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32. Simetrias


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32.1 Definições para Simetrias


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32.1.1 Mudando a base do sistema de numeração

Função: comp2pui (n, L)

implementa a passagem das funções simétricas completamente simétricas fornecidas na lista L para as funções simétricas elementares de 0 a n. Se a lista L contiver menos que n+1 elementos, será completada com valores formais do tipo h1, h2, etc. Se o primeiro elemento da lista L existir, ele é interpretado como sendo o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho é escolhido para n.

(%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                        2                    2
(%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]
Função: ele2pui (m, L)

vai de funções simétricas elementares para as funções completas. Similar a comp2ele e comp2pui.

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: ele2comp (m, L)

Vai de funções simétricas elementares para funções completas. Similar a comp2ele e a comp2pui.

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: elem (ele, sym, lvar)

ddecompões o polinómio simétrico sym, nas variáveis contidas na lista lvar, em termos de funções elementares simétricas fornecidas na lista ele. Se o primeiro elemento de ele for fornecido, esse primeiro elemento será o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho será o grau do polinómio sym. Se valores forem omitidos na lista ele, valores formais do tipo e1, e2, etc. serão adicionados. O polinómio sym pode ser fornecido de três diferentes formas: contraída (elem pode então ser 1, seu valor padrão), particionada (elem pode ser 3), ou extendida (i.e. o polinómio completo, e elem pode então ser 2). A função pui é usada então da mesma forma.

sobre um alfabeto de tamanho 3 com e1, a primeira funçào elementar simétrica, com valor 7, o polinómio simétrico em 3 variáveis cuja forma contraída (que aqui depende de duas de suas variáveis) é x^4-2*x*y decomposto como segue em funções elementares simétricas:

(%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
(%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                         + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
(%i2) ratsimp (%);
                              2
(%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Function: mon2schur (L)

a lsita L representa a função de Schur S_L: temos L = [i_1, i_2, ..., i_q], com i_1 <= i_2 <= ... <= i_q. A funçõ de Schur S_[i_1, i_2, ..., i_q] é a menor da matriz infinita h_[i-j], i <= 1, j <= 1, consistindo das q primeiras linhas e as colunas 1 + i_1, 2 + i_2, ..., q + i_q.

Essa função de Schur pode ser escrita em termos de monômios usando treinat e kostka. A forma retornada é um polinómio simétrico na representação contraída nas variáveis x_1,x_2,\ldots.

(%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
(%o1)                       x1 x2 x3
(%i2) mon2schur ([3]);
                                  2        3
(%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
(%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                      2
(%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2

o qual significa que para 3 variáveis fornece:

   2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
    + x2^2 x3 + x3^2 x2

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: multi_elem (l_elem, multi_pc, l_var)

decompões um polinómio multi-simétrico na forma multi-contraída multi_pc nos grupos de variáveis contidas na lista de listas l_var en termos de funções elementares simétricas contidas em l_elem.

(%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
(%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
(%i2) ratsimp (%);
                         2                       3
(%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: multi_pui

é para a função pui o que a função multi_elem é para a função elem.

(%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                            3
                                3 p1 p2   p1
(%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                   2       2
Função: pui (L, sym, lvar)

decompõe o polinómio simétrico sym, nas variáveis na lista lvar, em termos de funções exponenciais na lista L. Se o primeiro elemento de L for fornecido, esse primeiro elemento será o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho será o grau do polinómio sym. Se valores forem omitidos na lista L, valores formais do tipo p1, p2 , etc. serão adicionados. O polinómio sym pode ser fornecido de três diferentes formas: contraída (elem pode então ser 1, seu valor padrão), particionada (elem pode ser 3), ou extendida (i.e. o polinómio completo, e elem pode então ser 2). A função pui é usada da mesma forma.

(%i1) pui;
(%o1)                           1
(%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                       2
                   a (a  - b) u   (a b - p3) u
(%o2)              ------------ - ------------
                        6              3
(%i3) ratsimp (%);
                                       3
                      (2 p3 - 3 a b + a ) u
(%o3)                 ---------------------
                                6

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: pui2comp (n, lpui)

converte a dista das primeiras n funções completas (com o comprimento em primeiro lugar) em termos de funções exponenciais fornecidas na lista lpui. se a lista lpui for vazia, o cardinal é n, de outra forma o cardinal será seu primeiro elemento (como em comp2ele e em comp2pui).

