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8. Criação de Gráficos


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8.1 Definições para Criação de Gráficos

Variável: in_netmath

Valor por omissão: false

Quando in_netmath é true, plot3d imprime uma saída OpenMath para a consola se plot_format é openmath; caso contrário in_netmath (mesmo se for true) não tem efeito. in_netmath não tem efeito sobre plot2d.

Função: plot2d (expr, intervalo_x, ..., opções, ...)
Função: plot2d ([expr_1, ..., expr_n], ..., opções, ...)
Função: plot2d ([expr_1, ..., expr_n], intervalo_x,..., opções, ...)

Onde expr, expr_1, ..., expr_n podem ser expressões, funções ou operadores do Maxima ou do Lisp, ou ainda uma lista da forma [discrete, [x1, ..., xn], [y1, ..., yn]], [discrete, [[x1, y1], ..., [xn, ..., yn]] ou [parametric, expr_x, expr_y, intervalo_t].

Mostra o gráfico de uma ou mais expressões em função de uma variável.

plot2d produz o gráfico de uma expressão expr ou de várias expressões [expr_1, ..., expr_n]. As expressões que não forem do tipo paramétrico ou discreto, deverão depender todas de uma única variável var e será obrigatório usar intervalo_x para indicar o nome dessa variável, e os seus valores mínimo e máximo, usando a sintaxe: [var, min, max]. O gráfico mostrará o eixo horizontal delimitado pelos valores min e max.

Uma expressão a ser representada no gráfico pode ser dada também na forma discreta, ou paramétrica. Nomeadamente, por meio de uma lista a começar pela palavra "discrete" ou "parametric". A palavra chave discrete deverá ir seguida por duas listas, ambas do mesmo comprimento, que serão as coordenadas horizontais e verticais de um conjunto de pontos; em alternativa, as coordenadas de cada ponto podem ser colocadas numa lista de dois valores, e todas essas coordenadas deverão estar dentro de outra lista. A palavra chave parametric deverá ir seguida por duas expressões expr_x e expr_y, e um intervalo intervalo_t da forma [param, min, max]. As duas expressões deverão depender unicamente no parâmetro param, e o gráfico mostrará o percurso seguido pelo ponto com coordenadas (expr_x, expr_y) à medida que param aumenta desde min até max.

O intervalo de valores no eixo vertical não é obrigatório. É mais uma das opções do comando, com a sintaxe: [y, min, max]. Se essa opção for usada, o gráfico apresentará esse intervalo completo, inclusivamente quando as expressões não cheguem a atingir esses valores. De outra forma, se não for indicado um intervalo no eixo vertical por meio de set_plot_option, as fronteiras do eixo vertical serão seleccionadas automaticamente.

Todas as outras opções deverão ser listas, a começar pelo nome da opção. A opção xlabel pode ser usada para dar um texto que identificará o eixo horizontal; se essa opção não for usada, o eixo será identificado com o nome da variável indicada em intervalo_x, ou com a expressão expr_x, se houver unicamente uma expressão paramétrica, ou caso contrário ficará em branco.

O texto para identificar o eixo vertical pode ser indicado com a opção ylabel. Se só houver uma única expressão a ser representada, e a opção ylabel não tiver sido usada, o eixo vertical será identificado com essa expressão, a menos que for muito comprido, ou com a expressão expr_y, se a expressão for paramétrica, ou com o texto "discrete data" se a expressão for discreta.

As opções logx e logy não precisam de quaisquer paraâmetros. Fazem com que os eixos horizontal e vertical sejam apresentados em forma logarítmica.

Se houver vá rias expressões a serem representadas, será escrita uma legenda para identificar cada uma dessas expressões. O texto que deverá ser usado nessa legenda pode ser indicado por meio da opção legend. Se essa opção não for usada, Maxima criará textos para identificar cada expressão.

