iframe_flag for true, o símbolo de Christoffel ichr2 é substituído com o coeficiente de conecção ifc2. Se itorsion_flag for false, ikt2 será omitido. ikt2 também será omitido se uma base de referencial for usada, uma vez que a torsão já está calculada como parte do suporte do referencial. Ultimamente, como inonmet_flag é false, inmc2 não estará presente.

Variável: ifc1

Coeficiente de referencial de primeiro tipo (também conhecido como coeficientes de rotação de Ricci). Esse tensor representa a contribuição da métrica do referencial para o coeficiente de conecção de primeiro tipo. Definido como:

          - ifb      + ifb      + ifb
               c a b      b c a      a b c
ifc1    = --------------------------------
    abc                   2


Variável: ifc2

Coeficiente de referencial de primeiro tipo. Esse tensor representa a contribuição da métrica do referencial para o coeficiente de conecção de primeiro tipo. Definido como uma permutação de suporte de referencial (ifb) com os índices apropriados incrementados e decrementados como necessário:

    c       cd
ifc2   = ifg   ifc1
    ab             abd

Variável: ifr

O campo do referencial. Contrai (ifri) para e com a forma do campo inverso do referencial para formar a métrica do referencial (ifg).

Variável: ifri

O campo inverso do referencial. Especifica a base do referencial (vectores base duais). Juntamente com a métrica do referencial, forma a base de todos os cálculos baseados em referenciais.

Variável: ifg

A métrica do referencial. O valor padrão é kdelta, mas pode ser mudada usando components.

Variável: ifgi

O inverso da métrica do referencial. Contrai com a métrica do referencial (ifg) para kdelta.

Variável de Opção: iframe_bracket_form

Valor por omissão: true

Especifica como o suporte do referencial (ifb) é calculado.


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27.2.6 Torsão e não metricidade

Maxima pode trabalhar com torsão e não metricidade. Quando o sinalizador itorsion_flag for escolhido para true, a contribuição de torsão é adicionada aos coeficientes de conecção. Similarmente, quando o sinalizador inonmet_flag for true, componentes de não metricidades são incluídos.

Variável: inm

O vector de não metricidade. Conforme a não metricidade está definida através da derivada covariante do tensor métrico. Normalmente zero, o tensor da métrica derivada covariante irá avaliar para o seguinte quando inonmet_flag for escolhido para true:

g     =- g  inm
 ij;k     ij  k

Variável: inmc1

Permutação covariante de componentes do vector de não metricidade. Definida como

           g   inm  - inm  g   - g   inm
            ab    c      a  bc    ac    b
inmc1    = ------------------------------
     abc                 2

(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)

Variável: inmc2

Permutação covariante de componentes do vector de não metricidade. Usada nos coeficicientes de conecção se inonmet_flag for true. Definida como:

                      c         c         cd
          -inm  kdelta  - kdelta  inm  + g   inm  g
     c        a       b         a    b          d  ab
inmc2   = -------------------------------------------
     ab                        2

(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)

Variável: ikt1

Permutação covariante do tensor de torsão (também conhecido como contorsão). Definido como:

                  d           d       d
          -g   itr  - g    itr   - itr   g
            ad    cb    bd    ca      ab  cd
ikt1    = ----------------------------------
    abc                   2

(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)

Variável: ikt2

Permutação contravariante do tensor de torsão (também conhecida como contorsão). Definida como:

    c     cd
ikt2   = g   ikt1
    ab           abd

(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)