(%i1) pui2comp (2, []);
                                       2
                                p2 + p1
(%o1)                   [2, p1, --------]
                                   2
(%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                            2
                                 a1 (p2 + a1 )
                         2  p3 + ------------- + a1 p2
                  p2 + a1              2
(%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                     2                  3
(%i3) ratsimp (%);
                            2                     3
                     p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
(%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                        2               6

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: pui2ele (n, lpui)

efectiva a passagem de funções exponenciais para as funções elementares simétricas. Se o sinalizador pui2ele for girard, pui2ele irá retornar a lista de funções elementares simétricas de 1 a n, e se o sinalizador for close, pui2ele retornará a n-ésima função simétrica elementar.

Outras funções para mudanças de base: comp2ele.

Função: puireduc (n, lpui)

lpui é uma lista cujo primeiro elemento é um inteiro m. puireduc fornece as primeiras n funções exponenciais em termos das primeiras m funções.

(%i1) puireduc (3, [2]);
                                         2
                                   p1 (p1  - p2)
(%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                         2
(%i2) ratsimp (%);
                                           3
                               3 p1 p2 - p1
(%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                     2
Função: schur2comp (P, l_var)

P é um polinómio nas variáveis da lista l_var. Cada uma dessas variáveis represetna uma função simétrica completa. Na lista l_var o i-ésima função simétrica completa é representada através da concatenação da letra h com o inteiro i: hi. Essa função expressa P em termos de funções de Schur.

(%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
(%o1)                         s
                               1, 2
(%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
(%o2)                         s  a
                               3

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32.1.2 Modificando represetnações

Função: cont2part (pc, lvar)

Retorna o polinómio particionado associado à forma contraída pc cujas variáveis estão em lvar.

(%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                           3    4      5
(%o1)                   2 a  b x  y + x
(%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                   3
(%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]
Função: contract (psym, lvar)

retorna uma forma contraída (i.e. um monômio de grupo ssimétrico) do polinómio psym nas variáveis contidas na lista lvar. A função explose executa a operação inversa. A função tcontract testa a simétria do polinómio.

(%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
         3      4      3      4      3    4        3    4
(%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                           3      4      3    4
                                      + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
(%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                              3    4
(%o2)                      2 a  b x  y
Função: explose (pc, lvar)

retorna o polinómio simétrico associado com a forma contraída pc. A lista lvar conté as variáveis.

(%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
(%o1)                  a z + a y + a x + 1
Função: part2cont (ppart, lvar)

vai da forma particionada para a forma contraída de um polinómio simétrico. A forma contraída é convertida com as variáveis em lvar.

(%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                              3    4
(%o1)                      2 a  b x  y
Função: partpol (psym, lvar)

psym é um polinómio simétrico nas variáveis da lista lvar. Essa função retorna sua represetnação particionada.

(%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
(%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
Função: tcontract (pol, lvar)

testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis da lista lvar. Se for, tcontract retorna uma representação contraída como o faz a função contract.

Função: tpartpol (pol, lvar)

testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis da lista lvar. Se for, tpartpol retorna sua represetnação particionada como o faz a função partpol.

Função: direct ([p_1, ..., p_n], y, f, [lvar_1, ..., lvar_n])

calcula a imagem directa (see M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Rome) associada à função f, na lista de variáveis lvar_1, ..., lvar_n, e nos polinómios p_1, ..., p_n na variável y. A quantidade de argumetnos que a funçào f pode receber é importante para o cálculo. Dessa forma, se a expressão para f não depende de alguma variável, é inútil incluir essa variável, e não incluir essa variável irá também reduzir consideravelmente o montante cálculos efetuados.