Por omissão, as expressões dadas serão representadas por pequenos segmentos de recta a ligarem pontos adjacentes num conjunto de pontos que, ou é dado usando a forma discrete, ou é calculado automaticamente a partir das expressões dadas, por meio de um algoritmo com ajuste automático dos intervalos entre pontos, usando como estimativa inicial do número de pontos o valor indicado pela opção nticks. A opção style serve para fazer com que alguma das expressões seja representada por pontos isolados ou por pontos mais segmentos de recta.

Existem várias opções globais, armazenadas na lista plot_options, quu podem ser modificadas usando a função set_plot_option; qualquer uma dessad opções pode ser contrariada pelos valores locais dados no comando plot2d.

Uma função a ser representada poderá ser identificada pelo nome de uma função ou operador do Maxima ou do Lisp, por meio duma expressão lambda do Maxima, ou como uma expressão geral do Maxima. Se for especificada como um nome ou como expressão lambda, a respectiva função deverá depender dum único argumento.

Exemplos:

Gráficos de funções ordinárias.

(%i1) plot2d (sin(x), [x, -5, 5])$

(%i2) plot2d (sec(x), [x, -2, 2], [y, -20, 20], [nticks, 200])$

../figures/plotting2
../figures/plotting3

Gráfico de funções identificadas pelo seu nome.

(%i3) F(x) := x^2 $

(%i4) :lisp (defun |$g| (x) (m* x x x))

$g
(%i5) H(x) := if x < 0 then x^4 - 1 else 1 - x^5 $

(%i6) plot2d (F, [u, -1, 1])$

(%i7) plot2d ([F, G, H], [u, -1, 1], [y, -1.5, 1.5])$

../figures/plotting4
../figures/plotting5

Podemos representar um círculo por meio de um gráfico paramétrico com um parâmetro t. No caso dos gráficos paramétricos não é necessário indicar o intervalo da variável na horizontal, já que o intervalo do parâmetro t determina o domínio. No entanto, como os gráficos são representados numa proporção de 4 para 3 entre os eixos horizontal e vertical, usaremos a opção xrange para obter a mesma escala nos dois eixos:

(%i8) plot2d ([parametric, cos(t), sin(t), [t,-%pi,%pi], [nticks,80]],
           [x, -4/3, 4/3])$

../figures/plotting6

Se repetirmos esse gráfico com apenas 8 pontos e etndendo o intevalo do parâmetro para que faça duas voltas, obteremos um desenho de uma estrela:

(%i9) plot2d ([parametric, cos(t), sin(t), [t, -%pi*2, %pi*2],
        [nticks, 8]], [x, -2, 2], [y, -1.5, 1.5])$

../figures/plotting7

Combinação dum gráfico ordinário de um polinómio cúbico com o gráfico paramétrico de um cí:

(%i10) plot2d ([x^3+2, [parametric, cos(t), sin(t), [t, -5, 5],
        [nticks, 80]]], [x, -3, 3])$

../figures/plotting8

Para mostrar alguns exemplos de gráficos discretos, começaremos por introduzir as coordenadas de 5 pontos, usando os dois métodos que podem ser usados:

(%i12) xx:[10, 20, 30, 40, 50]$
(%i13) yy:[.6, .9, 1.1, 1.3, 1.4]$
(%i14) xy:[[10,.6], [20,.9], [30,1.1], [40,1.3], [50,1.4]]$

Para apresentar esses pontos, ligados por segmentos de recta, usaremos:

(%i15) plot2d([discrete,xx,yy])$

../figures/plotting10

A seguir obteremos o gráfico mostrando únicamente os pontos, e aproveitando para mostrar o uso do segundo método para indicar as coordenadas dos pontos:

(%i16) plot2d([discrete, xy], [style, points])$

../figures/plotting11

O gráfico dos pontos dos dados pode ser apresentado junto com o gráfico de uma função teórica que explica esses resultados:

(%i17) plot2d([[discrete,xy], 2*%pi*sqrt(l/980)], [l,0,50],
        [style, [points,3,5], [lines,1,3]], [legend,"experiment","theory"],
        [xlabel,"pendulum's length (cm)"], [ylabel,"period (s)"])$

../figures/plotting12

Veja também plot_options, que descreve as opções das funções gráficas e mostra mais exemplos.