Variável: itr

O tensor de torsão. Para uma métrica com torsão, diferenciação covariante repetida sobre uma funçào escalar não irá comutar,como demonstrado através do seguinte exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric:g;
(%o2)                                  g
(%i3) covdiff(covdiff(f([],[]),i),j)-covdiff(covdiff(f([],[]),j),i)$
(%i4) ishow(%)$
                                   %4              %2
(%t4)                    f    ichr2    - f    ichr2
                          ,%4      j i    ,%2      i j
(%i5) canform(%);
(%o5)                                  0
(%i6) itorsion_flag:true;
(%o6)                                true
(%i7) covdiff(covdiff(f([],[]),i),j)-covdiff(covdiff(f([],[]),j),i)$
(%i8) ishow(%)$
                           %8             %6
(%t8)             f    icc2    - f    icc2    - f     + f
                   ,%8     j i    ,%6     i j    ,j i    ,i j
(%i9) ishow(canform(%))$
                                   %1             %1
(%t9)                     f    icc2    - f    icc2
                           ,%1     j i    ,%1     i j
(%i10) ishow(canform(ev(%,icc2)))$
                                   %1             %1
(%t10)                    f    ikt2    - f    ikt2
                           ,%1     i j    ,%1     j i
(%i11) ishow(canform(ev(%,ikt2)))$
                      %2 %1                    %2 %1
(%t11)          f    g      ikt1       - f    g      ikt1
                 ,%2            i j %1    ,%2            j i %1
(%i12) ishow(factor(canform(rename(expand(ev(%,ikt1))))))$
                           %3 %2            %1       %1
                     f    g      g      (itr    - itr   )
                      ,%3         %2 %1     j i      i j
(%t12)               ------------------------------------
                                      2
(%i13) decsym(itr,2,1,[anti(all)],[]);
(%o13)                               done
(%i14) defcon(g,g,kdelta);
(%o14)                               done
(%i15) subst(g,nounify(g),%th(3))$
(%i16) ishow(canform(contract(%)))$
                                           %1
(%t16)                           - f    itr
                                    ,%1    i j


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27.2.7 Álgebra externa (como em produto externo)

O pacote itensor pode executar operações sobre campos tensores covariantes totalmente antisimétricos. Um campo tensor totalmente antisimétrico de classe (0,L) corresponde a uma forma diferencial L. Sobre esses objectos, uma operação de multiplicação funciona como um produto externo, ou produto cunha, é definido.

Desafortunadamente, nem todos os autores concordam sobre a definição de produto cunha. Alguns autores preferem uma definição que corresponde à noção de antisimetrização: nessas palavras, o produto cunha de dois campos vectoriais, por exemplo, pode ser definido como

            a a  - a a
             i j    j i
 a  /\ a  = -----------
  i     j        2

Mais geralmente, o produto de uma forma p e uma forma q pode ser definido como

                       1     k1..kp l1..lq
A       /\ B       = ------ D              A       B
 i1..ip     j1..jq   (p+q)!  i1..ip j1..jq  k1..kp  l1..lq

onde D simboliza o delta de Kronecker.

Outros autores, todavia, preferem uma definição "geométrica" que corresponde à notação de elemento volume:

a  /\ a  = a a  - a a
 i     j    i j    j i

e, no caso geral

                       1    k1..kp l1..lq
A       /\ B       = ----- D              A       B
 i1..ip     j1..jq   p! q!  i1..ip j1..jq  k1..kp  l1..lq

Uma vez que itensor é um pacote de algebra de tensores, a primeira dessas duas definições aparenta ser a mais natural por si mesma. Muitas aplicações, todavia, usam a segunda definição. Para resolver esse dilema, um sinalizador tem sido implementado que controla o comportamento do produto cunha: se igeowedge_flag for false (o padrão), a primeira, definição "tensorial" é usada, de outra forma a segunda, definição "geométrica" irá ser aplicada.

Operador: ~

O operador do produto cunha é definido como sendo o acento til ~. O til é um operador binário. Seus argumentos podem ser expressões envolvendo escalares, tensores covariantes de categoria 1, ou tensores covariantes de categoria l que tiverem sido declarados antisimétricos em todos os índices covariantes.

