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57. lsquares

/lsquares.texi/1.1/Mon Feb 27 22:09:17 2006//


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57.1 Definições para lsquares

Variável global: DETCOEF

Essa variável é usada pelas funções lsquares e plsquares para armazenar o Coeficiente de Determinação que mede o melhor ajuste. Esse intervalo vai de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exacta).

Quando plsquares for chamada com uma lista de variáveis independentes, DETCOEF é escolhida para uma lista de Coeficientes de Determinação. Veja plsquares para detalhes.

Veja também lsquares.

Função: lsquares (Mat,VarList,equação,ParamList)
Função: lsquares (Mat,VarList,equação,ParamList,EsperadosList)

Ajuste múltiplo de equações não lineares de uma tabela de dados pelo método dos "mínimos quadrados". Mat é uma matriz contendo os dados, VarList é uma lista de nomes de variáveis (um para cada coluna de Mat), equação é a equação a ser ajustada (essa equação deve estar na forma: depvar=f(indepvari,..., paramj,...), g(depvar)=f(indepvari,..., paramj,...) ou na forma g(depvar, paramk,...)=f(indepvari,..., paramj,...)), ParamList é a lista de parâmetros para obter, e EsperadosList é uma lista opcional de aproximações iniciais para os parâmetros; quando esse último argumento estiver presente, mnewton é usado em lugar de solve com o objectivo de pegar os parâmetros.

A equação pode ser completamente não linear com relação às variáveis independentes e à variável dependente. Com o objectivo de usar solve(), as equações devem ser lineares ou polinomiais com relação aos parâmetros. Equações como y=a*b^x+c podem ser ajustadas para [a,b,c] com solve se os valores de x forem inteiros positivos pequenos e existirem poucos dados (veja o exemplo em lsquares.dem). mnewton permite ajustar uma equação não linear com relação aos parâmetros, mas um bom conjunto de aproximações iniciais deve ser fornecido.

Se possível, a equação ajustada é retornada. Se existir mais de uma solução, uma lista de equações é retornada. O Coeficiente de Determinação é mostrado para informar sobre o melhor ajuste, de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exacta). Esse valor é também armazenado na variável global DETCOEF.

Exemplos usando solve:

(%i1) load("lsquares")$

(%i2) lsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
               [x,y,z], z=a*x*y+b*x+c*y+d, [a,b,c,d]);
      Determination Coefficient = 1.0
                    x y + 23 y - 29 x - 19
(%o2)           z = ----------------------
                              6
(%i3) lsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
               [n,p], p=a4*n^4+a3*n^3+a2*n^2+a1*n+a0,
         [a0,a1,a2,a3,a4]);
      Determination Coefficient = 1.0
                     4       3      2
                  3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
(%o3)         p = -------------------------
                              6
(%i4) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25]), 
               [x,y], (y+c)^2=a*x+b, [a,b,c]);
      Determination Coefficient = 1.0
(%o4) [y = 28 - sqrt(657 - 216 x),
                                y = sqrt(657 - 216 x) + 28]
(%i5) lsquares(matrix([1,7],[2,13],[3,25],[4,49]),
               [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c]);
      Determination Coefficient = 1.0
                              x
(%o5)                  y = 3 2  + 1

Exemplos usando mnewton:

(%i6) load("lsquares")$

(%i7) lsquares(matrix([1.1,7.1],[2.1,13.1],[3.1,25.1],[4.1,49.1]),
               [x,y], y=a*b^x+c, [a,b,c], [5,5,5]);
                                             x
(%o7) y = 2.799098974610482 1.999999999999991
                                        + 1.099999999999874
(%i8) lsquares(matrix([1.1,4.1],[4.1,7.1],[9.1,10.1],[16.1,13.1]),
               [x,y], y=a*x^b+c, [a,b,c], [4,1,2]);
                             .4878659755898127
(%o8) y = 3.177315891123101 x
                                        + .7723843491402264
(%i9) lsquares(matrix([0,2,4],[3,3,5],[8,6,6]),
              [m,n,y], y=(A*m+B*n)^(1/3)+C, [A,B,C], [3,3,3]);
                                                     1/3
(%o9) y = (3.999999999999862 n + 4.999999999999359 m)
                                         + 2.00000000000012

Para usar essa função escreva primeiro load("lsquares"). Veja também DETCOEF e mnewton.