(%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
       2
(%o1) y  - e1 f1 y

                                 2            2             2   2
                  - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                + -----------------------------------------------
                                         2
(%i2) ratsimp (%);
              2                2                   2
(%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
(%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
       6            5         2                        2    2   4
(%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                          3                               3   3
 + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

         2       2        4    2
 + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                    2       2       2                   2    4
 + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

  2          2                      2     3          2
 y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                 2            2    3                5
 + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

           2                   3           3     2   2    3
 + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

         2      3                   3    2   2
 + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                   2    4        2   6
 + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1

Encontrando um polinómio cujas raízes são somatórios a+u onde a é uma raíz de z^2 - e_1 z + e_2 e u é uma raíz de z^2 - +f_1 z + f_2.

(%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
                          z, a + u, [[u], [a]]));
       4                    3             2
(%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

     2   2                              2               2
 + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                  2                     2            2
 - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

     2
 + e2

direct aceita dois sinalizadores: elementaires (elementares) e puissances (exponenciais - valor padrão) que permitem a decomposição de polinómios simétricos que aparecerem nesses cálculos em funções simétricas elementares ou em funções exponenciais respectivamente.

Funções de sym utilizadas nesta função :

multi_orbit (portanto orbit), pui_direct, multi_elem (portanto elem), multi_pui (portanto pui), pui2ele, ele2pui (se o sinalizador direct for escolhido para puissances).

Função: multi_orbit (P, [lvar_1, lvar_2,..., lvar_p])

P é um polinómio no conjunto de variáveis contidas nas lista lvar_1, lvar_2, ..., lvar_p. Essa função retorna a órbita do polinómio P sob a ação do produto dos grupos simétricos dos conjuntos de variáveis represetnadas nas p listas.

(%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
(%o1)                [b y + a x, a y + b x]
(%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
(%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]

Veja também: orbit para a ação de um grupo simétrico simples.

Função: multsym (ppart_1, ppart_2, n)

retorna oproduto de dois polinómios simétricos em n varieis trabalhando somente módulo a ação do grupo simétrico de ordem n. O polinómios estão em sua forma particionada.

Dados 2 polinómio simétricos em x, y: 3*(x + y) + 2*x*y e 5*(x^2 + y^2) cujas formas particionadas são [[3, 1], [2, 1, 1]] e [[5, 2]], seu produto irá ser

(%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
(%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]

isso é 10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3).

Funções para mudar as representacões de um polinómio simétrico:

contract, cont2part, explose, part2cont, partpol, tcontract, tpartpol.

Função: orbit (P, lvar)

calcula a órbita do polinómio P nas variáveis na lista lvar sob a ação do grupo simétrico do conjunto das variáveis na lista lvar.

(%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
(%o1)                [a y + b x, b y + a x]
(%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                        2         2
(%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]

Veja também multi_orbit para a ação de um produto de grupos simétricos sobre um polinómio.

Função: pui_direct (orbite, [lvar_1, ..., lvar_n], [d_1, d_2, ..., d_n])

Tomemos f para ser um polinómio em n blocos de variáveis lvar_1, ..., lvar_n. Façamos c_i ser o n;umero de variáveis em lvar_i, e SC ser o produto de n grupos simétricos de grau c_1, ..., c_n. Essas ações dos grupos naturalmente sobre f. A lista orbite é a órbita, denotada SC(f), da função f sob a ação de SC. (Essa lista pode ser obtida através da função multi_orbit.) Os di são inteiros de forma que c_1 \le d_1, c_2 \le d_2, \ldots, c_n \le d_n.

Tomemos SD para ser o produto dos grupos simétricos S_[d_1] x S_[d_2] x ... x S_[d_n]. A função pui_direct retorna as primeiras n funções exponenciais de SD(f) deduzidas das funções exponenciais de SC(f), onde n é o tamanho de SD(f).

O resultado está na multi-forma contraída com relação a SD, i.e. somente um elemento é mantido por órbita, sob a ação de SD.

(%i1) l: [[x, y], [a, b]];
(%o1)                   [[x, y], [a, b]]
(%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                       2  2
(%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
(%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                             2  2     2    2        3  3
(%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x , 

    2  2  2  2      3    3        4  4
12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  2  3  2      4    4        5  5
10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
(%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                             2              2
(%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a , 

                 2                   3        2       2        3
              9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]

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32.1.3 Partições

Função: kostka (part_1, part_2)

escrita por P. Esperet, calcula o número de Kostka da partição part_1 e part_2.

