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7. Simplificação


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7.1 Definições para Simplificação

Variável de sistema: askexp

Quando asksign é chamada, askexp é a expressão que asksign está a testar.

Antigamente, era possível para um utilizador inspecionar askexp parando o Maxima com control-A.

Função: askinteger (expr, integer)
Função: askinteger (expr)
Função: askinteger (expr, even)
Função: askinteger (expr, odd)

askinteger (expr, integer) tenta determinar a partir da base de dados do assume se expr é um inteiro. Se não conseguir, askinteger perguntará ao utilizador, na linha de comandos, e inserirá essa informação na base de dados do assume, se for possível. askinteger (expr) é equivalente a askinteger (expr, integer).

Da mesma forma, askinteger (expr, even) e askinteger (expr, odd) tentam determinar se expr é um inteiro par ou inteiro ímpar, respectivamente.

Função: asksign (expr)

Primeiro tenta determinar se a expressão especificada é positiva, negativa, ou zero. Se isso não for possível, asksign perguntará ao utilizador as questões necessárias para completar a sua dedução. As respostas do utilizador serão guardadas na base de dados pelo tempo que durar a cálculo actual. O valor de retorno de asksign será pos, neg, ou zero.

Função: demoivre (expr)
Variável de opção: demoivre

A função demoivre (expr) transforma uma expressão sem modificar a variável global demoivre.

Quando a variável demoivre for true, as exponenciais complexas serão convertidas em expressões equivalentes em termos das funções circulares: exp (a + b*%i) simplifica para %e^a * (cos(b) + %i*sin(b)) se b não incluir %i. a e b não serão expandidos.

O valor padrão de demoivre é false.

exponentialize converte funções circulares e hiperbólicas para a forma exponencial. demoivre e exponentialize não podem ambas serem true ao mesmo tempo.

Variável de opção: domain

Valor por omissão: real

Quando a domain for dado o valor complex, sqrt(x^2) permanecerá sqrt (x^2) em lugar de retornar abs(x).

Função: expand (expr)
Função: expand (expr, p, n)

Expande a expressão expr. Nos rodutos de somas e exponenciais de somas são expandidos os produtos, os numeradores de expressões racionais que incluirem somas serão quebrados nas suas respectivas parcelas, e os produtos (comutativos e não comutativos) são distribuídos sobre as somas em todos os níveis de expr.

Para polinómios se pode usar frequêntemente ratexpand que possui um algoritmo mais eficiente.

maxnegex e maxposex controlam o máximo expoente negativo e o máximo expoente positivo, respectivamente, que irão expandir.

expand (expr, p, n) expande expr, usando p para maxposex e n para maxnegex. Isso é útil para expandir partes numa expressão mas não toda.

expon - o expoente da maior potência negativa que é automaticamente expandida (independente de chamadas a expand). Por Exemplo se expon for 4 então (x+1)^(-5) não será automaticamente expandido.

expop - o maior expoente positivo que é automaticamente expandido. Dessa forma (x+1)^3, quando digitado, será automaticamente expandido somente se expop for maior que ou igual a 3. Se quiser que (x+1)^n seja expandido onde n for maior que expop, então expand ((x+1)^n) funcionará unicamente se maxposex não for menor que n.

O sinalizador expand usado com ev causa expansão.

O ficheiro `simplification/facexp.mac' contém muitas funções relacionadas (em particular facsum, factorfacsum e collectterms, que são carregadas automaticamente) e as variáveis (nextlayerfactor e facsum_combine) que fornecem ao utilizador a possibilidade de estruturar expressões por expansão controlada. Uma descrição breve das função encontra-se no ficheiro `simplification/facexp.usg'. Há também uma demonstração disponível com o comando demo("facexp").

Função: expandwrt (expr, x_1, ..., x_n)

Expande a expressão expr com relação às variáveis x_1, ..., x_n. Todos os produtos que encvolvam as variáveis aparecerão explicitamente. O resultado estará livre de produtos de somas de expressões que não estejam livres das variáveis. x_1, ..., x_n podem ser variáveis, operadores, ou expressões.

Por omissão, os denominadores não são expandidos, mas isso pode ser controlado através da variável expandwrt_denom.

Esta função é carregada automaticamente a partir de `simplification/stopex.mac'.

