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68. stats


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68.1 Introdução a stats

O pacote stats contém um conjunto de procedimentos de inferência clássica estatística e procedimentos de teste.

Todas essas funções retornam um objecto do Maxima chamado inference_result que contém os resultados necessários para inferências de manipulação e tomada de decisões.

A variável global stats_numer controla se resultados são mostrados em ponto flutuante ou simbólico e no formato racional; seu valor padrão é true e os resultados são retornados no formato de ponto flutuante.

O pacote descriptive contém alguns utilitários para manipular estruturas de dados (listas e matrizes); por exemplo, para extrair subamostras. O pacote descriptive também contém alguns exemplos sobre como usar o pacote numericalio para ler dados a partir de ficheiro no formato texto plano. Veja descriptive e numericalio para maiores detalhes.

O pacote stats precisa dos pacotes descriptive, distrib e inference_result.

Para comentários, erros ou sugestões, por favor contate o autor em

'mario AT edu DOT xunta DOT es'.


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68.2 Definições para inference_result

Função: inference_result (título, valores, números)

Constrói um objecto inference_result do tipo retornado pelas funções stats. O argumento título é uma sequência de caracteres do Maxima co o nome do procedimento; valores é uma lissta com elementos da forma símbolo = valor e números é uma lista com números inteiros positivos no intervalo de um para length(valores), indicando que valores serão mostrados por padrão.

Exemplo:

Este é um exemplo que mostras os resultados associados a um retángulo. O título deste bojeto é a sequência de caraceteres "Retângulo", o qual armazena cinco resultados, a saber, 'base, 'altura, 'diagonal, 'área y 'perímetro, porém só mostra o primeiro, segundo, quinto e quarto resultado. O resultado 'diagonal também é armazenado neste objecto, no entanto não é mostrado por padrão; para se ter acesso a este valor, faz-se uso da função take_inference.

(%i1) load(inference_result)$
(%i2) b: 3$ h: 2$
(%i3) inference_result("Retângulo",
                        ['base=b,
                         'altura=h,
                         'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
                         'área=b*h,
                         'perímetro=2*(b+h)],
                        [1,2,5,4] );
                        |   Retângulo
                        |
                        |    base = 3
                        |
(%o3)                   |   altura = 2
                        |
                        | perímetro = 10
                        |
                        |    area = 6
(%i4) take_inference('diagonal,%);
(%o4)                        sqrt(13)

Veja também take_inference.

Função: inferencep (obj)

Retorna true ou false, dependendo se obj é um objecto inference_result ou não.

Função: items_inference (obj)

Retorna uma lista com os nomes dos itens em obj, que devem ser um objecto inference_result.

Exemplo:

O objecto inference_result armazena dois valores, a saber 'pi e 'e, mas somente o segundo é mostrado. A função items_inference retorna os nomes de todos os itens, não importa se eles são ou não mostrados.

(%i1) load(inference_result)$
(%i2) inference_result("Hi", ['pi=%pi,'e=%e],[2]);
                            |   Hi
(%o2)                       |
                            | e = %e
(%i3) items_inference(%);
(%o3)                        [pi, e]
Função: take_inference (n, obj)
Função: take_inference (nome, obj)
Função: take_inference (lista, obj)

Retorna o n-ésimo valor armazenado em obj se n for um inteiro positivo, ou o item chamado nome se esse for o nome de um item. Se o primeiro argumento for uma lista de números e/ou símbolos, a função take_inference retorna uma lista com os resultados correspondentes.

Exemplo:

Fornece um objecto inference_result, a função take_inference é chamada com o objectivo de extrair alguma informação armazenada nesse objecto.

(%i1) load(inference_result)$
(%i2) b: 3$ h: 2$
(%i3) sol: inference_result("Retângulo",
                            ['base=b,
                             'altura=h,
                             'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
                             'area=b*h,
                             'perímetro=2*(b+h)],
                            [1,2,5,4] );
                        |   Retângulo
                        |
                        |    base = 3
                        |
(%o3)                   |   altura = 2
                        |
                        | perímetro = 10
                        |
                        |    area = 6
(%i4) take_inference('base,sol);
(%o4)                           3
(%i5) take_inference(5,sol);
(%o5)                          10
(%i6) take_inference([1,'diagonal],sol);
(%o6)                     [3, sqrt(13)]
(%i7) take_inference(items_inference(sol),sol);
(%o7)                [3, 2, sqrt(13), 6, 10]

Veja também inference_result e take_inference.


