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67. romberg


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67.1 Funções e Variáveis Definidas para romberg

Função: romberg (expr, x, a, b)
Função: romberg (F, a, b)

Calcula uma integração numérica pelo método de Romberg.

romberg(expr, x, a, b) retorna uma estimativa da integral integrate(expr, x, a, b). expr deve ser uma expressão que avalie para um valor em ponto flutuante quando x estiver associado a um valor em ponto flutuante.

romberg(F, a, b) retorna uma estimativa da integral integrate(F(x), x, a, b) onde x representa o não nomeado, isolado argumeno de F; o atual argumento não é chamado x. F deve ser uma função do Maxima ou do Lisp que retorne um valor em ponto flutuante quando o argumento for um número em ponto flutuante. F pode nomear uma função traduzida ou compilada do Maxima.

A precisão de romberg é governada pelas variáveis globais rombergabs e rombergtol. romberg termina com sucesso quando a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que rombergabs, ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que rombergtol. Dessa forma quando rombergabs for 0.0 (o padrão) somente o erro relativo tem algum efeito sobre romberg.

romberg divide ao meio o tamanho do passo no máximo rombergit vezes antes de interromper; o número máximo de avaliações de função é portanto 2^rombergit. Se o critério de erro estabelecido por rombergabs e por rombergtol não for satisfeito, romberg mostra uma mensagem de erro. romberg sempre faz ao menos rombergmin iterações; isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.

romberg repetidamente avalia o integrando após associar a variável de integração a um valor específico (e não antes). Essa política de avaliação torna possível aninhar chamadas a romberg, para calcular integrais multidimensionais. Todavia, os cálculos de erro não tomam os erros de integrações aninhadas em consideração, então erros podem ser subestimados. Também, métodos imaginados especialmente para problemas multidimensionais podem retornar a mesma precisão com poucas avaliações de função.

load(romberg) torna essa função disponível para uso.

Veja também QUADPACK, uma coleção de funções de integração numérica.

Exemplos:

Uma integração unidimensonal.

(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000) + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
                    1                 1                1
(%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
                     2    1           2    1            2    1
              (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
                         100              1000              200
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) rombergit : 15;
(%o4)                          15
(%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
(%o5)                   173.6730736617464
(%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
(%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
 + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
 + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
(%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o7)                7.5527060865060088E-11

Uma integração bidimensional, implementada com chamadas aninhadas a romberg.

(%i1) load (romberg);
(%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
(%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
                                    x y
(%o2)                   g(x, y) := -----
                                   x + y
(%i3) rombergtol : 1e-6;
(%o3)                 9.9999999999999995E-7
(%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
(%o4)                   0.81930239628356
(%i5) assume (x > 0);
(%o5)                        [x > 0]
(%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
                                          3
                                    2 log(-) - 1
                    9                     2        9
(%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
                    2                    6         2
(%i7) exact : radcan (%);
                    26 log(3) - 26 log(2) - 13
(%o7)             - --------------------------
                                3
(%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
(%o8)                1.3711979871851024E-10
Variável de opção: rombergabs

Valor padrão: 0.0

A precisão de romberg é governada pelas variávies globais rombergabs e rombergtol. romberg termina com sucesso quando a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que rombergabs, ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que rombergtol. Dessa forma quando rombergabs for 0.0 (o padrão) somente o erro relativo tem algum efeito sobre romberg.

Veja também rombergit e rombergmin.

Variável de opção: rombergit

Valor padrão: 11

romberg divide ao meio o tamanho do passo no máximo rombergit vezes antes de interromper; o número máximo de avaliações de função é portanto 2^rombergit. romberg sempre faz ao menos rombergmin iterações; isso é uma intenção eurísstica de previnir encerramentos espúrios quando o integrando for oscilatório.

Veja também rombergabs e rombergtol.

Variável de opção: rombergmin

Valor padrão: 0

romberg sempre faz ao menos rombergmin iterações; isso é uma intenção eurísstica para prevenir terminações espúrias quando o integrando for.

Veja também rombergit, rombergabs, e rombergtol.

Variável de opção: rombergtol

Valor padrão: 1e-4

A precisão de romberg é governada pelas variáveis globais rombergabs e rombergtol. romberg termina com sucesso quando a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas for menor que rombergabs, ou a diferença relativa em aproximações sucessivas for menor que rombergtol. Dessa forma quando rombergabs for 0.0 (o padrão) somente o erro relativo tem algum efeito sobre romberg.

Veja também rombergit e rombergmin.


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