Função: xgraph_curves (lista)

Desenha o gráfico da lista de `grupos de pontos' dados em lista, usando xgraph. Se o programa externo xgraph não estiver instalado, o comando falha.

Uma lista de grupos de pontos pode ser da forma

[x0, y0, x1, y1, x2, y2, ...]

ou

[[x0, y0], [x1, y1], ...]

Um grupo de pontos pode também conter símbolos que fornecem rótulos ou outra informação.

xgraph_curves ([pontos1, pontos2, pontos3]);

desenha o gráfico das três curvas que passam pelos três grupos de pontos.

pt_set: append (["NoLines: True", "LargePixels: true"],
                          [x0, y0, x1, y1, ...]);

faz com que o grupo de pontos (e os grupos de pontos que virem a seguir) sejam desenhados sem linhas a ligar os pontos, e que sejam usados pixels grandes. Consulte outras opções que podem ser usadas, na página de manual do programa xgraph.

pt_set: append ([concat ("\"", "x^2+y")], [x0, y0, x1, y1, ...]);

faz com que esse grupo de pontos em particular seja identificado com a legenda "x^2+y". As aspas, ", no início indicam ao programa xgraph que se trata de uma legenda.

pt_set: append ([concat ("TitleText: Dados da Amostra")], [x0, ...])$

faz com que o título do gráfico seja "Dados da Amostra" e não o habitual "Maxima Plot".

Para fazer um gráfico de barras, com largura de 0.2 unidades, mostrando duas possibilidades diferentes dessas barras:

(%i1) xgraph_curves ([append (["BarGraph: true", "NoLines: true",
      "BarWidth: .2"], create_list ([i - .2, i^2], i, 1, 3)),
      append (["BarGraph: true", "NoLines: true", "BarWidth: .2"],
      create_list ([i + .2, .7*i^2], i, 1, 3))]);

../figures/plotting13

Esta função usa um ficheiro temporário `xgraph-out'.

Variável de sistema: plot_options

Os elementos desta lista estabelecem os valores por omissaão para as opções usadas na elaboração de gráficos. Se uma opção estiver presente numa chamada a plot2d ou plot3d, esse valor terá precedência sobre o valor por omissção. De outra forma, será usado o valor em plot_options. Os valores por omissção das opções podem ser modificados usando set_plot_option.

Cada elemento de plot_options é uma lista de dois ou mais ítens. O primeiro item é o nome de uma opção, e os restantes compreendem o valor ou valores atribuídos à opção. Em alguns casos, o valor atribuído é uma lista, que pode compreender muitos itens.

As opções globais que são reconhecidas por plot2d e plot3d são as seguintes:

Opções do Gnuplot:

Existem muitas opções específicas para o Gnuplot. Muitas dessas opções são comandos próprios do Gnuplot, especificados como sequências de caracteres. Consulte a documentação do gnuplot para mais pormenores.

Exemplos:

(%i1) plot2d (sin(x), [x, 0, 2*%pi], [gnuplot_term, ps],
                        [gnuplot_out_file, "sin.eps"])$
(%i2) plot2d ([gamma(x), 1/gamma(x)], [x, -4.5, 5], [y, -10, 10],
                     [gnuplot_preamble, "set key bottom"])$

../figures/plotting14

(%i3) my_preamble: "set xzeroaxis; set xtics ('-2pi' -6.283, \
'-3pi/2' -4.712, '-pi' -3.1415, '-pi/2' -1.5708, '0' 0, \
'pi/2' 1.5708, 'pi' 3.1415,'3pi/2' 4.712, '2pi' 6.283)"$

(%i4) plot2d([cos(x), sin(x), tan(x), cot(x)],
       [x, -2*%pi, 2.1*%pi], [y, -2, 2],
       [gnuplot_preamble, my_preamble]);