(%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
(%o1)                           6
Função: lgtreillis (n, m)

retorna a lista de partições de peso n e comprimento m.

(%i1) lgtreillis (4, 2);
(%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]

Veja também: ltreillis, treillis e treinat.

Função: ltreillis (n, m)

retorna a lista de partições de peso n e comprimento menor que ou igual a m.

(%i1) ltreillis (4, 2);
(%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]

Veja também: lgtreillis, treillis e treinat.

Função: treillis (n)

retorna todas as partições de peso n.

(%i1) treillis (4);
(%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

Veja também: lgtreillis, ltreillis e treinat.

Função: treinat (part)

retorna a lista de partições inferiores à partiçào part com relação à ordem natural.

(%i1) treinat ([5]);
(%o1)                         [[5]]
(%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
(%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], 
 
                                                 [1, 1, 1, 1, 1]]
(%i3) treinat ([3, 2]);
(%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

Outras funções de mudança de representação :

Veja também: lgtreillis, ltreillis e treillis.


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32.1.4 Polinómios e suas raízes

Função: ele2polynome (L, z)

retorna o polinómio em z de forma que as funções elementares simétricas de suas raízes estejam na lista L = [n, e_1, ..., e_n], onde n é o grau dos polinómios e e_i é a i-ésima função simétrica elementar.

(%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                          2
(%o1)                    z  - e1 z + e2
(%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
(%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

o inverso: polynome2ele (P, z).

Veja também: polynome2ele, pui2polynome.

Função: polynome2ele (P, x)

fornece a lista l = [n, e_1, ..., e_n] onde n é o grau do polinómio P na variável x e e_i é a i-ésima função simétrica elementar das raízes de P.

(%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
(%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

A inversa: ele2polynome (l, x)

Função: prodrac (L, k)

L é uma lista contendo as funções simétricas elementares sobre um conjunto A. prodrac retorna o polinómio cujas raízes são os produtos k por k dos elementos de A.

Veja também somrac.

Função: pui2polynome (x, lpui)

calcula o polinómio em x cujas funções exponenciais das raízes são dadas na lista lpui.

(%i1) pui;
(%o1)                           1
(%i2) kill(labels);
(%o0)                         done
(%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
(%o1)                     [3, 4, 5, 1]
(%i2) ele2pui (3, %);
(%o2)                     [3, 4, 6, 7]
(%i3) pui2polynome (x, %);
                        3      2
(%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1

Veja também: polynome2ele, ele2polynome.

Função: somrac (L, k)

A lista L contains função simétrica elementars de um polynomial P . The function computes the polinómio whose roots are the k by k distinct sums of the roots of P.

Also see prodrac.


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32.1.5 Resolvents

Função: resolvante (P, x, f, [x_1,..., x_d])

calculates the resolvent of the polinómio P in x of degree n >= d by the function f expressed nas variáveis x_1, ..., x_d. For efficiency of computation it is important to not include in the list [x_1, ..., x_d] variables which do not appear in the transformation function f.

Para melhorar a eficiência do cálculo se pode escolher sinalizadores em resolvante de fora a usar os algoritmos apropriados:

Se a função f for unitária :

o sinalizador da resolvante poderá ser respectivamente :

(%i1) resolvante: unitaire$
(%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);

" resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840, - 2772, 56448, - 33880, 

413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464, 

175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760] 
  3       6      3       9      6      3
[x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1, 

 12      9      6      3       15      12       9       6      3
x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

       18      15       12       9       6      3
 - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1, 

 21      18       15       12       9       6      3
x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1] 
[- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011] 
       7      6        5         4          3           2
(%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                              + 376999 y + 125253
(%i3) resolvante: lineaire$
(%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante lineaire " 
       24       20         16            12             8
(%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i5) resolvante: general$
(%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante generale " 
       24       20         16            12             8
(%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