Função: plsquares (Mat,VarList,depvars)
Função: plsquares (Mat,VarList,depvars,maxexpon)
Função: plsquares (Mat,VarList,depvars,maxexpon,maxdegree)

Ajuste de polinómios de várias variáveis de uma tabela de dados pelo método dos "mínimos quadrados". Mat é uma matriz contendo os dados, VarList é uma lista de nomes de variáveis (um nome para cada coluna de Mat, mas use "-" em lugar de nomes de variáveis para colunas de Mat), depvars é o nome de uma variável dependente ou uma lista com um ou mais nomes de variáveis dependentes (cujos nomes podem estar em VarList), maxexpon é o expoente máximo opcional para cada variável independente (1 por padrão), e maxdegree é o argumento opcional grau máximo do polinómio (maxexpon por padrão); note que a soma dos expoentes de cada termo deve ser menor ou igual a maxdegree, e se maxdgree = 0 então nenhum limite é aplicado.

Se depvars é o nome de uma variável dependente (fora de uma lista), plsquares retorna o polinómio ajustado. Se depvars for uma lista de uma ou mais variáveis dependentes, plsquares retorna uma lista com o(s) polinómio(s) ajustado(s). Os Coeficientes de Determinação são mostrados com o objectivo de informar sobre o melhor do ajuste, cujo intervalo vai de 0 (nenhuma correlação) a 1 (correlação exacta). Esses valores são também armazenados na variável global DETCOEF (uma lista se depvars for tambn'uma lista).

Um simples exemplo de ajuste linear de várias variáveis:

(%i1) load("plsquares")$

(%i2) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
                [x,y,z],z);
     Determination Coefficient for z = .9897039897039897
                       11 y - 9 x - 14
(%o2)              z = ---------------
                              3

O mesmo exemplo sem restrições de grau:

(%i3) plsquares(matrix([1,2,0],[3,5,4],[4,7,9],[5,8,10]),
                [x,y,z],z,1,0);
     Determination Coefficient for z = 1.0
                    x y + 23 y - 29 x - 19
(%o3)           z = ----------------------
                              6

Quantas diagonais possui um polígono de N lados? Que grau polinomial deverá ser usado?

(%i4) plsquares(matrix([3,0],[4,2],[5,5],[6,9],[7,14],[8,20]),
                [N,diagonais],diagonais,5);
     Determination Coefficient for diagonais = 1.0
                                2
                               N  - 3 N
(%o4)              diagonais = --------
                                  2
(%i5) ev(%, N=9);   /* Testando para um polígono de 9 lados - o eneágono */
(%o5)                 diagonals = 27

De quantas formas dispomos para colocar duas raínhas sem que elas estejam ameaçadas num tabuleiro de xadrez n x n ?

(%i6) plsquares(matrix([0,0],[1,0],[2,0],[3,8],[4,44]),
                [n,posicoes],[posicoes],4);
     Determination Coefficient for [posicoes] = [1.0]
                         4       3      2
                      3 n  - 10 n  + 9 n  - 2 n
(%o6)    [posicoes  = -------------------------]
                                  6
(%i7) ev(%[1], n=8); /* Testando para um tabuleiro de (8 x 8) */
(%o7)                posicoes = 1288

Um exemplo com seis variáveis dependentes:

(%i8) mtrx:matrix([0,0,0,0,0,1,1,1],[0,1,0,1,1,1,0,0],
                  [1,0,0,1,1,1,0,0],[1,1,1,1,0,0,0,1])$
(%i8) plsquares(mtrx,[a,b,_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],
                     [_And,_Or,_Xor,_Nand,_Nor,_Nxor],1,0);
      Determination Coefficient for
[_And, _Or, _Xor, _Nand, _Nor, _Nxor] =
[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
(%o2) [_And = a b, _Or = - a b + b + a,
_Xor = - 2 a b + b + a, _Nand = 1 - a b,
_Nor = a b - b - a + 1, _Nxor = 2 a b - b - a + 1]

Para usar essa função escreva primeiramente load("lsquares").


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