../figures/plotting15

(%i5) my_preamble: "set xzeroaxis; set xtics ('-2{/Symbol p}' \
-6.283, '-3{/Symbol p}/2' -4.712, '-{/Symbol p}' -3.1415, \
'-{/Symbol p}/2' -1.5708, '0' 0,'{/Symbol p}/2' 1.5708, \
'{/Symbol p}' 3.1415,'3{/Symbol p}/2' 4.712, '2{/Symbol p}' \
6.283)"$

(%i6) plot2d ([cos(x), sin(x), tan(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi],
    [y, -2, 2], [gnuplot_preamble, my_preamble],
    [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "trig.eps"]);
(%i7) plot3d (atan (-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],
        [grid, 50, 50], [gnuplot_pm3d, true])$

../figures/plotting16

(%i8) my_preamble: "set pm3d at s;unset surface;set contour;\
set cntrparam levels 20;unset key"$
(%i9) plot3d(atan(-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],
    [grid, 50, 50], [gnuplot_pm3d, true],
    [gnuplot_preamble, my_preamble])$

../figures/plotting17

(%i10) plot3d (cos (-x^2 + y^3/4), [x, -4, 4], [y, -4, 4],
    [gnuplot_preamble, "set view map; unset surface"],
    [gnuplot_pm3d, true], [grid, 150, 150])$

../figures/plotting18

Função: plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], x_range, y_range, ..., opções, ...)
Função: plot3d (expr, x_range, y_range, ..., opções, ...)
Função: plot3d (name, x_range, y_range, ..., opções, ...)
Função: plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], x_rge, y_rge)
Função: plot3d ([nome_1, nome_2, nome_3], x_range, y_range, ..., opções, ...)

Mostra o gráfico de uma ou três expressões como funções de duas variáveis.

(%i1) plot3d (2^(-u^2 + v^2), [u, -3, 3], [v, -7, 7]);

../figures/plotting19

desenha o gráfico de z = 2^(-u^2+v^2) com u e v a variar nos intervalos fechados [-3,3] e [-2,2], respectivamente, e com u sobre o eixo x, e v sobre o eixo y.

O mesmo gráfico pode ser visualizado usando openmath (se Xmaxima estiver instalado):

(%i2)  plot3d (2^(-u^2 + v^2), [u, -3, 3], [v, -2, 2],
               [plot_format, openmath]);

../figures/plotting25

neste caso o rato pode ser usado para rodar a superfície, mostrando o seu aspecto desde diferentes pontos de observação.

Um exemplo do terceiro modelo de argumento é

(%i3) plot3d ([cos(x)*(3 + y*cos(x/2)), sin(x)*(3 + y*cos(x/2)),
   y*sin(x/2)], [x, -%pi, %pi], [y, -1, 1], ['grid, 50, 15]);

../figures/plotting20

que desenha o gráfico da fita de Moebius, parametrizada por três expressões fornecidas como o primeiro argumento para plot3d. Um argumento adicional e opcional ['grid, 50, 15] define o número de rectâgulos da grelha nas direções x e y.

A função a ser representada graficamente pode ser especificada como o nome de uma função ou operador, do Maxima ou do Lisp, como uma expressão lambda do Maxima, ou como uma expressão geral do Maxima. Se especificada como um nome ou como expressão lambda, a função deve ser uma função de um argumento.

O exemplo seguinte mostra o gráfico da parte real de z^1/3.

