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Resolve o problema do valor limite para equações diferenciais de segunda ordem.
Aqui: solução é uma solução geral para a equação, como encontrado por
ode2, xval1 especifica o valor da variável independente
em um primeiro ponto, na forma x = x1, e yval1
fornece o valor da variável dependente naquele ponto, na forma
y = y1. As expressões xval2 e yval2
fornecem os valores para essas variáveis em um segundo ponto, usando a mesma
forma.
Veja ode2 para um exemplo de sua utilização.
A Função dsolve resolve sistema de equações diferenciais
lineares ordinárias usando a transformada de Laplace. Aqui as eqn’s
são equações diferenciais nas variáveis dependentes x_1, ...,
x_n. A dependência funcional de x_1, ..., x_n com relação à
variável independente, por exemplo x, deve ser explicitamente indicada
nas variáveis e em suas derivadas. Por exemplo, isso pode não ser
caminho correto para definir duas equações:
eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x); eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
O caminho correto pode ser:
eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x); eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
A chamada à função desolve pode então ser
desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
Se condições iniciais em x=0 forem conhecidas, elas podem ser fornecidas antes
chamando desolve através de atvalue.
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
d d
(%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
dx dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
2
d d
(%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
2 dx
dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3) a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4) 1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
x
(%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) =
x
cos(x) + a %e - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
x x x x
(%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)]
Se desolve não pode obter uma solução, retorna false.
Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de primeira ordem.
Aqui solução é uma solução geral para a equação, como encontrado por
ode2, xval fornece um valor inicial para a variável
independente na forma x = x0, e yval fornece o
valor inicial para a variável dependente na forma y =
y0.
Veja ode2 para um exemplo de sua utilização.
Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de segunda ordem.
Aqui solução é uma solução geral para a equação, como encontrada por
ode2, xval fornece o valor inicial para a variável
independente na forma x = x0, yval fornece o
valor inicial da veriável dependente na forma y =
y0, e dval fornece o valor inicial para a primeira
derivada da variável dependente com relação à variável
independente, na forma diff(y,x) = dy0
(diff não precisa receber apóstrofo para evitar avaliação).
Veja ode2 para um exemplo de seu uso.
A função ode2 resolve uma equação diferencial ordinária (EDO)
de primeira ou de segunda ordem. ode2 usa três argumentos: uma EDO fornecida por
eqn, a variável dependente dvar, e a variável
independente ivar. Quando ode2 encontra uma solução, ode2 retorna ou uma solução explícita ou
uma sulução implícita para a variável dependente. %c é usado para
representar a constante de integração no caso de equações de primeira ordem,
e %k1 e %k2 as constantes para equações de
segunda ordem. A dependência da variável dependente com relação à variável
independente não tem que ser escrita explicitamente, como no caso de
desolve, mas a variável independente deve sempre ser fornecida como o
terceiro argumento.
Se ode2 não conseguir obter uma solução por qualquer razaão, ode2 retorna
false, após talvez imprimir uma mensagem de erro. Os métodos
implementados para equações de primeira ordem na seqüência em que eles foram
testados são: linear, separável, exato - talvez requerendo um fator de
integração, homogêneo, equação de Bernoulli, e um método homogêneo
generalizado. Os tipos de equaçõe de segunda ordem que podem ser resolvidos são:
coeficientes constantes, exato, linear homogêneo com coeficientes
não constantes que podem ser transformados em coeficientes constantes, o
tipo de equação de Euler também chamado de equação equi-dimensional, equações resolvíveis pelo método de
variação de parâmetros, e equações as quais são livres ou da
variável independente ou da dependente de modo que elas possam ser reduzidas a
duas equações lineares de primeira ordem para serem resolvidas seqüêncialmente.
Na resolução de EDO’s pelo Maxima, muitas variáveis são escolhidas puramente para
propósitos informativos: método denota o método de solução
usado (e.g., linear), intfactor denota qualquer fator de
integração usado, odeindex denota o índice para o método de Bernoulli ou
para o método homogêneo generalizado, e yp denota a
solução particular para a técnica de variação de parâmetros.
Com o objetivo de resolver poblemas de valor inicial (PVI) as funções ic1 e
ic2 estão disponíveis para equações de primeira e de segunda ordem, e para
resolver problemas do valor de segunda ordem associado (BVP em inglês) a função bc2
pode ser usada.
Exemplo:
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
2 dy sin(x)
(%o1) x -- + 3 x y = ------
dx x
(%i2) ode2(%,y,x);
%c - cos(x)
(%o2) y = -----------
3
x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
cos(x) + 1
(%o3) y = - ----------
3
x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
2
d y dy 3
(%o4) --- + y (--) = 0
2 dx
dx
(%i5) ode2(%,y,x);
3
y + 6 %k1 y
(%o5) ------------ = x + %k2
6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
3
2 y - 3 y
(%o6) - ---------- = x
6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
3
y - 10 y 3
(%o7) --------- = x - -
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