" resolvante generale " 
       24       20         16            12             8
(%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
       24       20         16            12             8
(%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i9) resolvante :lineaire$
(%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante lineaire " 
                              4
(%o10)                       y  - 1
(%i11) resolvante: symetrique$
(%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante symetrique " 
                              4
(%o12)                       y  - 1
(%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

" resolvante symetrique " 
                           6      2
(%o13)                    y  - 4 y  - 1
(%i14) resolvante: alternee$
(%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

" resolvante alternee " 
            12      8       6        4        2
(%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
(%i16) resolvante: produit$
(%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante produit "
        35      33         29        28         27        26
(%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
(%i18) resolvante: symetrique$
(%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

" resolvante symetrique " 
        35      33         29        28         27        26
(%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
(%i20) resolvante: cayley$
(%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

" resolvente de Cayley "
        6       5         4          3            2
(%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                       + 93392896

Para a resolvente de Cayley, os 2 últimos argumentos são neutros e o polinómio fornecido na entrada deve ser necessáriamente de grau 5.

Veja também :

resolvante_bipartite, resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale.

Função: resolvante_alternee1 (P, x)

calcula a transformação de P(x) de grau n pela função $\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)$. product(x_i - x_j, 1 <= i < j <= n - 1).

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante , resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale, resolvante_bipartite.

Função: resolvante_bipartite (P, x)

calcula a trasformação de P(x) de mesmo grau n através da função x_1 x_2 ... x_[n/2] + x_[n/2 + 1] ... x_n.

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante , resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale, resolvante_alternee1.

(%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
              10        8           6             4
(%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale, resolvante_alternee1.

Função: resolvante_diedrale (P, x)

+calculates the transformation of P(x) by the function +x_1 x_2 + x_3 x_4.

(%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
       15       12       11       10        9         8         7
(%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

        6         5          4          3          2
 - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

 - 697

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante.

Função: resolvante_klein (P, x)

+calculates the transformation of P(x) by the function +x_1 x_2 x_4 + x_4.

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale.

Função: resolvante_klein3 (P, x)

calcula a transformação de P(x) através da função x_1 x_2 x_4 + x_4.

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante, resolvante_vierer, resolvante_diedrale.

Função: resolvante_produit_sym (P, x)

calcula a lista de todas as resolventes de produto do polinómio P(x).

(%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
        5      4             10      8       7       6       5
(%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

    4       3      2       10      8       7    6       5       4
 - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

       3      2       5      4
 - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
(%i2) resolvante: produit$
(%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

" resolvente produto "
       10      8       7    6        5       4       3     2
(%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1

Veja também :

resolvante, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale.

Função: resolvante_unitaire (P, Q, x)

+computes the resolvent of the polinómio P(x) by the +polynomial Q(x).

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale.

Função: resolvante_vierer (P, x)

calcula a transformação de P(x) pela função x_1 x_2 - x_3 x_4.

Veja também :

resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3, resolvante, resolvante_diedrale.

Função: multinomial (r, part)

onde r é o peso da partição part. Essa função retorna o coefinciente multinomial associado: se as partes de part forem i_1, i_2, ..., i_k, o resultado é r!/(i_1! i_2! ... i_k!).

Função: permut (L)

retorna a lista de permutações da lista L.

Função: tcontract (pol, lvar)

testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis contidas na lista lvar. se for é rtornado uma forma contraída da forma retornada pela função contract.

Outras funções de mudança de representação :

contract, cont2part, explose, part2cont, partpol, tpartpol.

Função: tpartpol (pol, lvar)

testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis contidas na lista lvar. Se for simétrico tpartpol produz a forma particionada como a função partpol.

Outras funções de mudança de representação :

contract, cont2part, explose, part2cont, partpol, tcontract.

Função: treillis (n)

retorna todas as partições de peso n.

(%i1) treillis (4);
(%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

Veja também : lgtreillis, ltreillis e treinat.

Função: treinat (part)

retorna a lista das partições inferiores à partição part pela ordem natural.

(%i1) treinat ([5]);
(%o1)                         [[5]]
(%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
(%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], 

                                                 [1, 1, 1, 1, 1]]
(%i3) treinat ([3, 2]);
(%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

Veja também : lgtreillis, ltreillis e treillis.


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