Variável de opção: expandwrt_denom

Valor por omissão: false

expandwrt_denom controla a simplificação de expressões racionais feita por expandwrt. Se tiver valor true, então tanto o numerador como o denominador da expressão serão expandidos conforme os argumentos de expandwrt, mas se expandwrt_denom for false, então somente o numerador será expandido.

Função: expandwrt_factored (expr, x_1, ..., x_n)

é similar a expandwrt, mas trata os produtos numa forma diferente. expandwrt_factored expande somente sobre esses factores de expr que contiverem as variáveis x_1, ..., x_n.

Esta função é carregada automaticamente a partir de `simplification/stopex.mac'.

Variável de opção: expon

Valor por omissão: 0

expon é o expoente da maior potência negativa que é automaticamente expandido (independente de chamadas a expand). Por exemplo, se expon for 4 então (x+1)^(-5) não será automaticamente expandido.

Função: exponentialize (expr)
Variável de opção: exponentialize

A função exponentialize (expr) converte as funções circulares e hiperbólicas em expr para exponenciais, sem modificar a variável global exponentialize.

Quando a variável exponentialize for true, todas as funções circulares e hiperbólicas são convertidas para a forma exponencial. O valor por omissão é false.

demoivre converte exponenciais complexas em funções circulares. exponentialize e demoivre não podem ambas serem true ao mesmo tempo.

Variável de opção: expop

Valor por omissão: 0

expop - o maior expoente positivo que é automaticamente expandido. Dessa forma (x+1)^3, será automaticamente expandido somente se expop for maior que ou igual a 3. Se quiser que (x+1)^n seja expandido onde n for maior que expop, então expand ((x+1)^n) funcionará somente se maxposex não for menor que n.

Variável de opção: factlim

Valor por omissão: -1

factlim especifica o maior factorial que é automaticamente expandido. Se for -1 então todos os inteiros são expandidos.

Função: intosum (expr)

Move factores multiplicativos fora de um somatório para dentro. Se um índice for usado na expressão de fora, então a função tentará achar um índice razoável, o mesmo que é feito para sumcontract. Isto é essencialmente a ideia inversa da propriedade outative de somatórios, mas repare que não elimina essa propriedade, apenas faz com que seja ignorada.

Em alguns casos, poderá ser necessário um scanmap(multthru,expr) antes de intosum.

Declaração: lassociative

declare (g, lassociative) diz ao simplificador do Maxima que g é associativa à esquerda. E.g., g (g (a, b), g (c, d)) irá simplificar para g (g (g (a, b), c), d).

Declaração: linear

Uma das propriedades operativas do Maxima. As funções de uma única variável f assim declaradas fazem com que a expressão f(x + y) seja expandida em f(x) + f(y), a expressão f(a*x) transforma-se em a*f(x) se a for uma constante. Para funções de dois ou mais argumentos, a linearidade define-se igual que no caso de sum ou integrate, isto é, f (a*x + b, x) retorna a*f(x,x) + b*f(1,x), se a e b forem independentesx de x.

linear é equivalente a additive e outative. Veja também opproperties.

Declaração: mainvar

Permite declarar variáveis do tipo mainvar (variável principal). A escala de ordenação para átomos é essencialmente: números < constantes (e.g., %e, %pi) < escalares < outras variáveis < mainvars. Por exemplo, compare expand ((X+Y)^4) com (declare (x, mainvar), expand ((x+y)^4)). (Nota: este recurso deverá ser usado com cautela. Por exemplo, se subtrair uma expressão, na qual x for uma mainvar, da mesma expressão, mas onde x não for mainvar, poderá precisar de resimplificação, por exemplo, com ev (expr, simp), para que sejam canceladas. Também, se grava uma expressão na qual x for uma mainvar, provavelmente deverá também gravar x.)

Variável de opção: maxapplydepth

Valor por omissão: 10000

maxapplydepth é a profundidade máxima ate a qual apply1 e apply2 deverão descer.

Variável de opção: maxapplyheight

Valor por omissão: 10000

maxapplyheight é nível máximo a ser atingido por applyb1 antes de abandonar.

Variável de opção: maxnegex

Valor por omissão: 1000

maxnegex é o maior expoente negativo que será expandido pelo comando expand (veja também maxposex).

Variável de opção: maxposex

Valor por omissão: 1000

maxposex é o maior expoente que será expandido com o comando expand (veja também maxnegex).

