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14. Logarítmos


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14.1 Funções e Variáveis Definidas para Logarítmos

Variável de opção: %e_to_numlog

Valor padrão: false

Quando true, sendo r algum número racional, e x alguma expressão, %e^(r*log(x)) será simplificado em x^r . Note-se que o comando radcan também faz essa transformação, e transformações mais complicadas desse tipo também. O comando logcontract "contrai" expressões contendo log.

Função: li [s] (z)

Representa a função polilogarítmo de ordem s e argumento z, definida por meio de séries infinitas

                                 inf
                                 ====   k
                                 \     z
                        Li (z) =  >    --
                          s      /      s
                                 ====  k
                                 k = 1

li [1] é - log (1 - z). li [2] e li [3] são as funções dilogarítmo e trilogarítmo, respectivamente.

Quando a ordem for 1, o polilogarítmo simplifica para - log (1 - z), o qual por sua vez simplifica para um valor numérico se z for um número em ponto flutuante real ou complexo ou o sinalizador de avaliação numer estiver presente.

Quando a ordem for 2 ou 3, o polilogarítmo simplifica para um valor numérico se z for um número real em ponto flutuante ou o sinalizador de avaliação numer estiver presente.

Exemplos:

(%i1) assume (x > 0);
(%o1)                        [x > 0]
(%i2) integrate ((log (1 - t)) / t, t, 0, x);
(%o2)                       - li (x)
                                2
(%i3) li [2] (7);
(%o3)                        li (7)
                               2
(%i4) li [2] (7), numer;
(%o4)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i5) li [3] (7);
(%o5)                        li (7)
                               3
(%i6) li [2] (7), numer;
(%o6)        1.24827317833392 - 6.113257021832577 %i
(%i7) L : makelist (i / 4.0, i, 0, 8);
(%o7)   [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75, 2.0]
(%i8) map (lambda ([x], li [2] (x)), L);
(%o8) [0, .2676526384986274, .5822405249432515, 
.9784693966661848, 1.64493407, 2.190177004178597
 - .7010261407036192 %i, 2.374395264042415
 - 1.273806203464065 %i, 2.448686757245154
 - 1.758084846201883 %i, 2.467401098097648
 - 2.177586087815347 %i]
(%i9) map (lambda ([x], li [3] (x)), L);
(%o9) [0, .2584613953442624, 0.537213192678042, 
.8444258046482203, 1.2020569, 1.642866878950322
 - .07821473130035025 %i, 2.060877505514697
 - .2582419849982037 %i, 2.433418896388322
 - .4919260182322965 %i, 2.762071904015935
 - .7546938285978846 %i]
Função: log (x)

Representa o logarítmo natural (base e) de x.

Maxima não possui uma função interna para logarítmo de base 10 ou de outras bases. log10(x) := log(x) / log(10) é uma definição útil.

Simplificação e avaliação de logarítmos são governadas por muitos sinalizadores globais:

logexpand - faz com que log(a^b) torne-se b*log(a). Se logexpand for escolhida para all, log(a*b) irá também simplificar para log(a)+log(b). Se logexpand for escolhida para super, então log(a/b) irá também simplificar para log(a)-log(b) para números racionais a/b, a#1. (log(1/b), para b inteiro, sempre simplifica). Se logexpand for escolhida para false, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

logsimp - se false então nenhuma simplificação de %e para um expoente contendo log's é concluída.

lognumer - se true então argumentos negativos em ponto flutuante para log irá sempre ser convertido para seu valor absoluto antes que log seja tomado. Se numer for também true, então argumentos negativos inteiros para log irão também ser convertidos para seu valor absoluto.

lognegint - se true implementa a regra log(-n) -> log(n)+%i*%pi para n um inteiro positivo.

%e_to_numlog - quando true, r sendo algum número racional, e x alguma expressão, %e^(r*log(x)) será simplificado em x^r . Note-se que o comando radcan também faz essa transformação, e transformações mais complicadas desse tipo também. O comando logcontract "contrai" expressões contendo log.

Variável de opção: logabs

Valor padrão: false

Quando fazendo integração indefinida onde logs são gerados, e.g. integrate(1/x,x), a resposta é dada em termos de log(abs(...)) se logabs for true, mas em termos de log(...) se logabs for false. Para integração definida, a escolha logabs:true é usada, porque aqui "avaliação" de integral indefinida nos extremos é muitas vezes necessária.

Variável de opção: logarc
Função: logarc (expr)

Quando a variável global logarc for true, funções circulares inversas e funções hiperbólicas serão convertidas em funções logarítimicas equivalentes. O valor padrão de logarc é false.

A função logarc(expr) realiza aquela substituíção para uma expressão expr sem modificar o valor da variável global logarc.

Variável de opção: logconcoeffp

Valor padrão: false

Controla quais coeficientes são contraídos quando usando logcontract. Pode ser escolhida para o nome de uma função predicado de um argumento. E.g. se você gosta de gerar raízes quadradas, você pode fazer logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) ou ratnump(m)$ . Então logcontract(1/2*log(x)); irá fornecer log(sqrt(x)).

Função: logcontract (expr)

Recursivamente examina a expressão expr, transformando subexpressões da forma a1*log(b1) + a2*log(b2) + c em log(ratsimp(b1^a1 * b2^a2)) + c

(%i1) 2*(a*log(x) + 2*a*log(y))$
(%i2) logcontract(%);
                                 2  4
(%o2)                     a log(x  y )

Se você faz declare(n,integer); então logcontract(2*a*n*log(x)); fornece a*log(x^(2*n)). Os coeficientes que "contraem" dessa maneira são aqueles tais que 2 e n que satisfazem featurep(coeff,integer). O usuário pode controlar quais coeficientes são contraídos escolhendo a opção logconcoeffp para o nome de uma função predicado de um argumento. E.g. se você gosta de gerara raízes quadradas, você pode fazer logconcoeffp:'logconfun$ logconfun(m):=featurep(m,integer) ou ratnump(m)$ . Então logcontract(1/2*log(x)); irá fornecer log(sqrt(x)).

Variável de opção: logexpand

Valor padrão: true

Faz com que log(a^b) torne-se b*log(a). Se for escolhida para all, log(a*b) irá também simplificar para log(a)+log(b). Se for escolhida para super, então log(a/b) irá também simplificar para log(a)-log(b) para números racionais a/b, a#1. (log(1/b), para b inteiro, sempre simplifica). Se for escolhida para false, todas essas simplificações irão ser desabilitadas.

Variável de opção: lognegint

Valor padrão: false

Se true implementa a regra log(-n) -> log(n)+%i*%pi para n um inteiro positivo.

Variável de opção: lognumer

Valor padrão: false

Se true então argumentos negativos em ponto flutuante para log irão sempre ser convertidos para seus valores absolutos antes que o log seja tomado. Se numer for também true, então argumentos inteiros negativos para log irão também ser convertidos para seus valores absolutos.

Variável de opção: logsimp

Valor padrão: true

Se false então nenhuma simplificação de %e para um expoente contendo log's é concluída.

Função: plog (x)

Representa o principal ramo logarítmos naturais avaliados para complexos com -%pi < carg(x) <= +%pi .


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