O comportamento do operador do produto cunha é controlado através do sinalizador igeowedge_flag, como no seguinte exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i])~b([j]))$
                                 a  b  - b  a
                                  i  j    i  j
(%t2)                            -------------
                                       2
(%i3) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o3)                                done
(%i4) ishow(a([i,j])~b([k]))$
                          a    b  + b  a    - a    b
                           i j  k    i  j k    i k  j
(%t4)                     ---------------------------
                                       3
(%i5) igeowedge_flag:true;
(%o5)                                true
(%i6) ishow(a([i])~b([j]))$
(%t6)                            a  b  - b  a
                                  i  j    i  j
(%i7) ishow(a([i,j])~b([k]))$
(%t7)                     a    b  + b  a    - a    b
                           i j  k    i  j k    i k  j
Operador: |

A barra vertical | denota a operação binária "contração com um vector". Quando um tensor covariante totalmente antisimétrico é contraído com um vector contravariante, o resultado é o mesmo independente de qual índice foi usado para a contração. Dessa forma, é possível definir a operação de contração de uma forma livre de índices.

No pacote itensor, contração com um vector é sempre realizada com relação ao primeiro índice na ordem literal de ordenação. Isso garante uma melhor simplificação de expressões envolvendo o operador |. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o2)                                done
(%i3) ishow(a([i,j],[])|v)$
                                    %1
(%t3)                              v   a
                                        %1 j
(%i4) ishow(a([j,i],[])|v)$
                                     %1
(%t4)                             - v   a
                                         %1 j

Note que isso é essencial que os tensores usado como o operador | seja declarado totalmente antisimétrico em seus índices covariantes. De outra forma, os resultados serão incorrectos.

Função: extdiff (expr, i)

Calcula a derivada externa de expr com relação ao índice i. A derivada externa é formalmente definida como o produto cunha do operador de derivada parcial e uma forma diferencial. Como tal, essa operação é também controlada através da escolha de igeowedge_flag. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(extdiff(v([i]),j))$
                                  v    - v
                                   j,i    i,j
(%t2)                             -----------
                                       2
(%i3) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o3)                                done
(%i4) ishow(extdiff(a([i,j]),k))$
                           a      - a      + a
                            j k,i    i k,j    i j,k
(%t4)                      ------------------------
                                      3
(%i5) igeowedge_flag:true;
(%o5)                                true
(%i6) ishow(extdiff(v([i]),j))$
(%t6)                             v    - v
                                   j,i    i,j
(%i7) ishow(extdiff(a([i,j]),k))$
(%t7)                      a      - a      + a
                            j k,i    i k,j    i j,k
Função: hodge (expr)

Calcula o Hodge dual de expr. Por exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2)                            done
(%i3) idim(4);
(%o3)                            done
(%i4) icounter:100;
(%o4)                             100
(%i5) decsym(A,3,0,[anti(all)],[])$

(%i6) ishow(A([i,j,k],[]))$
(%t6)                           A
                                 i j k
(%i7) ishow(canform(hodge(%)))$
                          %1 %2 %3 %4
               levi_civita            g        A
                                       %1 %102  %2 %3 %4
(%t7)          -----------------------------------------
                                   6
(%i8) ishow(canform(hodge(%)))$
                 %1 %2 %3 %8            %4 %5 %6 %7
(%t8) levi_civita            levi_civita            g        g
                                                     %1 %106  %2 %107
                                            g        g      A        /6
                                             %3 %108  %4 %8  %5 %6 %7
(%i9) lc2kdt(%)$

(%i10) %,kdelta$

(%i11) ishow(canform(contract(expand(%))))$
(%t11)                     - A
                              %106 %107 %108

Variável de Opção: igeowedge_flag

Valor por omissão: false

Controla o comportamento de produto cunha e derivada externa. Quando for esconhida para false (o padrão), a noção de formas diferenciais irá corresponder àquela de um campo tensor covariante totalmente antisimétrico. Quando escolhida para true, formas diferenciais irão concordar com a noção do elemento volume.


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27.2.8 Exportando expressões TeX

O pacote itensor fornece suporte limitado à exportação de expressões de tensores para o TeX. Uma vez que expressões itensor aparecem como chamada a funções, o comando regular tex do Maxima não produzirá a saída esperada. Pode tentar no seu lugar o comando tentex, o qual tenta traduzir expressões de tensores dentro de objectos TeX indexados apropriadamente.