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68.3 Definições para stats

Variável de opção: stats_numer

Valor por omissão: true

Se stats_numer for true, funções de inferência estatística retornam seus resultados em números com ponto flutuante. Se stats_numer for false, resultados são fornecidos em formato simbólico e racional.

Função: test_mean (x)
Função: test_mean (x, opção_1, opção_2, ...)

Esse é o teste-t de média. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional. test_mean tamb;em executa um teste assintótico baseado no Teorema do Limite Central se a opção 'asymptotic for true.

Opções:

A saída da função test_mean é um objecto inference_result do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. 'mean_estimate: a média da amostra.
  2. 'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. 'conf_interval: intervalo de confidência para a média da população.
  4. 'method: procedimento de inferência.
  5. 'hypotheses: hipótese do nulo e hipótese alternativa a ser testada.
  6. 'statistic: valor da amostra estatística a ser usado para testar a hipótese do nulo.
  7. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetro(s).
  8. 'p_value: valores de p do teste.

Exemplos:

Executa um teste-t exato com variância desconhecida. A hipótese do nulo é H_0: mean=50 contra a alternativa unilatera H_1: mean<50; conforme os resultados, o valor de p é muito grande, não existem evidências paa rejeitar H_0.

(%i1) load("stats")$
(%i2) data: [78,64,35,45,45,75,43,74,42,42]$
(%i3) test_mean(data,'conflevel=0.9,'alternative='less,'mean=50);
          |                 MEAN TEST
          |
          |            mean_estimate = 54.3
          |
          |              conf_level = 0.9
          |
          | conf_interval = [minf, 61.51314273502712]
          |
(%o3)     |  method = Exact t-test. Unknown variance.
          |
          | hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean < 50
          |
          |       statistic = .8244705235071678
          |
          |       distribution = [student_t, 9]
          |
          |        p_value = .7845100411786889

Nesta ocasião Maxima executa um testte assintótico, baseado no Teorema do Limite Central. A hipótese do nulo é H_0: equal(mean, 50) contra a alternativa de duas vias H_1: not equal(mean, 50); conforme os resultados, o valor de p é muito pequeno, H_0 pode ser rejeitado em favor da alternativa H_1. Note que, como indicado pela componente Method, esse procedimento pode ser aplicado a grandes amostras.

(%i1) load("stats")$
(%i2) test_mean([36,118,52,87,35,256,56,178,57,57,89,34,25,98,35,
              98,41,45,198,54,79,63,35,45,44,75,42,75,45,45,
              45,51,123,54,151],
              'asymptotic=true,'mean=50);
          |                       MEAN TEST
          |
          |           mean_estimate = 74.88571428571429
          |
          |                   conf_level = 0.95
          |
          | conf_interval = [57.72848600856194, 92.04294256286663]
          |
(%o2)     |    method = Large sample z-test. Unknown variance.
          |
          |       hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean # 50
          |
          |             statistic = 2.842831192874313
          |
          |             distribution = [normal, 0, 1]
          |
          |             p_value = .004471474652002261
Função: test_means_difference (x1, x2)
Função: test_means_difference (x1, x2, opção_1, opção_2, ...)

Esse é o teste-t de diferença de médias entre duas amostras. Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas contendo duas amostras independentes. No caso de diferentes variâncias desconhecidas (veja opções 'dev1, 'dev2 e 'varequal abaixo), os graus de liberdade são calculados por meio da aproximação de Welch. test_means_difference também executa um teste assintótico baseado no Teorema do Limite Central se a opção 'asymptotic for escolhida para true.

Opções:

A saída da função test_means_difference é um objecto inference_result do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. 'diff_estimate: a diferença de médias estimadas.
  2. 'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. 'conf_interval: intervalo de confidência para a diferença de médias.
  4. 'method: procedimento de inferência.
  5. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. 'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  8. 'p_value: valor de p do teste.