Declaração: multiplicative

declare (f, multiplicative) diz ao simplificador do Maxima que f é multiplicativa.

  1. Se f for uma função de uma única variável, sempre que o simplificador encontrar f aplicada a um produto, f será distribuida nesse produto. Por exemplo, f(x*y) simplifica para f(x)*f(y).
  2. Se f for uma função de 2 ou mais argumentos, a multiplicatividade entende-se como multiplicatividade no primeiro argumento de f. Por exemplo, f (g(x) * h(x), x) simplifica para f (g(x) ,x) * f (h(x), x).

Esta simplificação não é feita quando f for aplicada a expressões da forma product (x[i], i, m, n).

Variável de opção: negdistrib

Valor por omissão: true

Quando negdistrib for true, -1 distribue sobre uma expressão. Por exemplo, -(x + y) transforma-se em - y - x. Mudando o valor de negdistrib para false permitirá que - (x + y) seja mostrado como foi escrito. Embora isso possa ser útil, tenha muito cuidado: esta variável e a variável simp não deveriam ser escolhidas sempre como false, excepto em forma local no seu Maxima.

Variável de opção: negsumdispflag

Valor por omissão: true

Quando negsumdispflag for true, x - y é mostrado como x - y em lugar de como - y + x. Mudando para false faz com que não seja feita a verificação especial para a apresentação da diferença entre duas expressões. Uma aplicação é para que a + %i*b e a - %i*b sejam mostrados na mesma forma.

Símbolo especial: noeval

noeval suprime a fase de avaliação de ev. Isso é útil conjuntamente com outras condições e para fazer com que expressões sejam simplificadas sem serem reavaliadas.

Declaração: noun

noun é uma das opções do comando declare. Faz com que as funções assim declaradas sejam substantivos (noun), implicando que não sejam avaliadas automaticamente.

Variável de opção: noundisp

Valor por omissão: false

Quando noundisp for true, os substantivos (nouns) são mostrados com um apóstrofo. Sempre que se mostra a definição de uma função, essa variável é igual a true.

Símbolo especial: nouns

nouns é um evflag (sinalizador de avaliação). Quando usado como uma opção para o comando ev, nouns converte todas as formas substantivas (noun), na expressão a ser avaliada, para verbos ("verbs"), isto é, avalia essas expressões. Veja também noun, nounify, verb, e verbify.

Símbolo especial: numer

numer faz com que algumas funções matemáticas (incluindo exponenciação) com argumentos numéricos sejam avaliadas em ponto flutuante. Isto faz com que variáveis em expr que tiverem valores numéricos sejam substituídas pelos seus valores correspondentes. numer também activa a opção float.

Função: numerval (x_1, expr_1, ..., var_n, expr_n)

Declara as variáveis x_1, ..., x_n com valores numéricos iguais a expr_1, ..., expr_n. O valor numérico é avaliado e substituido para a variável em quaisquer expressões em que a variável aparecer, se o sinalizador numer for igual a true. Veja também ev.

As expressões expr_1, ..., expr_n podem ser quaisquer, não necessariamente numéricas.

Variável de sistema: opproperties

opproperties é a lista de propriedades de operadores especiais reconhecidas pelo simplificador do Maxima: linear, additive, multiplicative, outative, evenfun, oddfun, commutative, symmetric, antisymmetric, nary, lassociative, rassociative.

Variável de opção: opsubst

Valor por omissão: true

Quando opsubst for false, subst não tenta substituir dentro de um operador de uma expressão. Por exemplo, (opsubst: false, subst (x^2, r, r+r[0])).

Declaração: outative

declare (f, outative) diz ao simplificador do Maxima que factores constantes no argumento de f podem ser puxados para fora.

  1. Se f for uma função de uma única variável, sempre que o simplificador encontrar f aplicada a um produto, os factores que forem constantes nesse produto serão puxados para fora. Por exemplo, f(a*x) simplificará para a*f(x) se a for uma constante. Factores de constantes não atômicas não serão puxados para fora.
  2. Se f for uma função de 2 ou mais argumentos, a colocação para fora é definida como no caso de sum ou integrate, isto é, f (a*g(x), x) irá simplificar para a * f(g(x), x) se a não depender de x.

sum, integrate, e limit são todas do tipo outative.

Declaração: posfun

declare (f, posfun) declara f como função positiva. is (f(x) > 0) retorna true.

