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29. Pacote atensor


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29.1 Introdução ao Pacote atensor

atensor é um pacote de manipulção de tensores algébricos. Para usar atensor, digite load(atensor), seguido por uma chamada à função init_atensor.

A essência de atensor é um conjunto de regras de simplificação para o operador de produto (ponto) não comutativo ("."). atensor reconhece muitos tipos de álgebra; as regras de simplificação correspondentes são activadas quando a função init_atensor é chamada.

A compatibilidade de atensor pode ser demonstrada pela definição da álgebra de quaterniões como uma álgebra de Clifford Cl(0,2) com dois vectores fundamentais. As três unidades quaterniónicas imaginárias fundamentais são então os dois vectores base e seu produto, i.e.:

    i = v     j = v     k = v  .  v
         1         2         1    2

Embora o pacote atensor tenha uma definição interna para a álgebra dos quaterniões, isso não foi usado nesse exemplo, no qual nós nos esforçamos para construir a tabela de multiplicação dos quaterniões como uma matriz:

(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  .  v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
                   [    1        v         v      v  .  v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  .  v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  .  v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  .  v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]

atensor reconhece como bases vectoriais símbolos indexados, onde o símbolo é aquele armazenado em asymbol e o iíndice está entre 1 e adim. Para símbolos indexado, e somente para símbolos indexados, as formas bilineares sf, af, e av são avaliadas. A avaliação substitui os valores de aform[i,j] em lugar de fun(v[i],v[j]) onde v representa o valor de asymbol e fun é ainda af ou sf; ou, isso substitui v[aform[i,j]] em lugar de av(v[i],v[j]).

Desnecessário dizer, as funções sf, af e av podem ser redefinidas.

Quando o pacote atensor é chamado, os seguintes sinalizadores são configurados:

dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;

Se quiser experimentar com uma álgebra não associativa, pode também considerar a configuração de dotassoc para false. Nesse caso, todavia, atensimp não stará sempre habilitado a obter as simplificações desejadas.


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29.2 Definições para o Pacote atensor

Função: init_atensor (alg_type, opt_dims)
Função: init_atensor (alg_type)

Inicializa o pacote atensor com o tipo especificado de álgebra. alg_type pode ser um dos seguintes:

universal: A álgebra universal tendo regras não comutativas.

grassmann: A álgebra de Grassman é definida pela relação de comutação u.v+v.u=0.

clifford: A álgebra de Clifford é definida pela relação de comutação u.v+v.u=-2*sf(u,v) onde sf é a função valor-escalar simétrico. Para essa álgebra, opt_dims pode ser acima de três inteiros não negativos, representando o número de dimensões positivas, dimensões degeneradas, e dimensões negativas da álgebra, respectivamente. Se quaisquer valores opt_dims são fornecidos, atensor irá configurar os valores de adim e aform apropriadamente. Caso contrário, adim irá por padrão para 0 e aform não será definida.

symmetric: A álgebra simétrica é definida pela relação de comutação u.v-v.u=0.

symplectic: A álgebra simplética é definida pela relação de comutação u.v-v.u=2*af(u,v) onde af é uma função valor-escalar antisimétrica. Para a álgebra simplética, opt_dims pode mais de dois inteiros não negativos, representando a dimensão não degenerada e e a dimensão degenerada, respectivamente. Se quaisquer valores opt_dims são fornecidos, atensor irá configurar os valores de adim e aform apropriadamente. Caso contrário, adim irá por padrão para 0 e aform não será definida.

lie_envelop: O invólucro da álgebra de Lie é definido pela relação de comutação u.v-v.u=2*av(u,v) onde av é uma função antisimétrica.

A função init_atensor também reconhece muitos tipos pré-definidos de álgebra:

complex implementa a álgebra de números complexos como a álgebra de Clifford Cl(0,1). A chamada init_atensor(complex) é equivalente a init_atensor(clifford,0,0,1).

quaternion implementa a álgebra de quaterniões. A chamada init_atensor(quaternion) é equivalente a init_atensor(clifford,0,0,2).

pauli implementa a álgebra de spinores de Pauli como a álgebra de Clifford Cl(3,0). Uma chamada a init_atensor(pauli) é equivalente a init_atensor(clifford,3).

dirac implementa a álgebra de spinores de Dirac como a álgebra de Clifford Cl(3,1). Uma chamada a init_atensor(dirac) é equivalente a init_atensor(clifford,3,0,1).

Função: atensimp (expr)

Simplifica a expressão algébrica de tensores expr conforme as regras configuradas por uma chamada a init_atensor. Simplificações incluem aplicação recursiva de relações comutativas e resoluções de chamadas a sf, af, e av onde for aplicável. Uma salvaguarda é usada para garantir que a função sempre termine, mesmo para expressões complexas.

Função: alg_type

O tipo de álgebra. Valores válidos sáo universal, grassmann, clifford, symmetric, symplectic e lie_envelop.

Variável: adim

A dimensionalidade da álgebra. atensor usa o valor de adim para determinar se um objecto indexado é uma base vectorial válida. Veja abasep.

Variável: aform

Valor por omissão para as formas bilineares sf, af, e av. O padrão é a matriz identidade ident(3).

Variável: asymbol

O símbolo para bases vectoriais.

Função: sf (u, v)

É uma função escalar simétrica que é usada em relações comutativas. A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vectoriais usando abasep e se esse for o caso, substitui o valor correspondente da matriz aform.

Função: af (u, v)

É uma função escalar antisimétrica que é usada em relações comutativas. A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vectoriais usando abasep e se esse for o caso, substitui o valor correspondente da matriz aform.

Função: av (u, v)

É uma função antisimétrica que é usada em relações comutativas. A implementação padrão verifica se ambos os argumentos são bases vectoriais usando abasep e se esse for o caso, substitui o valor correspondente da matriz aform.

Por exemplo:

(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2)                                  3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
                               [  0    3   - 2 ]
                               [               ]
(%o3)                          [ - 3   0    1  ]
                               [               ]
                               [  2   - 1   0  ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4)                                  x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5)                                 x
                                       3
Função: abasep (v)

Verifica se esse argumento é uma base vectorial atensor .

E será, se ele for um símbolo indexado, com o símbolo sendo o mesmo que o valor de asymbol, e o índice tiver o mesmo valor numérico entre 1 e adim.


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