Exemplos:

A igualdade de médias é testada com duas pequenas amostras x e y, contra a alternativa H_1: m_1>m_2, sendo m_1 e m_2 as médias das populações; variâncias são desconhecidas e supostamente admitidas para serem diferentes.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
(%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater);
            |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
            |
            |         diff_estimate = 20.31999999999999
            |
            |                 conf_level = 0.95
            |
            |    conf_interval = [- .04597417812882298, inf]
            |
(%o4)       |        method = Exact t-test. Welch approx.
            |
            | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
            |
            |           statistic = 1.838004300728477
            |
            |    distribution = [student_t, 8.62758740184604]
            |
            |            p_value = .05032746527991905

O mesmo teste que antes, mas agora as variâncias são admitidas serem supostamente iguais.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: matrix([1.2],[6.9],[38.7],[20.4],[17.2])$
(%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater,'varequal=true);
            |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
            |
            |         diff_estimate = 20.31999999999999
            |
            |                 conf_level = 0.95
            |
            |     conf_interval = [- .7722627696897568, inf]
            |
(%o4)       |   method = Exact t-test. Unknown equal variances
            |
            | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
            |
            |           statistic = 1.765996124515009
            |
            |           distribution = [student_t, 9]
            |
            |            p_value = .05560320992529344
Função: test_variance (x)
Função: test_variance (x, opção_1, opção_2, ...)

Esse é o teste da variância chi^2. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional tomada entre a população normal.

Opções:

A saída da função test_variance está no objecto inference_result do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. 'var_estimate: a variância da amostra.
  2. 'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. 'conf_interval: intervalo de confidência para a variância da população.
  4. 'method: procedimento de inferência.
  5. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. 'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
  8. 'p_value: o valor de p do teste.

Exemplos:

Isso é testado se a variância de uma população com média desconhhecida for igual ou maior que 200.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [203,229,215,220,223,233,208,228,209]$
(%i3) test_variance(x,'alternative='greater,'variance=200);
             |                  VARIANCE TEST
             |
             |              var_estimate = 110.75
             |
             |                conf_level = 0.95
             |
             |     conf_interval = [57.13433376937479, inf]
             |
(%o3)        | method = Variance Chi-square test. Unknown mean.
             |
             |    hypotheses = H0: var = 200 , H1: var > 200
             |
             |                 statistic = 4.43
             |
             |             distribution = [chi2, 8]
             |
             |           p_value = .8163948512777689
Função: test_variance_ratio (x1, x2)
Função: test_variance_ratio (x1, x2, opção_1, opção_2, ...)

Isso é o teste F da razão de variância para duas populações normais. Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas contendo duas amostras independentes.

Opções:

A saída da função test_variance_ratio é um objecto inference_result do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. 'ratio_estimate: a razão de variância da amostra.
  2. 'conf_level: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. 'conf_interval: intervalo de confidência para a razão de variância.
  4. 'method: procedimento de inferência.
  5. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. 'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
  8. 'p_value: o valor de p do teste.

Exemplos:

a igualdade das variâncias de duas populações normais é verificado contra a alternativa que a primeira é maior que a segunda.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
(%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
(%i4) test_variance_ratio(x,y,'alternative='greater);
              |              VARIANCE RATIO TEST
              |
              |       ratio_estimate = 2.316933391522034
              |
              |               conf_level = 0.95
              |
              |    conf_interval = [.3703504689507268, inf]
              |
(%o4)         | method = Variance ratio F-test. Unknown means.
              |
              | hypotheses = H0: var1 = var2 , H1: var1 > var2
              |
              |         statistic = 2.316933391522034
              |
              |            distribution = [f, 5, 4]
              |
              |          p_value = .2179269692254457
Função: test_sign (x)
Função: test_sign (x, opção_1, opção_2, ...)

Esse é o teste de sinal não paramétrico para a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional.

Opções:

A saída da função test_sign é um objecto inference_result do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. 'med_estimate: a mediana da amostra.
  2. 'method: procedimento de inferência.
  3. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  4. 'statistic: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
  5. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  6. 'p_value: o valor de p do teste.

Exemplos:

Verifica se a população da qual a amostra foi tomada tem mediana 6, contra a alternativa H_1: median > 6.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [2,0.1,7,1.8,4,2.3,5.6,7.4,5.1,6.1,6]$
(%i3) test_sign(x,'median=6,'alternative='greater);
               |                  SIGN TEST
               |
               |              med_estimate = 5.1
               |
               |      method = Non parametric sign test.
               |
(%o3)          | hypotheses = H0: median = 6 , H1: median > 6
               |
               |                statistic = 7
               |
               |      distribution = [binomial, 10, 0.5]
               |
               |         p_value = .05468749999999989
Função: test_signed_rank (x)
Função: test_signed_rank (x, opção_1, opção_2, ...)