Função: tentex (expr)

Para usar a função tentex, deve primeiro chamar tentex, como no seguinte exemplo:

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) load(tentex);
(%o2)       /share/tensor/tentex.lisp
(%i3) idummyx:m;
(%o3)                                  m
(%i4) ishow(icurvature([j,k,l],[i]))$
            m1       i           m1       i           i            i
(%t4)  ichr2    ichr2     - ichr2    ichr2     - ichr2      + ichr2
            j k      m1 l        j l      m1 k        j l,k        j k,l
(%i5) tentex(%)$
$$\Gamma_{j\,k}^{m_1}\,\Gamma_{l\,m_1}^{i}-\Gamma_{j\,l}^{m_1}\,
 \Gamma_{k\,m_1}^{i}-\Gamma_{j\,l,k}^{i}+\Gamma_{j\,k,l}^{i}$$

Note o uso da declaração idummyx, para evitar o aparecimento do sinal de porcentagem na expressão TeX, o qual pode induzir a erros de compilação.

Note Bem: Essa vesão da função tentex é um tanto quanto experimental.


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27.2.9 Interagindo com o pacote ctensor

O pacote itensor possui a habilidade de gerar código Maxima que pode então ser executado no contexto do pacote ctensor. A função que executa essa tarefa é ic_convert.

Função: ic_convert (eqn)

Converte a equação eqn na sintaxe itensor para uma declaração de atribuição ctensor. Adições implícitas sobre índices que ocorrem exactamente duas vezes são tornadas explícitas enquanto objectos indexados são transformados em arrays (os arrays subscritos estão na ordem de covariância seguidos de índices contravariantes dos objectos indexados). A derivada de um objecto indexado será substituída pela forma substantiva de diff tomada com relação a ct_coords subscrita pelo índice de derivação. Os símbolos de Christoffel ichr1 e ichr2 irão ser traduzidos para lcs e mcs, respectivamente e se metricconvert for true então todas as ocorrências da métrica com dois índices covariantes (ou contravariantes) irão ser renomeadas para lg (ou ug). Adicionalmente, ciclos do irão ser introduzidos adicionando sobre todos os índices livres de forma que a declaração de atribuição transformada pode ser avaliada através de apenas fazendo ev. Os seguintes exemplos demonstam os recursos dessa função.

(%i1) load(itensor);
(%o1)      /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) eqn:ishow(t([i,j],[k])=f([],[])*g([l,m],[])*a([],[m],j)*b([i],[l,k]))$
                             k        m   l k
(%t2)                       t    = f a   b    g
                             i j      ,j  i    l m
(%i3) ic_convert(eqn);
(%o3) for i thru dim do (for j thru dim 

do (for k thru dim do t        : f sum(sum(diff(a , ct_coords ) b
                       i, j, k                   m           j   i, l, k

 g    , l, 1, dim), m, 1, dim)))
  l, m
(%i4) imetric(g);
(%o4)                                done
(%i5) metricconvert:true;
(%o5)                                true
(%i6) ic_convert(eqn);
(%o6) for i thru dim do (for j thru dim 

do (for k thru dim do t        : f sum(sum(diff(a , ct_coords ) b
                       i, j, k                   m           j   i, l, k

 lg    , l, 1, dim), m, 1, dim)))
   l, m

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27.2.10 Palavras reservadas

As palavras seguintes do Maxima são usadas internamente pelo pacote itensor e não podem ser redefinidas:

  Keyword    Comments
  ------------------------------------------
  indices2() versão interna de indices()
  conti      Lista de índices contravariantes
  covi       Lista de índices covariantes de um objecto indexado
  deri       Lista de índices de derivada de um objecto indexado
  name       Retorna o nome de um objecto indexado
  concan
  irpmon
  lc0
  _lc2kdt0
  _lcprod
  _extlc

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