Função: radcan (expr)

Simplifica expr, que pode conter logaritmos, exponenciais, e radicais, convertendo essa expressão numa forma canónica sobre uma ampla classe de expressões e com uma dada ordenação de variáveis; isto é, todas as formas funcionalmente equivalentes são mapeadas numa única forma. Para uma classe ampla de expressões, radcan produz uma forma regular. Duas expressões equivalentes nessa classe não possuem necessáriamente a mesma aparência, mas as suas diferenças podem ser simplificadas por radcan para zero.

Para algumas expressões radcan demora muito tempo. Esse é o custo de explorar as realções entre as componentes da expressão para simplificar expoentes usando factorização e expansão em frações parciais.

Quando %e_to_numlog for true, %e^(r*log(expr)) simplifica para expr^r se r for um número racional.

Quando radexpand for false, certas transformações são inibidas. radcan (sqrt (1-x)) permanece sqrt (1-x) e não é simplificada para %i sqrt (x-1). radcan (sqrt (x^2 - 2*x + 11)) permanece sqrt (x^2 - 2*x + 1) e não é simplificada para x - 1.

example (radcan) mostra alguns exemplos.

Variável de opção: radexpand

Valor por omissão: true

radexpand controla algumas simplificações de radicais.

Quando radexpand for all, todos os factores que forem potências de ordem n, dentro de uma raiz de ordem n, serão puxados para fora do radical. Por exemplo, se radexpand for all, sqrt (16*x^2) simplifica para 4*x.

Mais particularmente, considere sqrt (x^2).

Note que, neste exemplo, domain somente interessa quando radexpand for true.

Variável de opção: radsubstflag

Valor por omissão: false

Se radsubstflag for true, permite a ratsubst fazer substituições tais como u por sqrt (x) em x.

Declaração: rassociative

declare (g, rassociative) diz ao simplificador do Maxima que g é associativa à direita, isto é, g(g(a, b), g(c, d)) simplifica para g(a, g(b, g(c, d))).

Função: scsimp (expr, rule_1, ..., rule_n)

Simplificação Sequêncial Comparativa (método devido a Stoute). scsimp tenta simplificar expr conforme as regras rule_1, ..., rule_n. Se uma expressão pequena for obtida, o processo repete-se. De outra forma após todas as simplificações serem tentadas, scsimp retorna a resposta original.

example (scsimp) mostra alguns exemplos.

Variável de opção: simpsum

Valor por omissão: false

Quando simpsum for true, o resultado de um comando sum é simplificado. Essa simplificação pode algumas vezes produzir uma forma fechada. Se simpsum for false, ou se a forma com apóstrofo 'sum for usada, o valor é uma forma substantiva aditiva que é uma representação da notação sigma usada em matemática.

Função: sumcontract (expr)

Combina vários somatórios que possuem limites superiores e inferiores que diferem por constantes. O resultado é uma expressão que contém apenas um somatório mais todos os termos adicionais que tiveram de ser extraídos para obter essa forma. sumcontract combina todas as somas compatíveis e usa os indices de uma das somas, se puder, ou tenta formar um índice razoável se não poder usar nenhum dos que foram fornecidos.

Poderá ser necessário usar intosum (expr) antes de sumcontract.

Variável de opção: sumexpand

Valor por omissão: false

Quando sumexpand for true, produtos de somas e somas exponeciadas simplificam para somas aninhadas.

Veja também cauchysum.

Exemplos:

(%i1) sumexpand: true$
(%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
                     m      n
                    ====   ====
                    \      \
(%o2)                >      >     f(i1) g(i2)
                    /      /
                    ====   ====
                    i1 = 0 i2 = 0
(%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
                     m      m
                    ====   ====
                    \      \
(%o3)                >      >     f(i3) f(i4)
                    /      /
                    ====   ====
                    i3 = 0 i4 = 0
Variável de opção: sumsplitfact

Valor por omissão: true

Quando sumsplitfact for false, minfactorial é aplicado após factcomb.

Declaração: symmetric

declare (h, symmetric) diz ao simplificador do Maxima que h é uma função simétrica. Nomeadamente, h (x, z, y) simplifica para h (x, y, z).

commutative é sinônimo de symmetric.

Função: unknown (expr)

Retorna true se e somente se expr contém um operador ou função não reconhecida pelo simplificador do Maxima.


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