Esse é o teste de ranque sinalizado de Wilcoxon para fazer inferências sobre a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional. Executa uma aproximação normal se o tamanho da amostra for maior que 20, ou se existirem zeros ou houverem empates.

Veja também pdf_rank_test e cdf_rank_test.

Opções:

A saída da função test_signed_rank é um objecto inference_result do Maxima com os seguintes resultados:

  1. 'med_estimate: a mediana da amostra.
  2. 'method: procedimento de inferência.
  3. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  4. 'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  5. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  6. 'p_value: o valor de p do teste.

Exemplos:

Verifica a hipótese do nulo H_0: median = 15 contra a alternativa H_1: median > 15. Esse é um teste exato, ua vez que não exite empates.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6]$
(%i3) test_signed_rank(x,median=15,alternative=greater);
                 |             SIGNED RANK TEST
                 |
                 |           med_estimate = 15.7
                 |
                 |           method = Exact test
                 |
(%o3)            | hypotheses = H0: med = 15 , H1: med > 15
                 |
                 |              statistic = 14
                 |
                 |     distribution = [signed_rank, 6]
                 |
                 |            p_value = 0.28125

Verifica a hipótese do nulo H_0: equal(median, 2.5) contra a alternativa H_1: not equal(median, 2.5). Esse é um teste aproximado, uma vez que ocorrem empates.

(%i1) load("stats")$
(%i2) y:[1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1]$
(%i3) test_signed_rank(y,median=2.5);
             |                 SIGNED RANK TEST
             |
             |                med_estimate = 2.9
             |
             |          method = Asymptotic test. Ties
             |
(%o3)        |    hypotheses = H0: med = 2.5 , H1: med # 2.5
             |
             |                 statistic = 76.5
             |
             | distribution = [normal, 60.5, 17.58195097251724]
             |
             |           p_value = .3628097734643669
Função: test_rank_sum (x1, x2)
Função: test_rank_sum (x1, x2, opção_1)

Esse é o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney para comparação das medianas de duas populações contínuas. Os primeiros dois argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas com os dados de duas amostras independentes. Executa aproximação normal se quaisquer dos tamanhos de amostra for maior que 10, ou se houverem empates.

Opção:

A saída da função test_rank_sum é um objecto inference_result do Maxima com os seguintes resultados:

  1. 'method: procedimento de inferência.
  2. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  3. 'statistic: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
  4. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
  5. 'p_value: o valor de p do teste.

Exemplos:

Verifica se populações possuem medianas similares. Tamanhos de amotra são pequenos e é feito um teste exato.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
(%i3) y:[21,18,25,14,52,65,40,43]$
(%i4) test_rank_sum(x,y);
              |                 RANK SUM TEST
              |
              |              method = Exact test
              |
              | hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 # med2
(%o4)         |
              |                 statistic = 22
              |
              |        distribution = [rank_sum, 9, 8]
              |
              |          p_value = .1995886466474702

Agora, com grandes amostras e empates, o procedimento faz aproximação norma. A hipótese alternativa é H_1: median1 < median2.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x: [39,42,35,13,10,23,15,20,17,27]$
(%i3) y: [20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15]$
(%i4) test_rank_sum(x,y,'alternative='less);
             |                  RANK SUM TEST
             |
             |          method = Asymptotic test. Ties
             |
             |  hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 < med2
(%o4)        |
             |                 statistic = 48.5
             |
             | distribution = [normal, 79.5, 18.95419580097078]
             |
             |           p_value = .05096985666598441
Função: test_normality (x)

Teste de Shapiro-Wilk para normalidade. O argumento x é uma lista de números, e o tamanho da amostra deve ser maior que 2 e menor ou igua a 5000, de outra forma, a função test_normality sinaliza com um erro.

Referência:

[1] Algorithm AS R94, Applied Statistics (1995), vol.44, no.4, 547-551

A saída da função test_normality é um objecto inference_result do Maxima com os seguintes resultados:

  1. 'statistic: valor do W estatístico.
  2. 'p_value: valor de p sob a hipótese de normalidade.

Exemplos:

Verifica a normalidade de uma população, baseada em uma amostra de tamanho 9.