(%i4) plot3d (r^.33*cos(th/3), [r, 0, 1], [th, 0, 6*%pi],
      ['grid, 12, 80], ['transform_xy, polar_to_xy]);

../figures/plotting21

Outros exemplos são uma superfície de Klein:

(%i5) expr_1: 5*cos(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)
      + 3.0) - 10.0$
(%i6) expr_2: -5*sin(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)
      + 3.0)$
(%i7) expr_3: 5*(-sin(x/2)*cos(y) + cos(x/2)*sin(2*y))$

(%i8) plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], [x, -%pi, %pi],
      [y, -%pi, %pi], ['grid, 40, 40]);

../figures/plotting22

e um toro

+(%i9) expr_1: cos(y)*(10.0+6*cos(x))$
+(%i10) expr_2: sin(y)*(10.0+6*cos(x))$
+(%i11) expr_3: -6*sin(x)$
+(%i12) plot3d ([expr_1, expr_2, expr_3], [x, 0, 2*%pi],       [y, 0, 2*%pi], ['grid, 40, 40]);

../figures/plotting23

Algumas vezes será necessário definir uma função para desenhar o gráfico da expressão. Todos os argumentos para plot3d são avaliados antes de serem passados para plot3d; assim, pode ser difi,cil escrever uma expressão que faza apenas o que for preciso; será mais fácil criar uma função.

(%i13) M: matrix([1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 2], [1, 2, 3, 4],
       [1, 2, 3, 3])$
(%i14) f(x, y) := float (M [?round(x), ?round(y)])$
(%i15) plot3d (f, [x, 1, 4], [y, 1, 4], ['grid, 4, 4])$

../figures/plotting24

Veja plot_options para mais exemplos.

Função: make_transform (vars, fx, fy, fz)

Produz uma função adequada para a função transformação em plot3d. Usa-se conjuntamente com a opção gráfica transform_xy.

make_transform ([r, th, z], r*cos(th), r*sin(th), z)$

é uma transformação para coordenadas polares.

Função: set_plot_option (opção)

Atribui valores às opções globais para impressão. opção é especificada como uma lista de dois ou mais elementos, na qual o primeiro elemeto é uma das palavras chave dentro da lista plot_options.

O argumento dado a set_plot_option é avaliado e set_plot_option retorna a lista completa plot_options (após modificar um desses elementos).

Veja também plot_options, plot2d e plot3d.

Exemplos:

Modifica a gralha (grid) e o intervalo de x. Quando uma palavra chave em plot_options tiver um valor atribuído, colocar um apóstrofo evita que seja avaliado.

(%i1) set_plot_option ([grid, 30, 40]);
(%o1) [[x, - 1.755559702014E+305, 1.755559702014E+305], 
[y, - 1.755559702014E+305, 1.755559702014E+305], [t, - 3, 3], 
[grid, 30, 40], [transform_xy, false], [run_viewer, true], 
[plot_format, gnuplot], [gnuplot_term, default], 
[gnuplot_out_file, false], [nticks, 10], [adapt_depth, 10], 
[gnuplot_pm3d, false], [gnuplot_preamble, ], 
[gnuplot_curve_titles, [default]], 
[gnuplot_curve_styles, [with lines 3, with lines 1, 
with lines 2, with lines 5, with lines 4, with lines 6, 
with lines 7]], [gnuplot_default_term_command, ], 
[gnuplot_dumb_term_command, set term dumb 79 22], 
[gnuplot_ps_term_command, set size 1.5, 1.5;set term postscript #
eps enhanced color solid 24]]
(%i2) x: 42;
(%o2)                          42
(%i3) set_plot_option (['x, -100, 100]);
(%o3) [[x, - 100.0, 100.0], [y, - 1.755559702014E+305, 
1.755559702014E+305], [t, - 3, 3], [grid, 30, 40], 
[transform_xy, false], [run_viewer, true], 
[plot_format, gnuplot], [gnuplot_term, default], 
[gnuplot_out_file, false], [nticks, 10], [adapt_depth, 10], 
[gnuplot_pm3d, false], [gnuplot_preamble, ], 
[gnuplot_curve_titles, [default]], 
[gnuplot_curve_styles, [with lines 3, with lines 1, 
with lines 2, with lines 5, with lines 4, with lines 6, 
with lines 7]], [gnuplot_default_term_command, ], 
[gnuplot_dumb_term_command, set term dumb 79 22], 
[gnuplot_ps_term_command, set size 1.5, 1.5;set term postscript #
eps enhanced color solid 24]]

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