(%i1) load("stats")$
(%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
(%i3) test_normality(x);
                       |      SHAPIRO - WILK TEST
                       |
(%o3)                  | statistic = .9251055695162436
                       |
                       |  p_value = .4361763918860381
Função: simple_linear_regression (x)
Função: simple_linear_regression (x opção_1)

Regressão linear simples, y_i=a+b x_i+e_i, onde os e_i são N(0,sigma) variáveis aleatórias independentes. O argumento x deve ser uma matriz de duas colunas ou uma lista de pares.

Opções:

A saída da função simple_linear_regression é um objecto inference_result do Maxima com os seguintes resultados:

  1. 'model: a equação ajustada. Útil para fazer novas previsões. Veja exemplos abaixo.
  2. 'means: média de duas variáveis pseudo-aleatórias.
  3. 'variances: variâncias de ambas as variáveis.
  4. 'correlation: coeficiente de correlação.
  5. 'adc: coeficiente de determinação ajustado.
  6. 'a_estimation: estimador do parâmetro a.
  7. 'a_conf_int: intervalo de confidência do parâmetro a.
  8. 'b_estimation: estimador do parâmetro b.
  9. 'b_conf_int: intervalo de confidência do parâmetro b.
  10. 'hypotheses: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa sobre o parâmetro b.
  11. 'statistic: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  12. 'distribution: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
  13. 'p_value: o valor de p do teste sobre b.
  14. 'v_estimation: estimador de variância imparcial, ou variância residual.
  15. 'v_conf_int: intervalo de confidência da variância.
  16. 'cond_mean_conf_int: intervalo de confidência paa a média condicionada. Veja exemplos abaixo.
  17. 'new_pred_conf_int: intervalo de confidência para uma nova previsão. Veja exemplos abaixo.
  18. 'residuals: lista de pares (previsão, resíduo), ordenados em relação às previsões. Útil para achar o melhor da análise de ajuste. Veja exemplos abaixo.

Somente os itens 1, 4, 14, 9, 10, 11, 12, e 13 acima, nessa ordem, são mostrados por padrão. Os restantes escondem-se até que o utilizador faça uso de funções items_inference e take_inference.

Exemplo:

Ajustando um modelo linear para uma amostras de duas variáveis. A entrada %i4 monta p gráfico da amostra junto com a linha de regressão; a entrada %i5 calcula y dado x=113; a média e o intervalo de confidência para uma nova previsão quando x=113 são também calculados.

(%i1) load("stats")$
(%i2) s:[[125,140.7],[130,155.1],[135,160.3],[140,167.2],[145,169.8]]$
(%i3) z:simple_linear_regression(s,conflevel=0.99);
           |               SIMPLE LINEAR REGRESSION
           |
           |   model = 1.405999999999985 x - 31.18999999999804
           |
           |           correlation = .9611685255255155
           |
           |           v_estimation = 13.57966666666665
           |
(%o3)      | b_conf_int = [.04469633662525263, 2.767303663374718]
           |
           |          hypotheses = H0: b = 0 ,H1: b # 0
           |
           |            statistic = 6.032686683658114
           |
           |            distribution = [student_t, 3]
           |
           |             p_value = 0.0038059549413203
(%i4) plot2d([[discrete, s], take_inference(model,z)],
              [x,120,150],
              [gnuplot_curve_styles, ["with points","with lines"]] )$
(%i5) take_inference(model,z), x=133;
(%o5)                         155.808
(%i6) take_inference(means,z);
(%o6)                     [135.0, 158.62]
(%i7) take_inference(new_pred_conf_int,z), x=133;
(%o7)              [132.0728595995113, 179.5431404004887]

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68.4 Definições para distribuições especiais

Função: pdf_signed_rank (x, n)

Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da estatística do rank sinalizado. O argumento x é um número real e n um inteiro positivo.

Veja também test_signed_rank.

Função: cdf_signed_rank (x, n)

Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da estatística do rank sinalizado. O argumento x é um número real e n um inteiro positivo.

Veja também test_signed_rank.

Função: pdf_rank_sum (x, n, m)

Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da estatística do somatório do rank. O argumento x é um número real e n e m são ambos inteiros positivos.

Veja também test_rank_sum.

Função: cdf_rank_sum (x, n, m)

Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da estatística do somatório do rank. O argumento x é um número real e n e m são ambos inteiro positivos.

Veja também test_rank_sum.


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